专题14.4整式的乘法与因式分解（章节复习考点讲练）教师版

20232024学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题14.4整式的乘法与因式分解（章节复习+考点讲练）知识点01：幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0,为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.细节剖析:公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.细节剖析:运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：知识点03：乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 细节剖析:在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：；两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.细节剖析:公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.细节剖析:落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典例分析】（2022秋•江北区校级期末）对于二次三项式A＝x2+mxy﹣2x（x≠0且m为常数）和B＝y2﹣xy+2y，下列结论正确的个数有（）①当m＝1时，若A＝0，则x+y＝2；②无论x取任何实数，若等式A＝x2﹣5x恒成立，则（my）3＝27；③当m＝﹣1时，A＝6，B＝9，则x﹣y＝5．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【思路点拨】①把m＝1代入代数式计算即可；②根据题意，x（my+3）＝0，根据x≠0，所以my+3＝0，my＝﹣3，即可求出答案；③将两式相加得到一个关于（x﹣y）的一元二次方程，解方程即可求解．【规范解答】解：①当m＝1时，x2+xy﹣2x＝0，∴x（x+y﹣2）＝0，∵x≠0，∴x+y﹣2＝0，∴x+y＝2，故①正确；②∵无论x取任何实数，等式x2+mxy﹣2x＝x2﹣5x恒成立，∴mxy+3x＝0，∴x（my+3）＝0，∵x≠0，∴my+3＝0，∴my＝﹣3，∴（my）3＝﹣27，故②错误；③当m＝﹣1时，A＝6，B＝9，∴x2﹣xy﹣2x＝6，y2﹣xy+2y＝9，∴x2﹣xy﹣2x+y2﹣xy+2y＝15，∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣15＝0，∴x﹣y＝﹣3或5，故③错误，故选：C．【考点评析】本题主要考查多项式、整式加减、二元一次方程的解等知识，熟练掌握多项式的运算法则及二元一次方程的解法是解答此题的关键．【变式训练11】（2023春•东港市期中）（﹣1）2022×（）2023＝．【思路点拨】利用积的乘方的逆用进行运算即可．【规范解答】解：原式＝（﹣）2022×（）2022×＝（﹣×）2022×＝1×＝．故答案为：．【考点评析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式训练12】（2023春•濉溪县校级月考）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y．利用上面结论解答下列问题：（1）若9x＝36，求x的值；（2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值；（3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n．【思路点拨】（1）利用幂的乘方的法则进行运算即可；（2）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；（3）利用幂的乘方的法则进行运算即可．【规范解答】解：（1）∵9x＝36，∴32x＝36，∴2x＝6，解得：x＝3；（2）∵3x+2﹣3x+1＝18，∴3x+1×3﹣3x+1＝18，2×3x+1＝2×32，∴x+1＝2，解得：x＝1；（3）∵m＝2x+1，n＝4x+2x，∴n＝（2x）2+2x＝2x（2x+1）＝m2x＝m（m﹣1）＝m2﹣m．【考点评析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式训练13】（2023春•北塔区期中）计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）【思路点拨】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．【规范解答】解：原式＝an﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，＝0．【考点评析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．【典例分析】（2021秋•冷水滩区校级期中）已知（x﹣3）x+4＝1，则整数x的值是4或2或﹣4．【思路点拨】分三种情况讨论①x﹣3＝1时，②x﹣3＝﹣1时，③当x+4＝0时，分别求解即可．【规范解答】解：∵（x﹣3）x+4＝1，∴①x﹣3＝1时，x＝4，②x﹣3＝﹣1时，x＝2，x+2＝4，成立，③当x+4＝0时，x＝﹣4，成立，∴整数x的值是：4或2或﹣4．故答案为：4或2或﹣4．【考点评析】本题主要考查了零指数幂及有理数的乘方，解题的关键是分类讨论．【变式训练21】（2023春•濉溪县校级月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【思路点拨】根据负数指数幂，有理数的乘方求出a、b、c的值，再进行比较大小即可．