北师版九年级数学 1.1菱形的性质与判定（学习、上课课件）

1菱形的性质与判定第一章特殊平行四边形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2菱形的定义菱形的性质菱形的判定菱形的面积知识点菱形的定义知1－讲1有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图1-1-1，在ABCD中，若AB=BC(

或BC=CD或CD=DA或DA=AB)，则ABCD

是菱形.两个条件缺一不可.知1－讲知1－讲特别提醒1.菱形的定义既是菱形的判定方法，又是菱形的性质.2.菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是菱形.知1－练例1如图1-1-3，在△ABC

中，CD

平分∠ACB，CD

交AB

于点D，DE∥AC，且DE

交BC于点E，DF∥BC，DF交AC于点F.四边形DECF

是菱形吗？为什么？解题秘方：紧扣菱形的定义中“两个条件”进行判断.知1－练解：四边形DECF是菱形.理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF

为平行四边形.∵AC∥DE，∴∠2=∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2.∴∠1=∠3.∴

DE=EC.∴平行四边形DECF

是菱形.1-1.如图，在平行四边形ABCD

中，点O

是AD

的中点，连接CO

并延长交BA

的延长线于点E，连接AC，DE.知1－练(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；知1－练证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE.∵点O是AD的中点，∴AO＝DO.又∵∠AOE＝∠DOC，∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC.又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．(2)若AB=AC，判断四边形ACDE

的形状，并说明理由.知1－练解：四边形ACDE是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.又∵AB＝AC，∴CD＝AC.又由(1)知四边形ACDE是平行四边形，∴四边形ACDE是菱形．知2－讲知识点菱形的性质2菱形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.菱形的性质可以从边、角、对角线、对称性这四个方面来研究.总结如下表：知2－讲图形性质数学表达式边对边平行∵四边形ABCD

是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC四条边相等∵四边形ABCD

是菱形，∴AB=BC=CD=AD角对角相等∵四边形ABCD

是菱形，∴∠ABC=∠ADC，∠BCD=∠DAB知2－讲图形性质数学表达式对角线对角线互相垂直∵四边形ABCD

是菱形，∴BD⊥AC每条对角线平分一组对角(拓展)∵四边形ABCD

是菱形，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA，∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB知2－讲图形性质数学表达式对称性是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线是中心对称图形，对称中心是对角线的交点知2－讲特别提醒1.菱形的性质可以用来证明线段相等、角相等以及直线的平行、垂直等关系.2.由菱形的性质与勾股定理的联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和.3.如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形.知2－练如图1-1-4，菱形ABCD

的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE，∠E=50°，求∠BAO的度数．例2知2－练思路导引：知2－练解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD.又∵

BE=AB，∴

BE=CD.∴四边形BECD

是平行四边形.∴BD∥CE.∴∠ABO=∠E=50°.又∵四边形ABCD

是菱形，∴

AC⊥BD.∴∠AOB=90°.∴∠BAO=180°－∠AOB－∠ABO=40°．知2－练2-1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E

为垂足，连接DF，则∠CDF

的度数为________.60°知2－练如图1-1-5，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD

相交于点O，AC=6，BD=8，点E

是边AD

上一点，连接OE，若OE=DE，求OE

的长.例3知2－练

知2－练

知2－练

D知3－讲知识点菱形的判定3知3－讲元素判定文字语言符号语言图形边定义法有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形在ABCD

中，∵AB=BC，∴ABCD

是菱形定理四边相等的四边形是菱形∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD

是菱形对角线定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形在ABCD中，∵AC⊥BD，∴

ABCD是菱形或AB=AD

或BC=CD或AD=CD，即一组邻边相等知3－讲知3－讲

知3－练【母题教材P7习题T1】如图1-1-7，在平行四边形ABCD

中，对角线AC，BD

相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，连接BE，DF.求证：四边形BEDF

是菱形.例4解题秘方：紧扣对角线垂直这一条件，从判定平行四边形入手判定菱形.知3－练证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴OB=OD，AD∥BC.∴∠EDO=∠FBO，∠

OED=∠OFB.∴△OED≌△OFB(AAS).∴DE=BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形.又∵EF⊥BD，∴四边形BEDF

是菱形.知3－练4-1.[中考·永州]如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA=3，BD=8，AB=5.知3－练(1)△AOB

是直角三角形吗？请说明理由.知3－练(2)求证：四边形ABCD是菱形．证明：由(1)知∠AOB＝90°，∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形．知3－练

解题秘方：连接BD，根据题意得出AM为线段BD

的垂直平分线，从而证得四条边相等，进而判定菱形．例5知3－练证明：如图1-1-8，连接BD.根据题意可得AM为线段BD

的垂直平分线，即BD⊥AE，BE=DE.∵AD∥BC，AB=AD，∴∠ADB=∠DBE，∠ABD=∠ADB.∴∠ABD=∠DBE.∵BD⊥AE，∴AB=BE.∴AD=AB=BE=DE.∴四边形ABED为菱形.知3－练5-1.如图，在△

ABC中，AB=AC，∠

B=60°，∠

FAC，∠ECA是△

ABC的两个外角，AD

平分∠

FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD

是菱形.知3－练证明：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°，∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC.∴∠FAC＝120°，∠ACE＝120°.又∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，∴∠DAC＝60°，∠DCA＝60°.∴∠D＝60°.∴△ADC是等边三角形．∴AD＝AC＝DC.∴AB＝BC＝AD＝DC.∴四边形ABCD

是菱形．知4－讲知识点菱形的面积4公式由来文字语言图示符号语言菱形的面积公式菱形是平行四边形菱形的面积=底×高S

菱形ABCD=BC·AE菱形的对角线互相垂直菱形的面积=对角线乘积的一半知4－讲

拓展：对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半.知4－讲知4－练【母题教材P8例3】如图1-1-9，在菱形ABCD中，对角线交于点O，∠ABC

与∠BAD的度数比为1∶2，菱形ABCD

的周长是48.求：例6知4－练(1)菱形ABCD的两条对角线的长度；解题秘方：根据题意及菱形的性质得出AO，BO

的长即可得出答案；知4－练

知4－练(2)菱形ABCD

的面积.

解题秘方：直接利用菱形面积等于对角线乘积的一半，即可得出答案.知4－练方法总结：菱形面积的两种计算方法1.一边与这条边上的高的乘积；2.两条对角线乘积的一半.知4－练6-1.如图，在菱形ABCD

中，对角线AC和BD

相交于点O