湖北省襄阳市2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试卷（解析版）

湖北省襄阳市2023-2024学年高一下学期期末考试试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知z=2—i,贝！|z（5+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

（答案1C

（解析D因为z=2—i,故W=2+i，故z（z+i）=（2-i）（2+2i）=4+4i-2i-2i?=6+2i.

故选：C.

2.已知向量q,b不共线，且向量a+与（/l+l）a+2Z;共线，则实数4的值为（）

A.-2或-18.-2或1C.-1或2D.1或2

（答案1B

K解析I若向量a+与（彳+1）。+2匕共线，则存在实数h

（2+1）a+2Z>==ka+kAb,

4+1=k,

又因为向量Q,b不共线，所以4c7。，

2=kA

解得4二—2或4=1.

故选：B.

3.利用简单随机抽样，从〃个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下

的每个个体被抽到的机会为则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（）

4

55110

A.-B.—C.—D.—

718437

K答案UD

k解析X由题意可得一二=!，故八=37,所以每个个体被抽到的机会为”.

n-1437

故选：D.

4.《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈.高五丈.问积几何（今译：已知

正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长。=5丈，上底边长6=4丈.高々=5丈.问它

的体积是多少立方丈？（）

b

400

A.75

K答案XB

(解析Iv=|(s+s,+VF?7)/i=1p+V^V+Z?2)./i

=g(5?+A/52x42+42^X5=-^X61X5=.

故选：B.

5.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数

元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率

是（）

3132

A.-B.-C.—D.一

43105

［答案XD

K解析X6元分成整数元有3份，可能性有（1,1,4）,（1,2,3）,（2,2,2）,第一个分法

有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，

42

故概率为一=一.

105

故选：D.

6.水平放置的ABC,用斜二测画法作出的直观图是如图所示的.ABC',其中

。4=。5'=2,09=5则一ABC绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积

为（）

A.8。5nB.16A兀C.(873+3)71D.(16A/3+12)K

（答案］B

K解析[根据“斜二测画法”可得AO=BO=2,OC=2y/3,AB=AC=BC=4,

ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,

它的表面积为S=2汽r/=2兀x2^/3x4=16若兀.

故选：B.

—>—>=2,De[—4,0],则口的取值范围是（

7.已知2a+b

A.[0,1]Br1C.[1,2]D.[0,2]

（答案』D

（解析工设募=21+0则口=2,

〉〉yyyy)〉21

b=m-2a,a-b=a-m-2aG[-4,0]J所以一-a-b^[0,2],

2

2

-1-,J].f]-2L7]-2

a—m=a—a-m-1----m—a-b-\----m,

4216216

f2

1-2I].2

——m<(a—m)2<2-\----m又m=4,

16416

113

所以a——mG一,一

422

111

Xl|4z|-|-m||<a--m<||«|+|-m||,

44444

则。£[0,2],

故选：D.

8.已知三棱锥A—BCD的所有顶点都在球。的球面上，平面ABC,NB4c=90。,

AD=2,若球。的表面积为29»,则三棱锥A—BCD的侧面积的最大值为（）

A.5日vB.5五+当C.6用孑D.10后+与

K答案』A

K解析』设球。得半径为R,AB=x,AC=y,

由4兀R2=29兀，得4R2=29.Xx2+y2+22=(2R)2,得N+y2=25,

三棱锥A-BCD的侧面积：S=SAABD+SAACD+SAABC=—2%H----2yH—xy,

222

由x2+fN2孙，得xyw”,当且仅当x=y=述时取等号，

-2-2

由（x+y）2=工2+2盯+》2三2（N+y2）,得x+yW5a,当且仅当x=y=$近时取等号,

；•SW50+,义生=50+生，当且仅当x=y=述时取等号，

2242

三棱锥A-BC。的侧面积的最大值为50+生.

4

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是（）

A.长方体B.圆台C.四棱台D.正四面体

［答案』ACD

k解析》对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截

面的形状是正方形，故A正确；

对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误；

对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是

正方形，故c正确；

对于D：如图所示正四面体S-ABC,将其放到正方体中，

取SB的中点E，SC的中点。，取A3的中点歹，AC的中点。G,

依次连接所、FG、GD、DE,由正方体的性质可知截面。EFG为正方形，故D正确.

