专题35锐角三角函数与圆综合(原卷版+解析)

专题35锐角三角函数与圆综合（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一利用垂径定理构造直角三角形典例1（2022•三水区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．针对训练1．（2021秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tanA=34．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则A．1 B．75 C．322．（2022秋•鄞州区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB=35，BC＝4，求⊙

类型二利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形典例2（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（）A．21313 B．31313 C．针对训练1．（2021•东海县模拟）如图，某广场上有一块半径125米的圆形绿化空地⊙O，城市管理部门规划在这块空地边缘顺次选择四点：A，B，C，D，建成一个从A﹣B﹣C﹣D﹣A的四边形循环健身步道（步道宽度忽略不计）．若∠A＝90°，∠B＝53.2°，AB＝200米．（1）求步道AD的长；（2）求步道围成的四边形ABCD的面积．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）

类型三利用圆周角定理把角转化到直角三角形中典例3（2021春•中原区校级月考）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆O上．（1）求证：AE＝AB；（2）填空：①当∠CAD＝°时，四边形OBED是菱形．②当∠CAB＝90°，cos∠ADB=13，BE＝2时，BC＝针对训练1．（2019•临河区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝6，BC＝3，则tan∠ADC的值为．2．（2019春•西陵区期中）如图，已知AD是⊙O的直径，弦BD＝弦BC，经过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：∠EBD＝∠CAB；（2）若BC=3，AC＝5，求sin∠CBA

类型四利用切线与相关半径的关系构造直角三角形典例4（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sin∠OCD=45，AB＝45，求针对训练1．（2019•东河区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sin∠CFD=35，则线段A．245 B．5 C．194

第二部分专题提优训练1．（2022•东城区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为．2．（2022•青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC=5+4，tanA=12，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点3．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．4．（2022秋•思明区校级期中）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B，D重合的点，∠A＝30°．（1）求∠BED的大小；（2）若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切．

5．（2020秋•平邑县期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB＝BE；（2）如果PD＝23，∠ABC＝60°，求BC的长．6．（2022•松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分∠BAD，点D在半圆上，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF与半圆O相切于点C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．7．（2022•石家庄模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图1，P是⊙O外一点，．求证：．（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．专题35锐角三角函数与圆综合（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一利用垂径定理构造直角三角形典例1（2022•三水区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．思路引领：（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即可解决问题；（2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题．解：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，∴AB=B∵12AB•AC=12BC∴AH=AB⋅AC∴BH=A∵AH⊥BD，∴BH＝HD=2∴BD=4（2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：由（1）得：AH=432，BD=∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6−4∵12AH•CD=12DM∴DM=AH⋅CD在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=A∴cos∠DAC=AM总结提升：本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tanA=34．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则A．1 B．75 C．32思路引领：根据已知易求BC，AB的长，进而可以求出直角三角形斜边上的高，所以想到过点C作CE⊥AB，垂足为E，利用等面积法求出CE，然后放在Rt△BCE中，利用勾股定理求出BE，再利用垂径定理求出BD，最后求出AD即可．