【规范解答】解：∵a＝（﹣）0，b＝﹣（）2，c＝（﹣）2，∴a＝1，b＝﹣，c＝，∴b＜c＜a．故选：D．【考点评析】本题考查零次幂，有理数的乘方以及有理数的大小比较，掌握零次幂的运算性质以及有理数大小的比较方法是正确解答的关键．【变式训练22】（2022秋•磁县期末）若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（）A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝【思路点拨】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），进而得出答案．【规范解答】解：（2x﹣1）0有意义，则2x﹣1≠0，解得：x≠．故选：C．【考点评析】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键．【变式训练23】（2017春•太仓市校级期中）课堂上老师出了这么一道题：（2x﹣3）x+3﹣1＝0，求x的值．小明同学解答如下：∵（2x﹣3）x+3﹣1＝0，∴（2x﹣3）x+3＝1∵（2x﹣3）0＝1∴x+3＝0∴x＝﹣3．请问小明的解答过程正确吗？如果不正确，请求出正确的值．【思路点拨】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算运算法则分别化简求出答案．【规范解答】解：不正确，理由：∵（2x﹣3）x+3﹣1＝0，∴（2x﹣3）x+3＝1∴x+3＝0或2x﹣3＝1，或2x﹣3＝﹣1且x+3为偶数，解得：x＝﹣3，x＝2，x＝1．【考点评析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算运算等知识，正确把握运算法则是解题关键．【典例分析】（2023春•南阳月考）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．观察上式可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的．例如，当x﹣2＝±1，即x＝3或1时，x2﹣4x+3的值均为B1当x﹣2＝±2，即x＝4或0时，x2﹣4x+3的值均为3．我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．请根据上述材料解决下列问题：（1）将多项式x2﹣6x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；（2）若关于x的多项式x2+2ax﹣1关于x＝﹣5对称，求a；（3）求代数式（x2+2x+1）（x2﹣8x+16）的对称轴．【思路点拨】（1）利用配方法可解决问题．（2）由多项式关于x＝﹣5对称，可知该多项式可配成（x+5）2+m的形式，进而解决问题．（3）先将所给多项式写成（x+m）2形式，再根据题中对多项式的对称轴的定义，便可解决问题．【规范解答】解：（1）原式＝x2﹣6x+9﹣9+5＝（x﹣3）2﹣4，即当x﹣3取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值是相等的．所以该多项式的对称轴是直线x＝3；（2）∵x2+2ax﹣1＝x2+2ax+a2﹣a2﹣1＝（x+a）2﹣a2﹣1，则x＝﹣a是多项式x2+2ax﹣1的对称轴，又多项式x2+2ax﹣1关于x＝﹣5对称，所以﹣a＝﹣5，故a＝5；（3）原式＝（x+1）2（x﹣4）2＝[（x+1）（x﹣4）]2＝（x2﹣3x﹣4）2＝＝，故当取任意一对互为相反数的值时，这个多项式的值要相等，又当取任意一对互为相反数的值时，是相等的，进而相等．所以代数式（x2+2x+1）（x2﹣8x+16）的对称轴为．【考点评析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是理解题目中的新定义．【变式训练31】（2023春•单县期末）下列各式计算正确的是（）A．a2•a4＝a8 B．a8÷a8＝a8 C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6【思路点拨】利用完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【规范解答】解：A、a2•a4＝a6，故A不符合题意；B、a8÷a8＝1，故B不符合题意；C、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故C不符合题意；D、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故D符合题意；故选：D．【考点评析】本题主要考查完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式训练32】（2023春•巴州区月考）已知（2019﹣a）（2017﹣a）＝1000，请猜想（2019﹣a）2+（2017﹣a）2＝2004．【思路点拨】利用完全平方公式进行求解即可．【规范解答】解：∵（2019﹣a）（2017﹣a）＝1000，∴（2019﹣a）2+（2017﹣a）2＝[（2019﹣a）﹣（2017﹣a）]2+2（2019﹣a）（2017﹣a）＝（2019﹣a﹣2017+a）2+2×1000＝22+2×1000＝4+2000＝2004．故答案为：2004．【考点评析】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【典例分析】（2023春•桂林期末）现有甲、乙两个正方形纸片，并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为18．【思路点拨】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到a2+b2，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去△ADH和△HEF的面积，即可求出阴影部分的面积．