故选：ACD.

10.疫情带来生活方式和习惯的转变，短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选.某电影艺

术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问

卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则()

A.图中。=0.028

B.在4000份有效样本中，短视频观众年龄在2030岁的有1320人

C.估计短视频观众的平均年龄为32岁

D.估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁

［答案XBCD

k解析》对于A,(0.015+0.033+a+0.011+0.011)x10=1,，a=0.03,A错误;

对于B,由频率分布直方图知：短视频观众年龄在2030岁的人对应频率为0.33,

,短视频观众年龄在20一30岁的有4000x0.33=1320人，B正确；

对于C,平均年龄

%=(0.015x15+0.033x25+0.03义35+0.0H义45+0.0Hx55)x10=32,c正确；

对于D,设75%分位数为x,贝|0.015xl0+0.033><10+(x—30)x0.03=0.75,

解得：％=39,D正确.

故选：BCD.

11.已知是等腰直角三角形，AB=AC=2,用斜二测画法画出它的直观图AB'C',

则B'C'的长可能是()

A.272B.2/C.,5-2夜D.；

［答案》AC

K解析U以8C为X’轴，画出直观图，如图2,此时B'C'=BC=j4+4=2a，A正确；

图2

以8c为丁'轴，则此时==挺，

则BC的长度范围是［应,2夜］,

若以AB或AC为无轴，画出直观图，如图1,以为轴，则A'8'=2,A'C'=1,

此时过点C作CD，V于点，则ZCA'B'=45°,

则AD=C'Z)=变，B'D=2-—,

22

由勾股定理得：=J。一4］=/5-2出,C正确；

故选：AC.

12.如图，已知八四。，△DEF均为等边三角形,D,E,歹分别为BE,CF,AD的中点,

尸为一。印内一点（含边界）.AP=xAB+yAC,下列说法正确的是（)

延长助交AC于则。0=1C4

3

B.若。r）+OE+OE=0，则。为一ABC的重心

C.若x+y=a，则点P的轨迹是一条线段

D.x+y的最小值是工

3

（答案1ABC

k解析IA选项，因为已知八45。，ADEF均为等边三角形,

D,E,尸分别为3E,CF,AD的中点，连接CQ,AE,BF,延长BE交AC于点M,

则SDBC=SDCE=SABF=SBDF=S.AEF=SDEF,

所以5小肥=2s△CBE'则4W=2QW,CM=-CA,A正确;

3

以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直A2为y轴建立平面直角坐标系，

延长4。交3C于点G,延长C尸交于点N,由A选项可知：CG=2BG,BN=2AN,

设.ABC边长为1,则2（L0）,N1,0；C1

2'3'

则直线CN:丁=3瓜-6，直线BM：y=xH,

联立直线CN与求得:

5

%二一

y=2x,联立直线AG与求得:7(5回

直线AG：,所以。

56

5

x=一

14(5回

联立直线AG与CN,求得:,所以尸

73

因为8+QE+0/=0，则。为即的重心,

逑

’3§9B叵即。肾)

则O，十;五，十二五

0+1+-0+0+—

而-ABC的重心为一1，—

\7

故。为的重心，B正确;

设尸(加,〃)，AP=xAB+yAC,结合B选项中建立的坐标系,

可知：(%,〃)=x(L0)+y

16

x+~y=mx-m------n

2

即《,解得：《3

G2百

——y=ny-------n

[2,3

-什^x+y=—1贝!h"—走"+冬8"=；,整理得：6m+2\[3n—3=0,

33

因为P为…DEF内一点（含边界），所以点尸的轨迹是一条线段，C正确;

,A/3

结合C选项，可知无+丁=根一与+亚n=m-\---n，

333

55

其中mGG

1497

当根=?-,"=」^时，x+y=机取得最小值,

14143

最小值为x+y=2+且X3=3,故D错误.

■143147

故选：ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直播带货已成为一种新的消费方式，据某平台统计，在直播带货销量中，服装鞋帽类占

28%,食品饮料类占20%,家居生活类占19%,美妆护肤类占9%,其他占24%.为了

解直播带货各品类的质量情况，现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为〃的样本.已知在

抽取的样本中，服装鞋帽类有560件，则家居生活类有件.