解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tanA=3∴BCAC∴BC＝3，∴AB=A∵△ABC的面积=12AB•CE=12∴5CE＝12，∴CE=12在Rt△BCE中，BE=B∵CE⊥BD，∴BD＝2BE=18∴AD＝AB﹣BD＝5−18故选：B．总结提升：本题考查了解直角三角形，垂径定理，根据题目的已知条件添加辅助线是解题的关键．2．（2022秋•鄞州区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB=35，BC＝4，求⊙思路引领：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，由OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，根据圆周角定理可得∠B=12∠AOC，由已知∠CAD＝∠B，可得∠AOC＝2∠CAD，根据三角形内角和定理可得∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，等量代换可得∠CAO（2）根据角平分线的定义可得∠BAC＝∠DAC，由已知可得∠BAC＝∠B，根据垂径定理可得，OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，根据正弦定理可得sinB=CEBC=CE4=35，即可算出CE的长度，根据勾股定理可算出BE=BC2−CE2的长度，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC=∴∠B=1∵∠CAD＝∠B，∴∠AOC＝2∠CAD，∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，∴∠CAO+∠CAD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠CAD＝∠B，∴∠BAC＝∠B，∴OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，∵BC＝4，∴sinB=CE∴CE=12∴BE=B设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r−12在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，r2＝（r−125）2解得：r=10总结提升：本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．类型二利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形典例2（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（）A．21313 B．31313 C．思路引领：由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵点A，B，C都在格点上，∴∠ADC＝∠ABC，在Rt△ABC中，cos∠ABC=BCAB=故选：B．总结提升：本题考查圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．针对训练1．（2021•东海县模拟）如图，某广场上有一块半径125米的圆形绿化空地⊙O，城市管理部门规划在这块空地边缘顺次选择四点：A，B，C，D，建成一个从A﹣B﹣C﹣D﹣A的四边形循环健身步道（步道宽度忽略不计）．若∠A＝90°，∠B＝53.2°，AB＝200米．（1）求步道AD的长；（2）求步道围成的四边形ABCD的面积．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）思路引领：（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径可得BD是⊙O的直径，根据勾股定理即可求解；（2）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，解直角三角形求出AE、BE、AF、DF的长，证出四边形CDFE是矩形，即可求得四边形ABCD的面积．解：（1）连接BD，∵∠A＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴BD＝125×2＝250（米），∵AB＝200米，∴AD=B答：步道AD的长是150米；（2）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，在Rt△ABE中，∠B＝53.2°，AB＝200米，∴AE＝AB•sin53.2°≈200×0.80＝160（米），BE＝AB•cos53.2°≈200×0.60＝120（米），∵∠BAE+∠ABE＝∠BAE+∠DAF＝90°，∴∠DAF＝∠ABE＝53.2°，在Rt△ADF中，DF＝AD•sin53.2°≈150×0.80＝120（米），∴AF＝90（米），∴EF＝AE﹣AF＝70（米），∵AE⊥BC，DF⊥AE，∠BCD＝90°，∴四边形CDFE是矩形，∴四边形ABCD的面积为：12×120×160+120×70答：步道围成的四边形ABCD的面积是23400平方米．总结提升：此题主要考查了解直角三角形的应用，以及圆周角定理，勾股定理的应用，关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．类型三利用圆周角定理把角转化到直角三角形中典例3（2021春•中原区校级月考）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆O上．（1）求证：AE＝AB；（2）填空：①当∠CAD＝°时，四边形OBED是菱形．②当∠CAB＝90°，cos∠ADB=13，BE＝2时，BC＝思路引领：（1）利用折叠的性质得出AC＝AE，∠C＝∠AED，再判断出∠C＝∠ABC，得出AB＝AC，即可得出结论；（2）①先判断出△AOD是等边三角形，得出∠ADO＝60°，进而求出∠ADE＝120°，再求出∠C＝∠ABC＝∠DAC＝30°；②先求出EF＝1，再判断出∠AEB＝∠ADB，利用锐角三角函数求出AE，进而求出AB，即可得出结论．（1）证明：由折叠知，AC＝AE，∠C＝∠AED，∵∠ABC＝∠AED，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∴AE＝AB；（2）解：①如图，∵四边形AOED是菱形，∴DE＝OA＝AD，连接OD，∴OA＝OD，∴AD＝OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝60°，同理：∠ODE＝60°，∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝120°，由折叠知，CD＝DE，∠ADC＝∠ADE，∴∠ADC＝120°，∵AD＝DE，∴CD＝AD，∴∠CAD＝∠C=12（180°﹣∠故答案为：30°．