【规范解答】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，∴（a+b）2＝64，∴2（a2+b2）＝（a+b）2+（a﹣b）2＝68，∴a2+b2＝34，∵H是AE的中点，∴，∴S△AHD＝AD•AH＝a×4＝2a，S△EFH＝EF•HE＝b×4＝2b．∴S阴影＝S甲+S乙﹣S△AHD﹣S△EFH＝a2+b2﹣2a﹣2b＝（a2+b2）﹣2（a﹣b）＝18．故答案为：18．【考点评析】本题考查完全平方和公式的运用，正确对完全平方和公式进行变形时解题的关键．【变式训练41】（2023春•六盘水期末）用四个长、宽分别为m，n的全等长方形可以摆成如图所示的大正方形，图中阴影部分是一个小正方形，若m+n＝18，mn＝45，则m﹣n的值为（）A．9 B．12 C．18 D．20【思路点拨】用代数式表示图形中各个部分面积，再由面积之间的和差关系得出（m+n）2＝（m﹣n）2﹣4mn，再将m+n＝18，mn＝45代入计算求出m﹣n即可．【规范解答】解：由拼图可知，大正方形的边长为m+n＝18，因此面积为（m+n）2，阴影小正方形的边长为m﹣n，因此面积为（m﹣n）2，四个长、宽分别为m，n的全等长方形的面积和为4mn，由面积之间的关系可得，（m+n）2＝（m﹣n）2﹣4mn，当m+n＝18，mn＝45时，即182＝（m﹣n）2﹣4×45，解得m﹣n＝12或m﹣n＝﹣12（舍去），故选：B．【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中各个部分的面积是解决问题的关键．【变式训练42】．（2023春•雨城区校级月考）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示（2m+n）（m+n）＝2m2+3mn+n2．（1）观察图②，请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（2）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形：图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．则（a+2b）2﹣8ab的值4．【思路点拨】（1）观察图②可知：图②的面积等于1个边长是m+n的正方形的面积，也等于4个长为m，宽为n的长方形面积+1个边长为m﹣n的正方形的面积，由此列出代数式，进行化简即可；（2）观察图甲可知：图甲的面积等于1个边长为（a+2b）cm的正方形的面积，也等于8个长为acm，宽为bcm的长方形面积+边长为2cm的正方形面积，列出代数式，化简即可．【规范解答】解：（1）三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（2）由题意可知：图甲的边长为（a+2b）cm，面积为8ab+22＝（8ab+4）cm2，∴（a+2b）2＝8ab+4，∴（a+2b）2﹣8ab＝4，故答案为：（1）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（2）4．【考点评析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是根据已知条件，列出求图形面积的代数式．【变式训练43】（2023春•织金县期末）图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．（1）直接写出图2中的阴影部分面积；（2）观察图2，请直接写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若p+q＝10，pq＝8，求（p﹣q）2的值．​【思路点拨】（1）阴影部分的面积可以看作是边长（m﹣n）的正方形的面积，也可以看作边长（m+n）的正方形的面积减去4个小长方形的面积；（2）由（1）的结论直接写出即可；（3）利用（2）的结论，得（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq，把数值整体代入即可．【规范解答】解：（1）（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）当p+q＝10，pq＝8时，（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq，＝102﹣4×8，＝100﹣32，＝68．【考点评析】此题考查根据图形理解完全平方公式，以及利用整体代入的方法求代数式的值．【典例分析】（2023春•茂名期中）（1）计算：；（2）用乘方公式进行简便运算：20222﹣2021×2023．【思路点拨】（1）利用绝对值的意义，零指数幂，有理数的乘方运算法则求解即可；（2）利用平方差公式求解即可．【规范解答】解：（1）＝＝2+（﹣1）2022×2＝2+2＝4；（2）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣（20222﹣1）＝20222﹣20222+1＝1．【考点评析】此题考查了绝对值的意义，零指数幂，有理数的乘方运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式训练51】（2023春•东明县期中）下列式子中，不能用平方差公式运算的是（）A．（﹣x+y）（x﹣y） B．（﹣x﹣y）（﹣x+y） C．（y+x）（x﹣y） D．（y﹣x）（x+y）【思路点拨】对各选项进行变形后，运用平方差公式进行辨别求解．【规范解答】解：∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴选项A符合题意；∵（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝（﹣x）2﹣y2，∴选项B不符合题意；∵（y+x）（x﹣y）＝x2﹣y2，∴选项C不符合题意；∵（y﹣x）（x+y）＝y2﹣x2，∴选项D不符合题意；故选：A．