专题09勾股定理逆定理的实际应用(原卷版+解析)

专题09勾股定理逆定理的实际应用知识导航知识导航必备知识点勾股定理逆定理的实际应用主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上中线性质等知识点综合题型.例：如图，在ΔABC中，E点为AC的中点，且有BD=1，CD=3，BC=，AD=.求DE的长.分析：根据勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，求出线段AC长，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可.解：∵+=∴BD²+CD²=BC².△BDC为直角三角形，∠BDC=90°在RT△ADC中，∵CD=3，AD=,∴AC²=3²+(）²=16,∴AC=4，∵E点为AC的中点，∴DE=AC=2.题型精炼题型精炼 一、单选题1．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ΔABC绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（

） B． C． D．2．如图，在ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（

）A．5 B．4.8 C．3 D．2.43．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（

）A．北偏西 B．南偏西75°C．南偏东或北偏西 D．南偏西或北偏东4．下列结论中，错误的有()①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；④若(x﹣y)2+M=(x+y)2成立，则M=4xy．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（）A．三个角的比是1：1：2 B．三条边的比是2：3：4C．三条边满足关系a2=c2-b2 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，垂足为E，，，．则AE的长为（）B．3C．D．二、填空题7．如图所示，一个半径为1的圆过一个半径为的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为________．

“我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=0.5千米，则该沙田的面积为________________平方千米．9．如图，在中，，，．绕点B顺时针方向旋转45°得到，点A经过的路径为弧，点C经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）10．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿______的方向航行．三、解答题11．如图1，有一张矩形纸条，边、的长分别是方程的两个根，为上一点，．（1）连接，，试说明．（2）如图2，为边上一个动点，将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上，边与边交于点．①如图3，当点与点重合时，求到的距离．②在点从点运动到点的过程中，求点相应运动的路径长（路程）．12．省耕文化公园是昭阳区城市的新名片，公园内有一块四边形ABCD草坪．如图所示，∠B＝90°，AB＝30米，BC＝40米，CD＝120米，AD＝130米，求四边形ABCD草坪的面积．13．△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形，使ABC与的位似比为1：2，且位于点C的异侧；（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形；14．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．15．如图所示，已知抛物线在坐标系中的顶点为，且与坐标轴交点为点．（相关数据见图中标示）（1）求该抛物线的解析式；（2）求△的面积；（3）在轴上求作一点使△得周长最小，求出满足条件的点的坐标．16．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？17．如图是由边长为1的小正方形构成6×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点都是格点，点E是边AD与网格线的交点．仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）直接写出四边形ABCD的形状；（2）在BC边上画点F，连接EF，使得四边形AEFB的面积为5；（3）画出点E绕着B点逆时针旋转90°的对应点G；（4）在CD边（端点除外）上画点H，连接EH，使得EH＝AE+CH．18．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．(1)求修建的公路CD的长；(2)若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？19．埃及人曾用下面的方法得到直角，如图1，他们用13个等距的结将一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．（1）你能说说其中的道理吗？（可设相邻两个结点之间的距离为a）（2）仿照上面的方法用31个等距的结将一根绳子分成等长的30段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第31个结，两个助手分别握住第6个结和第18个结，拉紧绳子，将得到一个直角三角形其直角在第6个结处，请你在图2中，画出示意图即可．专题09勾股定理逆定理的实际应用知识导航知识导航必备知识点勾股定理逆定理的实际应用主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上中线性质等知识点综合题型.例：如图，在ΔABC中，E点为AC的中点，且有BD=1，CD=3，BC=，AD=.求DE的长.分析：根据勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，求出线段AC长，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可.解：∵+=∴BD²+CD²=BC².△BDC为直角三角形，∠BDC=90°在RT△ADC中，∵CD=3，AD=,∴AC²=3²+(）²=16,∴AC=4，∵E点为AC的中点，题型精炼∴DE=AC=2.题型精炼一、单选题1．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ΔABC绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理逆定理得出ΔCDB是直角三角形，以及锐角三角函数关系进而得出结论．【详解】解：如图，连接BD，，由网格利用勾股定理得：是直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、余弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．2．如图，在ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（

）A．5 B．4.8 C．3 D．2.4【答案】B【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【详解】如图，连接BD．∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°．又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴四边形EDFB是矩形，∴EF=BD．∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，∴EF的最小值为4.8，故选：B．【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．3．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（