②如图，过点A作AF⊥BE于F，由（1）知，AE＝AB，∴EF=12∵∠ADB＝∠AEB，cos∠ADB=1∴cos∠AEB=1在Rt△AFE中，cos∠AEB==1∴AE＝3EF＝3，由（1）知，AE＝AB，∴AB＝3，由（1）知，AB＝AC，∵∠CAB＝90°，∴BC=2AB＝32故答案为：32．总结提升：此题是圆的综合题，主要考查了折叠的性质，圆周角定理，锐角三角函数，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求出∠ADC是解本题的关键．针对训练1．（2019•临河区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝6，BC＝3，则tan∠ADC的值为．思路引领：先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用勾股定理计算出AC＝33，利用正且的定义得到tan∠ABC=3，然后根据圆周角定理得到∠ADC＝∠ABC，从而得到tan∠ADC解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AC=AB2∴tan∠ABC=AC∵∠ADC＝∠ABC，∴tan∠ADC=3故答案为3．总结提升：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．2．（2019春•西陵区期中）如图，已知AD是⊙O的直径，弦BD＝弦BC，经过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：∠EBD＝∠CAB；（2）若BC=3，AC＝5，求sin∠CBA思路引领：（1）连接OB，根据切线的性质得出∠OBD+∠EBD＝90°，由圆周角定理得出∠CAB＝∠BAD，∠ABO+∠OBD＝90°，即可证得∠EBD＝∠ABO，根据等腰三角形的性质即可证得∠OAB＝∠OBA，从而证得结论；（2）连接CD，交OB于M，根据垂径定理得出OB⊥CD，CM＝DM，然后根据三角形中位线定理求得OM=52，然后G根据勾股定理得出r2﹣（52）2＝（3）2﹣（r−52）2，解得r＝3，解直角三角形求得sin∠ADC=ACAD=（1）证明：连接OB，∵BE是⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBD+∠EBD＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠OBD＝90°，∴∠EBD＝∠ABO，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OAB＝∠EBD，∵弦BD＝弦BC，∴BC=∴∠CAB＝∠BAD，∴∠EBD＝∠CAB；（2）解：连接CD，交OB于M，∵BC=∴OB⊥CD，CM＝DM，∵OA＝OD，∴OM=12AC设圆的半径为r，∴BM＝r−5∵BD＝BC=3∵OD2﹣OM2＝BD2﹣BM2，∴r2﹣（52）2＝（3）2﹣（r−52解得r＝3或r=−1∴AD＝2r＝6，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴sin∠ADC=AC∵∠CBA＝∠ADC，∴sin∠CBA=5总结提升：本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．类型四利用切线与相关半径的关系构造直角三角形典例4（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sin∠OCD=45，AB＝45，求思路引领：（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，进而得出EC是切线；（2）根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质可求出EC，根据S阴影部分＝S△COE﹣S扇形进行计算即可．（1）证明：如图，连接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠ABO＝90°，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，∵OD是半径，∴EC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD=4设OD＝4x，则OC＝5x，∴CD=OC2−OD在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝45，由勾股定理得，OB2+OA2＝AB2，即：（4x）2+（8x）2＝（45）2，解得x＝1或x＝﹣1（舍去），∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，∴△COD∽△CEO，∴OCEC即5EC∴EC=25∴S阴影部分＝S△COE﹣S扇形=12×=503=50−12π答：AC＝3，阴影部分的面积为50−12π3总结提升：本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．针对训练1．（2019•东河区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sin∠CFD=35，则线段A．245 B．5 C．194 思路引领：连接OD，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到OD∥AB，再根据切线的性质得到OD⊥DF，则AE⊥EF，接着在Rt△ODF中利用正弦的定义求出OF＝5，然后在Rt△AEF中利用正弦定义可求出AE的长．解：连接OD，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∴AE⊥EF，在Rt△ODF中，∵sin∠CFD=ODOF=∴OF＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠F=AE∴AE=35（3+5）故选：A．总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．第二部分专题提优训练1．（2022•东城区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为．思路引领：连接AD、BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BCD＝∠BAD，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可．