【考点评析】此题考查了平方差公式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．【变式训练52】（2023春•蕉城区校级月考）若a+b＝1，a﹣b＝2022，则a2﹣b2＝2022．【思路点拨】根据平方差公式，即可求解．【规范解答】解：∵a+b＝1，a﹣b＝2022，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝1×2022＝2022．故答案为：2022．【考点评析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．【典例分析】（2022秋•忠县期末）如图所示，若大正方形ABCD与小正方形DEFG的面积之差是20，则△ACG与△CGE的面积之和是10．【思路点拨】分别设大正方形ABCD与小正方形DEFG的边长各为a，b，则a2﹣b2＝20，通过列式表示△ACG与△CGE的面积进行求解．【规范解答】解：分别设大正方形ABCD与小正方形DEFG的边长各为a，b，由题意可得a2﹣b2＝20，∴△ACG与△CGE的面积之和为：（a﹣b）a+（a﹣b）b＝（a﹣b）（a+b）＝（a2﹣b2）＝×20＝10，故答案为：10．【考点评析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式表示所求图形的面积，并能运用平方差公式进行变形、求解．【变式训练61】（2023春•东明县期中）如图，从边长为a的大正方形纸板的边上挖去一个边长为b的小正方形纸板后，沿着小正方形的缺口，将其裁成两个长方形，然后拼成一个长方形、那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）​A．2a2+2ab＝2a（a+b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【思路点拨】用代数式分别表示两个图形中阴影部分的面积即可．【规范解答】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的右图是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．【考点评析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式分别表示两个图形中阴影部分的面积是解决问题的关键．【变式训练62】（2023春•威宁县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．​（1）上述操作能验证的等式是A．（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣y2＝24，x+y＝8，求x﹣y的值；（3）用简便方法计算：20222﹣2021×2023．【思路点拨】（1）利用正方形面积公式可得出选项．（2）将x2﹣y2＝24化成平方差形式，结合x+y＝8便可算出．（3）构造平方差公式进行解决问题．【规范解答】解：（1）由题意可知图1剩下的面积为：a2﹣b2，图2的面积为：（a+b）（a﹣b），则可知：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝24，x+y＝8，∴x﹣y＝24÷8＝3．故答案为：3．（3）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1．【考点评析】本题考查完全平方公式与平方差公式，学会构造平方差公式便可解决问题．【典例分析】（2023•海曙区模拟）已知x3﹣y3+3xy+1＝0，x﹣y的值有（）A．1个 B．2个 C．大于2个但有限 D．无数个【思路点拨】先把已知等式的常数项移到等号右侧得①，然后求（x﹣y）3得②，再把①②相加，进行分解因式，再利用平方数的非负性进行解答即可．【规范解答】解：∵x3﹣y3+3xy+1＝0，∴x3﹣y3+3xy＝﹣1①，∵（x﹣y）3＝x3﹣y3﹣3x2y+3xy2②，②﹣①得：﹣3x2y﹣3xy+3xy2＝（x﹣y）3+1，∴﹣3xy（x﹣y+1）＝[（x﹣y）2﹣（x﹣y）+1]（x﹣y+1），[（x﹣y）2﹣（x﹣y）+1]（x﹣y+1）+3xy（x﹣y+1）＝0，（x﹣y+1）[（x﹣y）2﹣（x﹣y）+1+3xy]＝0，（x﹣y+1）（x2﹣2xy+y2﹣x+y+1+3xy）＝0，（x﹣y+1）（x2+y2+xy﹣x+y+1）＝0，∴，，，∴x﹣y+1＝0，（x﹣y）2+（x﹣1）2+（y+1）2＝0，∴x﹣y＝﹣1，∵（x+y）2≥0，（x﹣1）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣1＝0，y+1＝0，∴x＝1，y＝﹣1，∴x﹣y＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2，综上可知：x﹣y的值有2个，为﹣1或2，故选：B．【考点评析】本题主要考查了因式分解，解题关键是根据已知条件，找出解题的基本思路．【变式训练71】（2023春•临漳县期末）将多项式（m﹣n）3﹣m（m﹣n）2﹣n（n﹣m）2因式分解，结果为（）A．2（m﹣n）3 B．2m（m﹣n）2 C．﹣2n（m﹣n）2 D．2（n﹣m）3【思路点拨】先提取公因式（m﹣n）2，再对余下的项进行合并，整理，然后观察，如果能够分解的一定要分解彻底，如果不能分解，就是最后的结果．【规范解答】解：（m﹣n）3﹣m（m﹣n）2﹣n（n﹣m）2＝（m﹣n）2[（m﹣n）﹣m﹣n]＝﹣2n（m﹣n）2．故选：C．【考点评析】本题考查用提公因式法进行因式分解的能力，难点在于把（m﹣n）看作一个整体．【变式训练72】（2023春•天长市校级月考）分解因式：3x（x﹣4）+12＝3（x﹣2）2．【思路点拨】先提取公因式3，再用完全平方公式分解即可．【规范解答】解：3x（x﹣4）+12＝3x2﹣12x+12＝3（x2﹣4x+4）＝3（x﹣2）2．