）A．北偏西 B．南偏西75°C．南偏东或北偏西 D．南偏西或北偏东【答案】C【分析】先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵，∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏东75°，∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．4．下列结论中，错误的有()①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；④若(x﹣y)2+M=(x+y)2成立，则M=4xy．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据勾股定理以及逆定理即可解答．【详解】①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是，所以错误；②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；③最大角∠C=×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；④若（x-y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2-（x-y）2=4xy，正确．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．5．下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（）A．三个角的比是1：1：2 B．三条边的比是2：3：4C．三条边满足关系a2=c2-b2 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A【答案】B【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案.【详解】A.三个角的比为1:1:2,设最小的角为x,则x+x+2x=180°,x=45°,2x=90°，故正确；B.三条边的比为2:3:4,22+32≠42，故错误；C.三条边满足关系a2=c2-b2，故正确；D.三个角满足关系∠B+∠C=∠A,则∠A为90°，故正确.故选B.【点睛】此题考查勾股定理逆定理的应用，直角三角形的判定，解题关键在于利用各性质定义.6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，垂足为E，，，．则AE的长为（）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，则得到AO=3，BO=5，而AB=4，三边长满足勾股定理，则三角形AOB是直角三角形，∠BAC=90°，则三角形BAC也是直角三角形，再用等面积法求AE.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形∴又AB=4满足故三角形ABO是直角三角形，∠BAC=90°即三角形BAC也是直角三角形在三角形BAC中，∴而三角形的BAC面积=BA×AC×=BC×AE×则可得：4×6×=×AE×故AE=故选D【点睛】本题综合性考察了直角三角形三边的关系，解题关键在于熟悉常见的勾股数，例如（3，4，5）（6，8，10），（5，12，13），熟悉后能够更快的判断出直角三角形.题中涉及到求直角三角形斜边的高，可以用到等面积法灵活处理.二、填空题7．如图所示，一个半径为1的圆过一个半径为的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】1【分析】如图，连OA，OB，OC，AB由OA＝，CA＝CB＝1，则有，得到△OCA为直角三角形，则∠AOC＝45°，同理可得∠BOC＝45°，得到AB为⊙C的直径．所以S阴影部分＝S半圆AB﹣S弓形AB＝S半圆AB﹣（S扇形OAB﹣S△OAB），然后根据圆、扇形和三角形的面积公式进行计算即可得到阴影部分的面积．【详解】解：⊙O的半径为，⊙C的半径为1，点O在⊙C上，连OA，OB，OC，AB，如图：由OA＝，CA＝CB＝1，则有，∴OA2＝CA2＋CB2，∴△OCA为直角三角形，∴∠AOC＝45°，同理可得∠BOC＝45°，∴∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∴S阴影部分＝S半圆AB﹣S弓形AB＝S半圆AB﹣（S扇形OAB﹣S△OAB）＝＝1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，直径所对的圆心角是直角，扇形面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．“我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=0.5千米，则该沙田的面积为________________平方千米．【答案】7.5【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【详解】解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故答案为7.5．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．9．如图，在中，，，．绕点B顺时针方向旋转45°得到，点A经过的路径为弧，点C经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）【答案】##【分析】设与AC相交于点D，过点D作，垂足为点E，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，根据三边关系可得，根据题意及等角对等边得出，在中，利用正弦函数可得，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．【详解】解：设与AC相交于点D，过点D作，垂足为点E，∵，，，∴，∴为直角三角形，∴，∵绕点B顺时针方向旋转45°得到，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，，，，，故答案为：．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．10．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿______的方向航行．【答案】北偏西40°【分析】分别求出PR和PQ，再利用勾股定理逆定理求出∠QPR=90°，最后求出∠NPR，即可完成求解．【详解】解：∵“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，∴，，∵两船相距30nmile，∴，∵，∴，∴∠QPR=90°，∵“远航”号沿北偏东50°方向，∴∠NPQ=50°，∴∠NPR=90°－50°=40°，∴“海天”号沿北偏西40°方向航行，故答案为：北偏西40°．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解决本题的关键是求出PQ和PR，通过计算得到三角形的三边满足其中两边的平方之和等于第三边的平方，进而求出∠QPR，同时本题还需要学生理解方位角的概念，能正确的表述方位．三、解答题11．如图1，有一张矩形纸条，边、的长分别是方程的两个根，为上一点，．（1）连接，，试说明．（2）如图2，为边上一个动点，将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上，边与边交于点．