K答案H380

K解析工九=560+28%=2000,故家具生活类件数为2000x19%=380.

故K答案』为：380.

14.如图，在四面体ABCD中，BD=141>AC=2,M,N分别为BC、AD的中点,

MN=1,则异面直线AC与3。所成的角是

K答案工450

K解析』取CD的中点E,连接ME,NE,因为M为的中点，N为AD的中点,

所以NE//AC且NE=-AC,MEHBD且ME=-BD,

22

所以NNEM即为异面直线AC与所成的角或其补角,

又BD=2①,AC=2,MN=1,

所以NE=1,ME=®，所以ME?=MN?+NE?,所以NMNE=90°,

所以一肱VE为等腰直角三角形，所以NA®M=45°.

故［答案］为：45°.

15.如图，在RtABC中，点/是斜边A3的中点，点N在边上，且

MN±AB,MN=&CN=1，则AC=.

《答案12&

K解析工设BN=x,则5M=J7=i，由题意得"幺="，

'BNBA

2

Jr—3Y+1L

即、^~-=；解得％=3,止匕时30=4,48=2指，得AC=2及.

x2VX2-3

故（答案》为：2JL

IT

实数苍满足

16.已知G+e2+e3=0,且q-Zx+y+z=l且

0<X<g<y<1,则卜，++ze3|的最小值是

咯案若

K解析U在平面直角坐标系中，令q=(l,0),设4二(cose,sin。),

则e3=（-l-cos仇一sin0），

|华F=2+2COS6=1,解得COS8=—；,则sin6=±：,

依题意，不妨令e2=(—g，F)，e3=(-1,-

而贝

z=l—x—y,i|x6+ye?+ze；=(14,*+信一亭有|烟+ye2+z1F=

当且仅当5%——即2x+y=l时取“=”，而。〈工〈一〈y〈l,

~^T=32

11

则(3y—I)9?2—,当且仅当丁=一时取“=”，

■42

因此，I尤6+y4+z/『之—(3y—I)?2—,当且仅当2x+y=1且y=—,

4162

即％=!且丁=，时取"=，，，

42

所以当％=!，＞=］，2=，时，，6+丁02+21|取得最小值!.

424114

故K答案X为：一.

4

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知向量满足口=3,,一0二5.

(1)若〃⑦=0,求仿1的值;

(2)若〃2=i,求N+q的值.

I।rr2r2r2rr臼2।।

(1)v|tz-fe|=5,/.a—b=a+b-2a・l=9+b=25,\tb\l2=16,即忖=4.

(2)\a-l^=a+b-2a-b=9+\b^-2=25,：.\bf=18,即忖=3后，

2a+b+4a-b+b=力36+4+18=屈.

18.如图，已知在正三棱柱ABC-A4G中，。为棱AC的中点，45=44=2.

(1)求正三棱柱ABC-AqG的表面积;

(2)求证：直线4片〃平面GBO.

解:(1)5表=¥X22X2+3X2X2=12+2Q.

(2)取C]B和g。交点加，连。M，

,：D,M分别为AC,3c中点，故4瓦//。加.

ABX(Z平面BDCX,DMu平面BDCX.

・・・A耳〃平面50G.

19.如图，四棱锥尸-A6CD的底面四边形ABCD为正方形，顶点P在底面的射影为线段

AD的中点0,E是尸5的中点，AB=2,PC=3.

、E

(1)求证：OE//平面PC。；

(2)求过点D,O,E的平面截该棱锥得到两部分的体积之比.

解：(1)由题，如图，取PC中点R连接ERDF,则EF为1c的中位线,

故MBCOD,EF=-BC=-AD=OD,

故四边形为平行四边形，WOE〃DF,

又QFu平面PCD。£4平面PC。，故OE//平面尸CD.

(2)由(1)得，过点£),O,E的截面为平面AOEF

截出的两部分可看作四棱锥E-ABCD与三棱锥石-下⑦组合，

以及三棱锥E—A4D与三棱锥石-PED组合；

由_£是PB的中点，易得VE_ABCD=~^P-ABCD，^E-BCD~万^P-BCD~~^P-ABCD；

由尸是PC的中点，易得VE_FCD=VE_PFD=P-BCD~~^^P-ABCD；

4o

故过点。，a£的平面截该棱锥得到两部分的体积之比为

=5:3.