故答案为：3（x﹣2）2．【考点评析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．【变式训练73】（2023春•大埔县期末）用提取公因式法将多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b分解因式时，应提取的公因式是4a2b．【思路点拨】根据提公因式法，找出各项的公因式即可．【规范解答】解：∵8a3b2+12a3bc﹣4a2b＝4a2b（2ab+3ac﹣1），∴应提取的公因式是4a2b，故答案为：4a2b．【考点评析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是准确找出各项的公因式．【变式训练74】（2023春•蕉城区校级月考）（1）分解因式：3b2﹣12b．（2）解不等式组：．【思路点拨】（1）利用提公因式法分解因式即可；（2）先求得每个不等式的解集，即可得到答案．【规范解答】解：（1）原式＝3b（b﹣4）；（2），解①得，x＜3，解②得，x＞0，∴不等式组的解集为：0＜x＜3．【考点评析】此题考查的是因式分解、解一元一次不等式组，掌握其解法是解决此题的关键．【典例分析】（2023春•佛山月考）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A．x2﹣y2 B．x2﹣4y2 C．﹣x2﹣y2 D．（x+y）2﹣y2【思路点拨】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各项分析判断后利用排除法求解．【规范解答】解：A．x2﹣y2，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意；B．x2﹣4y2，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意；C．﹣x2﹣y2，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意；D．（x+y）2﹣y2，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不合题意．故选：C．【考点评析】本题考查平方差公式分解因式．熟记平方差公式结构是解题的关键．【变式训练81】（2022秋•澄海区期末）因式分解：x（x﹣2）+1＝（x﹣1）2．【思路点拨】利用完全平方公式进行因式分解即可．【规范解答】解：x（x﹣2）+1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．【考点评析】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练82】（2023春•绍兴期中）（1）解方程组；（2）因式分解：（m2+1）2﹣4m2．【思路点拨】（1）根据加减消元法解二元一次方程组；（2）根据因式分解的定义进行计算．【规范解答】解：（1），①+②得，﹣m＝22，解得：m＝﹣22，把m＝﹣22代入①得，3×（﹣22）+b＝11，解得：b＝77，∴方程组的解为：；（2）（m2+1）2﹣4m2＝（m2+1+2m）（m2+1﹣2m）＝（m+1）2（m﹣1）2．【考点评析】本题考查了解二元一次方程组和因式的分解，掌握消元的思想解二元一次方差组和因式分解的定义是关键．【典例分析】（2023春•成县期末）因式分解．（1）y+（y﹣4）（y﹣1）；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【思路点拨】（1）先对多项式进行化简整理，然后利用完全平方公式进行分解即可解答；（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【规范解答】解：（1）y+（y﹣4）（y﹣1）＝y+y2﹣y﹣4y+4＝y2+y﹣y﹣4y+4＝y2﹣4y+4＝（y﹣2）2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a﹣2b）（3a+2b）．【考点评析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．【变式训练91】（2023春•重庆月考）下列因式分解正确的是（）A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x＝x3﹣4x C．ax+bx＝（a+b）x D．﹣x2+y2＝（x﹣y）（x+y）【思路点拨】先利用提公因式法，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．【规范解答】解：A、x2+2x+1＝（x+1）2，故A不符合题意；B、（x2﹣4）x＝x3﹣4x，属于整式乘法，不属于因式分解，故B不符合题意；C、ax+bx＝（a+b）x，故C符合题意；D、﹣x2+y2＝﹣（x+y）（x﹣y），故D不符合题意；故选：C．【考点评析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．【变式训练92】（2023春•五莲县期中）分解因式：﹣a3+12a2b﹣36ab2＝﹣a（a﹣6b）2．【思路点拨】提取﹣a后可用完全平方公式进行因式分解．【规范解答】解：﹣a3+12a2b﹣36ab2＝﹣a（a2﹣12ab+36b2）＝﹣a（a﹣6b）2．故答案为：﹣a（a﹣6b）2．【考点评析】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再考虑公式法分解是常用的思维方法．【典例分析】（2021秋•鲤城区校级期中）已知公式：a5+b5＝（a+b）（a4﹣a3b+a2b2﹣ab3+b4），a5﹣b5＝（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4），利用或者不利用上述公式，分解因式：a8+a6+a4+a2+1＝（a4+a3+a2+a+1）（a4﹣a3+a2﹣a+1）．