①如图3，当点与点重合时，求到的距离．②在点从点运动到点的过程中，求点相应运动的路径长（路程）．【答案】（1）见解析；（2）①；②【分析】（1）解方程x2-7x+10=0得AB=5，BC=2，再由勾股定理和勾股定理的逆定理得∠AEB=90°即可；（2）①先证AN=EN，设AN=EN=x，则DN=DE-EN=4-x，在Rt△ADN中，由勾股定理得出方程，求出，再由勾股定理得，设N到ME的距离为h，然后由三角形面积得，即可求解；②当M与点A重合时，；当MB'⊥AB时，EN=AD=2；当B'在CD上，N与B'重合，，即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，解方程得或，，，四边形是矩形，，，，，，，，是直角三角形，；（2）解：①四边形是矩形，，，由折叠的性质得：，，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，在中，由勾股定理得：，设到的距离为，则，，即到的距离为；②当与点重合时，如图3所示：此时；当时，如图4所示，此时；当在上，与重合，如图5所示：此时；点相应运动的路径长为：．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．12．省耕文化公园是昭阳区城市的新名片，公园内有一块四边形ABCD草坪．如图所示，∠B＝90°，AB＝30米，BC＝40米，CD＝120米，AD＝130米，求四边形ABCD草坪的面积．【答案】3600米2【分析】连接AC，根据勾股定理可求得AC，再根据勾股定理的逆定理，可证得∠ACD＝90°，最后由S四边形ABCD＝S△BAC+S△ADC，即可求得．【详解】解：连接AC，如图所示：在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝302+402＝2500，∵AC＞0，∴AC＝50，在△CAD中，AC2+CD2＝2500+14400＝16900＝AD2，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△BAC+S△ADCAB•BCAC•DC，30×4050×120＝3600(米2)，答：这块四边形草坪ABCD的面积是3600米2．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，作出辅助线，证得∠ACD＝90°是解决本题的关键．13．△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形，使ABC与的位似比为1：2，且位于点C的异侧；（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形；【分析】（1）根据位似的性质，结合正方形网格和位似比作图，即可得到答案；（2）结合正方形网格，根据勾股定理逆定理、旋转的性质，得、，再根据位似的性质作图，即可得到答案．【详解】（1）如下图：即为所求；（2）如下图：∵边长为1的正方形网格∴，∴∴即为所求．【点睛】本题考查了位似、旋转、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．14．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，由此即可得出答案；（2）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据垂线段最短即可得．【详解】解：（1）在中，，，，，在中，，，答：供水点到喷泉需要铺设的管道总长为；（2），，是直角三角形，且，即，由垂线段最短可知，即为所求的最短距离，答：喷泉到小路的最短距离为．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短等知识点，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．15．如图所示，已知抛物线在坐标系中的顶点为，且与坐标轴交点为点．（相关数据见图中标示）（1）求该抛物线的解析式；（2）求△的面积；（3）在轴上求作一点使△得周长最小，求出满足条件的点的坐标．【答案】（1）或为；（2）；（3）点的坐标为（0，3）.【分析】（1）根据待定系数法利用顶点式即可求出函数解析式；（2）根据勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的面积计算公式计算即可；（3）过y轴作C的对称点，连接与y轴交于，此时的周长为最小，求出直线的解析式，即可求得点D的坐标．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：，将（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的解析式为：或为；（2）当时，，即，如下图所示，，，,∴,△ABC为直角三角形，∴；（3）如下图，过y轴作C的对称点，连接与y轴交于，此时的周长为最小，设直线的解析式为，则，解得，∴，点的坐标为（0，3）.【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，轴对称与最短路径问题，勾股定理的逆定理．（1）中注意此题中用顶点式较为简单；（2）能得出△ABC为直角三角形是解题关键；（3）掌握轴对称与最短路径问题是解题关键．16．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【答案】解：(1)是，理由见详解；(2)新路CH比原路CA少0.05千米．【分析】(1)根据勾股定理的逆定理验证△CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；(2)在△ACH中根据勾股定理解答即可．【详解】解：(1)是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2，∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；(2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知设AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=(x-0.9)2+1.22，解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．17．如图是由边长为1的小正方形构成6×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点都是格点，点E是边AD与网格线的交点．仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）直接写出四边形ABCD的形状；（2）在BC边上画点F，连接EF，使得四边形AEFB的面积为5；（3）画出点E绕着B点逆时针旋转90°的对应点G；（4）在CD边（端点除外）上画点H，连接EH，使得EH＝AE+CH．【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可证明四边形ABCD为正方形；（2）延长EO交BC于F，则根据正方形为中心对称图形得到AE＝CF，则可根据梯形的面积公式计算出四边形AEFB的面积为5；（3）延长DC交过B点的铅垂线于G点，通过证明△BAE≌△BCG得到BG＝BE；（4）利用网格特点，作∠EBG的平分线交CD于H点，证明△BEH≌△BGH，则EH＝HG，则AE＝CG，则有EH＝AE+CH．【详解】解：（1）∵AB＝BC＝CD＝AD＝＝，∴四边形ABCD为菱形，∵BD＝＝2，∴AD2+AB2＝BD2，∴∠BAD＝90°，所以四边形ABCD为正方形；（