20.在①)。2一bc=b?+02,②sin2A+sin(5+C)=。，(§)2acosA+bcosC+ccosB=0,

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解.问题：如图，在ABC中，角AB,C

所对的边分别为a,b,c,。是边上一点，5£)=2。。，tanC=2匹，若，

A

(1)求角A的值；

(2)求tan/C4£＞的值.

An/1、、4gHF;A-rtA/+(72_/g2_be―/

斛：(l)选①：由题知COSA=--------------=---------------

2bc

选②：sin2A+sin(B+C)=2sinAcosA+sinA=0,因为Aw(0,7i),sinA>0,

所以cosA=一‘；

2

选③：由正弦定理边化角可得

2sinAcosA+sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA+sin(B+C)=0,

同②可得cosA=—；

2

9.JT

因为Ae(0,兀)，所以A=石.

(2)因为tanC=2^,Ce(0,£),

52

2A/3

所以由<smC―5c°sC,解得sinC=^^,cosC=J=,

22

_sinC+cosC=l屈历

而z.9厂、•'厂G51263G

所以sin6=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsmC=——x—=——x—；==-T=,

2V372V372V37

所以2=吧0=3,记。=3f,c=4f/>0,

csinC4

则/=9t2+16r—2x3/x4-tx(——)—37/，即。=J371，

因为所以CD=^-t，

3

所以A£>2=9广+卫/―2x3/x叵tx—1==生/，得AD=^-t,

9373793

c2282372_

%-_26

所以cos/CAD=

7

2x3/x

3

因为NC4De（0，W）,所以sin/C4D=叵，所以tanNCAD=3.

272

21.如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2,H为DE上一点、，且

（1）当X=g时，试用AD,Ab表示A//；

（2）求AG-CH的取值范围.

解：（1）由正六边形性质可知，AF=0E，

因为几=工，所以OH=OE+工ED=OE+L（OD—OE）=工AF+^OD,

22222

所以A"=40+0〃=工>1£>+工4/+工0。=34£>+工4/.

(2)t己O£>=a,OE=Z?,0G=曲,

则AG=a+〃人，AH=AO+OE+XED=(X+V)a+(1-2)^

将a=AG—〃人代入①整理得A"=(X+1)AG+(1—2—川—〃),

因为尸、G、H共线，所以（4+1）+（1—2——〃=1,

即〃=一~，

A+1

XCH=CD+(l-/l)DE=Z>+(l-2)(Z?-a)=(2-2)Z?+(2-l)cz,

「|r|7i

a=|/?|=2,a-Z?=2x2xcos—=2,

所以ZS•5=(2+〃&-[(2—4历+(4—1)向=24+6〃一2",

1—•8

将〃=——代入上式整理可得AGCH=2(2+1)+--------4，

2+12+1

8

令4+1=m，则AG-C"=27〃+——4,me[1,2],

m

4

由对勾函数可知，当y=2(m+—)-4在区间[1,2]上单调递减，

m

所以当“2=1时，AG-CH取得最大值6；当机=2时，AG-C”取得最小值4,

所以46・。”的取值范围为[4,6].

22.某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5:4,为了获得该校全体高中生的身高信

息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为

〃的样本，得到频数分布表和频率分布直方图.方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、

女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170,方差为16,女生样本的均值

为160,方差为20.

0.040-------------------»-----r-——1

0.036—

0.032..................................;)

0.028-------………

0.024..................................

0020-------•

0.016k-I——；二…二

0.012.............I……t……

0.008……

0.004I

°!45155165175185195。高cm

身高（单位：cm）[145,155)[155,165)[165,175)[175,185)[185,195]

频数mPq64

（1）根据图表信息，求〃，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；

（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）

（2）计算方案二中总样本的均值及方差；

（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合

适吗？为什么？

解：⑴因为身高在区间［185,195］的频率为0.008义10=0.08,频数为4，

4

所以样本容量为n=万欣=50,m-0.008xl0x50=4,p=0.04xl0x50=20,

4=50—4—20—6—4=16,

所以身高在［165,175）的频率为II=0.32,小矩形的高为0.032,

所以身高在［175,185）的频率为2=0.12,小矩形的高为0.012,

由此补全频率分布直方图：

频率/组距

0040--------:1..........