【思路点拨】根据乘法公式，可知a10﹣1＝（a5）2﹣1＝（a2）5﹣1＝（a2﹣1）（a8+a6+a4+a2+1），则有a8+a6+a4+a2+1＝，再根据平方差公式和题中给出的乘法公式分解因式即可．【规范解答】解：a10﹣1＝（a5）2﹣1＝（a2）5﹣1＝（a2﹣1）（a8+a6+a4+a2+1），则有a8+a6+a4+a2+1＝＝（a4+a3+a2+a+1）（a4﹣a3+a2﹣a+1）．故答案为：（a4+a3+a2+a+1）（a4﹣a3+a2﹣a+1）．【考点评析】本题考查了平方差公式，是一道信息给予题，读懂信息是解题的关键【变式训练101】（2021秋•威县校级期末）多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是（）A．（x2+1）（y2+1） B．（x﹣1）（x+1）（y2+1） C．（x2+1）（y+1）（y﹣1） D．（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）【思路点拨】直接将前两项提取公因式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【规范解答】解：x2y2﹣y2﹣x2+1＝y2（x2﹣1）﹣（x2﹣1）＝（y2﹣1）（x﹣1）（x+1）＝（y﹣1）（y+1）（x﹣1）（x+1）．故选：D．【考点评析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．【变式训练102】（2021秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1【思路点拨】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．【规范解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；故选：B．【考点评析】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．【变式训练103】（2023春•汉寿县期中）把下列多项式因式分解：（1）a2（a﹣1）+4（1﹣a）；（2）（x2﹣4xy+4y2）﹣9．【思路点拨】（1）先提公因式，然后利用公式法进行因式分解，即可得到答案；（2）先利用完全平方公式，然后利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案．【规范解答】解：（1）原式＝a2（a﹣1）﹣4（a﹣1）＝（a﹣1）（a2﹣4）＝（a﹣1）（a+2）（a﹣2）．（2）原式＝（x﹣2y）2﹣32＝（x﹣2y+3）（x﹣2y﹣3）．【考点评析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解．【典例分析】（2023春•福田区校级期中）下列因式分解正确的是（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．1﹣4a2＝（1+2a）（1﹣2a） C．m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4 D．x2+4y2＝（x+2y）2【思路点拨】根据公式法、十字相乘法进行因式分解依次判断即可．【规范解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），选项错误，不符合题意；B、1﹣4a2＝（1+2a）（1﹣2a），选项正确，符合题意；C、m2﹣3m﹣4＝（m﹣4）（m+1），选项错误，不符合题意；D、x2+4y2不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；故选：B．【考点评析】题目主要考查因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法进行因式分解是解题关键．【变式训练111】（2023春•新晃县期末）甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲看错了m，分解结果为（x+9）（x﹣2）；乙看错了n，分解结果为（x﹣5）（x+2），则正确的分解结果为（x﹣6）（x+3）．【思路点拨】根据题意分别运算（x+9）（x﹣2）和（x﹣5）（x+2），确定m、n的值，然后进行因式分解即可．【规范解答】解：∵甲看错了m，分解结果为（x+9）（x﹣2），∴由（x+9）（x﹣2）＝x2+7x﹣18，可知n＝﹣18，又∵乙看错了n，分解结果为（x﹣5）（x+2），∴由（x﹣5）（x+2）＝x2﹣3x﹣10，可知m＝﹣3，∴x2+mx+n＝x2﹣3x﹣18，∵x2﹣3x﹣18＝（x﹣6）（x+3），∴正确的分解结果为（x﹣6）（x+3）．故答案为：（x﹣6）（x+3）．【考点评析】本题主要考查了因式分解的知识，整式乘法运算，解决本题的关键是理解题意，求出m、n的值．【变式训练112】（2022秋•如皋市校级期末）已知整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．（1）若A+B＝（x﹣2）2，求a的值；（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求a的值．【思路点拨】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可；（2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答．【规范解答】解：（1）∵A＝x（x+3）+5＝x2+3x+5，∴A+B＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）x+4，∵A+B＝（x﹣2）2，∴x2+（3+a）x+4＝x2﹣4x+4，∴3+a＝﹣4，∴a＝﹣7；（2）∵A＝x2+3x+5，B＝ax﹣1，∴A﹣B＝x2+3x+5﹣（ax﹣1）＝x2+（3﹣a）x+6，∵A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），∴x2+（3﹣a）x+6＝（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6，∴3﹣a＝﹣5，∴a＝8．