专题01用几何意义探究反比例函数中k值问题的多种解法(原卷版+解析)

专题01用几何意义探究反比例函数中k值问题的多种解法知识回放知识回放如图，反比例函数（k>0），A、C是第一象限上两点，S△OAB=S△OCD=；S△OAC=S梯形ABDC在已知面积或比例线段解答反比例函数的问题中，善于利用k与面积的关系，往往可以事半功倍．真题解析真题解析典例1．知面积比值，求k值（2022•山东聊城中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．(1)求k，p的值；(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．典例2．知比例线段，求k值（2022•贵州铜仁中考真题）如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形的面积为6，，则k的值为_______．典例3．知面积值，求k值（2022•内蒙古呼伦贝尔中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数（）的图象经过OA的中点C，交于点D，连接．若的面积是1，则k的值是_________．真题演练真题演练1.（2022•辽宁锦州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．

2.（2022•辽宁鞍山中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．在中，，边在轴上，点是边上一点，且，反比例函数的图象经过点交于点，连接．若，则的值为_________．3.（2022•江苏南通中考真题）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点．若，则k的值为___________．

4.（2022•湖北十堰中考真题）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（

）A．36 B．18 C．12 D．95.（2022•黑龙江龙东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（

）A．2 B．1 C． D．6.（2022•湖北黄石中考真题）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，的面积为6，则______________．7.（2022•贵州六盘水中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．(1)求，两点的坐标；(2)将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．

8.（2022•安徽中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．专题01用几何意义探究反比例函数中k值问题的多种解法知识回放知识回放如图，反比例函数（k>0），A、C是第一象限上两点，S△OAB=S△OCD=；S△OAC=S梯形ABDC在已知面积或比例线段解答反比例函数的问题中，善于利用k与面积的关系，往往可以事半功倍．真题解析真题解析典例1．知面积比值，求k值（2022•山东聊城中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．(1)求k，p的值；(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．【答案】(1)，；(2)点C的坐标为(4，2)【解析】【方法一】坐标法（1）解：∵直线与y轴交点为B，∴，即．∵点A的横坐标为2，∴．∵，∴△COD的面积为4，设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，把点代入，得，∴，；（2）解：由（1）得，∴．∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，∴，∵，，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为（4，2）．【方法二】k的几何意义法解：（1）由题意知，△ABO的面积为3，又，得：△OCD的面积为4，故k=2S△OCD=8，所以，A（2,4），把点代入，得（2）如图，过A，E作y轴垂线，垂足为M，N则四边形ODEN为矩形，所以，S△OEN=S△OED，又S△OBE=S△OCE，所以S△BEN=S△OCD=4，所以S△ABM=1，∵AM∥NE，∴△ABM∽△EBN，其面积比为1:4，∴AM：NE=1:2，即NE=4，∴C点坐标为（4,2）典例2．知比例线段，求k值（2022•贵州铜仁中考真题）如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形的面积为6，，则k的值为_______．【答案】3．【解析】【方法一】坐标法设点，∵轴，∴，，∵，∴，∴CD=3a，∵．轴，∴BC∥y轴，∴点B，∴，∵，四边形间面积为6，∴，解得：．【方法二】k的几何意义法如图，连接OC，延长CB交x轴于E，则S△AOD=S△BOE=，因为AD：AC=1:2，所以S△AOC=2S△AOD=k，S△BOC=6-k，又四边形DOEC为矩形，OC为对角线，所以，S△COD=S△COE，所以+k=6-k+，解得：k=3．典例3．知面积值，求k值（2022•内蒙古呼伦贝尔中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数（）的图象经过OA的中点C，交于点D，连接．若的面积是1，则k的值是_________．【答案】．【解析】【方法一】坐标法解：设C（m，），因为C为OA中点，所以A（2m，），则D（2m，），又△ACD的面积为1，所以，解得：k=【方法二】k的几何意义法解：连接OD，过C作，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数（x＞0）的图象经过OA的中点C，，∴，，2OC=OA，∵，∴△OCE∽△OAB，∴，∴，∴，∴k＝，故答案为：．真题演练真题演练1.（2022•辽宁锦州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．【答案】2．【解析】【方法一】坐标法解：设A(a，b)，如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C，则：AC=b，OC=a，AC∥OB，∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，∴△ADC≌△BDO，∴S△ADC=S△BDO，∴S△OAC=S△AOD+S△ADC=S△AOD+S△BDO=S△OAB=1，∴×OC×AC=ab=1，∴ab=2，∵A(a，b)在y=上，∴k=ab=2．【方法二】k的几何意义法由上知，S△AOC=1，所以，k=2S△AOC=2故答案为：2．2.（2022•辽宁鞍山中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．在中，，边在轴上，点是边上一点，且，反比例函数的图象经过点交于点，连接．若，则的值为_________．【答案】1．【解析】【方法一】坐标法解：∵反比例函数的图象经过点D，∠OAB＝90°，∴D（m，），∵OD：DB＝1：2，∴B（3m，），∴AB＝3m，OA＝，∴反比例函数的图象经过点D交AB于点C，∠OAB＝90°，∴，∵，∴，即，解得k＝1【方法二】k的几何意义法如图，过D作DE⊥x轴，则DE∥AB，因为OD：BD=1:2，所以DE：AB=1:3，所以S△ODE：S△OAB=1：9，又S△ODE=S△OAC=，所以+4=，解得：k=13.（2022•江苏南通中考真题）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点．若，则k的值为___________．【答案】【解析】【方法一】坐标法解：∵点是函数图象上的三点，∴，，∴m＝n，∴，，∴点B、C关于原点对称，∴设直线BC的解析式为，代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，把x＝m代入得：，∴D（m，），∴AD＝，∴，∴，∴，而当m＜0时，可得，故答案为：．【方法二】由题意知，S△OAB=，O为BC中点，因为所以，S△OAB==1，即①，又②，由①②可得：4.（2022•湖北十堰中考真题）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（