解：连接AD、BD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB=A∴sin∠BAD=BD由圆周角定理得：∠BCD＝∠BAD，∴sin∠BCD=3故答案为：35总结提升：本题考查的是解直角三角形、圆周角定理，熟记正弦的定义、掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2022•青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC=5+4，tanA=12，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点思路引领：如图，设⊙M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F．解直角三角形求出CM，OM，根据OC≥OM﹣CM即可解决问题．解：如图，设⊙M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F．∵AC，AB是⊙O的切线，∴MJ⊥AC，MT⊥AB，∴∠AJM＝∠ATM＝90°，∴∠A+∠JMT＝180°，∵∠JMT+∠FMT＝180°，∴∠A＝∠FMT，∴tanA＝tan∠FMT=1∵MT＝2，∴TF＝1，FM=M∴JF＝MJ+MF＝2+5∴AJ＝2FJ＝4+25，∵AC＝2BC＝8+25，∴CJ＝4，∵∠CJM＝90°，∴CM=CJ2∵M（3，6），∴OM=32+∵OC≥OM﹣CM，∴OC≥35−25∴OC≥5∴OC的最小值为5．故答案为5．总结提升：本题考查解直角三角形，切线的性质，坐标由图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．思路引领：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，解直角三角形求得OH，PH，然后根据勾股定理求得CH，进而即可求得CD和PC；（2）求得△APD和△PBC的面积，进而即可求得四边形ABCD的面积．解：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，在Rt△OPH中，∠P＝30°，OP＝OB+BP＝2+1＝3，∴OH=12OP=12×3=3在Rt△OHC中，CH=O∵CD＝2CH，∴CD=2×7∴PC=PH−HC=3（2）由（1）知：PD=CD+PC=7+33−∴S△PBC=1∴S四边形ABCD总结提升：本题考查垂径定理，解直角三角形以及勾股定理的应用，三角形的面积，通过解直角三角形其实三角形的高是解题的关键．4．（2022秋•思明区校级期中）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B，D重合的点，∠A＝30°．（1）求∠BED的大小；（2）若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切．思路引领：（1）根据切线的性质，得出∠ABO＝90°，进而求出∠AOB＝60°，∠BOD＝120°，再根据圆周角定理得出答案；（2）根据等腰三角形的判定和性质可得AB＝DB，进而得出DB＝AB＝BF，根据“三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形”得出OD⊥DF即可．（1）解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，即∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED=12∠（2）证明：连接BD，∵OB＝OD，∠BOD＝120°，∴∠ODB=12（180°﹣60°）＝30°＝∠∴AB＝DB，又∵AB＝BF，∴DB＝AB＝BF，∴△ADF是直角三角形，即∠ADF＝90°，∵OD⊥DF，OD是半径，∴DF是⊙O的切线．总结提升：本题考查切线的性质和判定，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形性质，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形的性质是正确解答的前提．5．（2020秋•平邑县期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB＝BE；（2）如果PD＝23，∠ABC＝60°，求BC的长．思路引领：（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥PC，则可判断OD∥BE，所以∠ODA＝∠E，加上∠ODA＝∠OAD，所以∠OAD＝∠E，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）利用OD∥BE得到∠DOP＝∠ABC＝60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝2，PO＝4，则PB＝6，然后在Rt△PBC中利用∠P＝30度得到BC的长．（1）证明：连接OD，如图，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PC，∵PC⊥BE，∴OD∥BE，∴∠ODA＝∠E，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠E，∴AB＝BE；（2）解：∵OD∥BE，∴∠DOP＝∠ABC＝60°，在Rt△POD中，∵∠P＝90°﹣∠POC＝30°，∴OD=33PD=3∴PO＝2OD＝4，∴PB＝PO+OB＝6，在Rt△PBC中，BC=12总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．6．（2022•松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分∠BAD，点D在半圆上，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF与半圆O相切于点C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．思路引领：（1）根据垂直定义可得∠E＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证AE∥OC，然后利用平行线的性质可求出∠OCF＝90°，即可解答；（2）根据已知可求出OF＝5，AF＝8，再在Rt△OCF中，利用勾股定理求出CF＝4，然后证明A字模型相似三角形△FCO∽△FEA，从而利用相似三角形的性质求出AE，EF的长，最后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．（1）证明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠EAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCF＝90°，∵OC