【考点评析】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．【典例分析】（2022秋•徐汇区校级期中）下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的是（）A．x2+2x+3 B．x2﹣2x﹣m2 C．x2﹣2x﹣m D．3x2﹣4xy+5y2【思路点拨】二次三项式能否在实数范围内因式分解，要看判别式Δ的值．【规范解答】解：A：Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8＜0，故A不能在实数范围内分解因式．B：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝4+4m4＞0，故B在实数范围内一定能因式分解．C：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝4+4m，∵m的值不确定，故4+4m的值业不确定．故C不一定能在实数范围内因式分解．D：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4y）2﹣4×3×5y2＝16y2﹣60y2＝﹣44y2≤0．故D在实数范围内不能分解因式．故答案为：B．【考点评析】本题考查的是实数范围内的因式分解，解题的关键是判别式的应用．【变式训练121】（2023春•蜀山区校级月考）若a﹣b＝3，ab＝﹣10，则＝﹣6．【思路点拨】先提取公因式，再代入，再求出答案即可．【规范解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝﹣10，∴＝ab（a﹣b）＝×（﹣10）×3＝﹣6．故答案为：﹣6．【考点评析】本题考查了分解因式，能正确分解因式是解此题的关键．【变式训练122】（2023春•金乡县期中）在实数范围内将3x2﹣15分解因式为．【思路点拨】先提公因式，再利用平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解因式．【规范解答】解：3x2﹣15＝3（x2﹣5）＝．故答案为：．【考点评析】本题考查分解因式，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式．【变式训练123】（2022秋•南安市期中）请阅读以下材料，解决问题．我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，在复数体系中，如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5＝3i；若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：（1）填空：①（2+i）（3i﹣1）＝5i﹣5；②将m2+9（m为实数）因式分解成两个复数的积：m2+9＝（m+3i）（m﹣3i）；（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2022的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值．【思路点拨】（1）①根据多项式乘多项式运算法则计算即可；②根据i2＝﹣1和平方差公式进行分解即可；（2）根据共轭复数的定义分别求出a、b的值即可求解；（3）先求出ab＝3，a+b＝﹣4，再由完全平方公式求出a﹣b＝±2，再通过计算可知in的运算结果﹣1，﹣i，1，i循环出现，求出i2+i3+i4+…+i2023＝﹣1﹣i，最后再求值即可．【规范解答】解：（1）①（2+i）（3i﹣1）＝6i﹣2+3i2﹣i＝5i﹣2﹣3＝5i﹣5，故答案为：5i﹣5；②m2+9＝（m+3i）（m﹣3i），故答案为：（m+3i）（m﹣3i）；（2）（1+2i）2＝1+4i+4i2＝﹣3+4i，∵a+bi是（1+2i）2的共轭复数，∴a＝﹣3，b＝﹣4，∴（b﹣a）2022＝（﹣4+3）2022＝1；（3）∵（a+i）（b+i）＝ab+（a+b）i﹣1＝2﹣4i，∴2＝ab﹣1，a+b＝﹣4，∴ab＝3，a+b＝﹣4，∴a﹣b＝±2，∵i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，…，∴in的运算结果﹣1，﹣i，1，i循环出现，∵（2023﹣1）÷4＝505…2，∴i2+i3+i4+…+i2023＝﹣1﹣i，当a﹣b＝2时，（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）＝﹣8（﹣1﹣i）＝8+8i；当a﹣b＝﹣2时，（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）＝8（﹣1﹣i）＝﹣8﹣8i；综上所述：（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值为8+8i或﹣8﹣8i．【考点评析】本题考查数字的变化规律，弄清定义，通过计算探索出in的运算结果的循环规律是解题的关键．【典例分析】（2023春•禅城区校级期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：学、我、爱、数、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美 B．数学游 C．我爱数学 D．美我数学【思路点拨】将所给的多项式因式分解，然后结合已知的密码确定出文字信息即可解答．【规范解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