）A．36 B．18 C．12 D．9【答案】B．【解析】【方法一】解：连接AC，与BD相交于点P，设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．∴点D的坐标为（3，），∴点C的坐标为（3-t，+t）．∵点C在反比例函数y=的图象上，∴（3-t）（+t）=k2，化简得：t=3-，∴点B的纵坐标为+2t=+2（3-）=6-，∴点B的坐标为（3，6-），∴3×（6-）=，整理，得：+=18．【方法二】先利用D点坐标，表示出A和C点坐标，再根据四边形ABCD为正方形，BD与y轴平行，知AC平行于x轴，那么，A和C点的纵坐标相等，进而求解，，，所以，整理得：即因为所以，即5.（2022•黑龙江龙东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D．【解析】【方法一】解：设B点坐标为，则A，因为平行四边形OBAD的面积是5，所以，解得k=-2【方法二】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，∴，AB∥OD，∴AB⊥y轴，∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，∴，∴，解得：．故选：D．6.（2022•湖北黄石中考真题）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，的面积为6，则______________．【答案】8．【解析】【方法一】设C（m，0），由题意知E为AC中点，因为△OCE面积为6，所以E点纵坐标为，所以E，A，又A在反比例函数图像上所以解得k=8【方法二】解：如图作EF⊥BC，则，设E点坐标为（a，b），则A点的纵坐标为2b，则可设A点坐标为（c，2b），∵点A，E在反比例函数上，∴ab=k=2bc，解得：a=2c，故BF=FC=2c-c=c，∴OC=3c，故，解得：bc=4，∴k=2bc=8，故答案为：8．7.（2022•贵州六盘水中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．(1)求，两点的坐标；(2)将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：联立与，解得，；（2）【方法一】解：如图，过点作轴于点，，，，直线向下平移个单位长度得到，根据图象可知,令，得，令，得，，，，，与反比例函数在第一象限的图象交于点，，将代入，得，解得或（舍去）．【方法二】如图，连接OC，过C作CE⊥x轴，因为CD：DE=1:3，CE∥OE则△CDE∽△EDO，相似比为1:3，面积比为1:9，易知△ODE面积为，△OCE的面积为=2，所以△OCD的面积为2-，又△OCD与△ODE的面积比为1:3，所以2-=，解得：a=3或a=-3（舍）8.（2022•安徽中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．【答案】3．【解析】【方法一】设C，因为OC=AC所以A，又OABC为平行四边形所以B因为B点在上，所以k=【方法二】解