2025年高考数学一轮复习：函数的零点与方程的解-专项训练【含解析】

函数的零点与方程的解-专项训练【原卷版】

基础巩固练

1.已知函数/(%)=2/—3%—5,则/(%)的零点为().

A.1和—|B.—1和|C.(—1,0)和(*0)D.(-*0)和(1,0)

2.已知函数/(久)=匕：]>0则函数/(%)的零点的个数为().

A.0B.1C.2D.3

3.某同学用二分法求函数/(%)=2久+3%-7的零点时，计算出如下结果：

/(1.5)=0.33/(1.25)=-0.87/(1.375)=—0.28/(1.4375)=

0.02,/(1.4065)=-0.13/(1.422)=—0.05.下列说法正确的是().

A.1.4065是满足精度为0.01的近似值B.1.375是满足精度为0.1的近似值

C.1.4375是满足精度为0.01的近似值D.1.25是满足精度为0.1的近似值

4.函数/(无)=：一In%的零点所在的区间为().

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

X3

5.已知函数/(久)=2+x,g(x)=log2x+x,九(久)=%+%的零点分别为a,b,c,

则().

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

6.已知函数/'(%)=In—2|+/,g(%)=4%,则两个函数图象所有交点的横

坐标之和为().

A.0B.2C.3D.4

7.[2024•济南模拟]已知函数/(%)=WDJo。'若函数。(%)=/(%)-匕有

四个不同的零点，则实数b的取值范围为().

A.(0,1]B.[0,1]C.(0,1)D.(1,+8)

8.若关于%的不等式％2-4尤一2-Q>0在区间(1,4)内有解，则实数Q的取值范

围是().

A.(—8,2)B.(—co,—2)C.(—6,+oo)D.(—8,-6)

综合提升练

9.(多选题)已知当%>0时,%>log2%,则关于函数/(%)=f,0；、「下列

说法正确的是().

A.方程/(%)=%的解只有一个

B.方程/(/(%))=1的解有五个

C.方程/(/(%))=t(0<t<1)的解有五个

D.方程/(/(%))=t(t>1)的解有五个

10.(多选题)已知函数/(久)-ex+x-2的零点为a,函数g(%)-\nx+x-2的

零点为5,则下列不等式成立的是().

A.ea+In6>2B.ea+Inb=2C.a+b=2D.ab>1

——Y+1Y<C2

2'一’与函数g(%)=logaO+3)(a>0且aH1)的

(/(%—2),x>2

图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围为.

(2x+2

12.已知函数/(%)=F'X-'则函数F(x)=/(/(%))-2/(%)

2

IIlog2(x-l)\,x>l,

的零点个数是

应用情境练

13.(双空题)设函数y=/(%)的定义域为R,且满足/(1+x)=/(1—%),

2023

/(%-2)+/(-%)-0,当xe时,/(%)=-|x|+1,则力/(k)=

k=l

,函数y=/(%)-1gI久I有个零点.

14.已知函数f(%)的定义域为(0,12],恒有八%+4)=4/(%),当％6(0,4]时,

fix)=[2丫-2—2].若函数或久)=[/(%)]2+t"(%)有4个零点，则实数t的取值范

围为________

创新拓展练

15.已知函数/(无)=P若方程/(%)=上有4个不同的根

%1，%2，%3，%4，且％1<%2<%3<久4,则自？一％式%1+%2)的取值范围是

16.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它

可运用到有限维空间并构成一般不动点定理的基石.简单地讲：对于满足一定条

件的连续函数/(%),存在实数沏，使得/(&)=&，我们就称该函数为“不动点

函数”，实数&为该函数的“不动点”.

(1)求函数/(久)=2%+(—2的“不动点”；

(2)若函数/(%)=a"+b%+i(a>0)有两个"不动点"%],如且%|<2,

|%2=2,求实数b的取值范围.

函数的零点与方程的解-专项训练【解析版】

基础巩固练

1.已知函数/(%)=2/一3%一5,则/(%)的零点为(B).

A.1和一3B.—1和|C.(―1,0)和(j,0)D.(-*0)和(1,0)

［解析］对于函数f(工)=2x2—3%—5,令/(%)=0,即2/—3%—5=0,解得％=

一1或％=所以/(%)的零点为一1和3故选B.

2.已知函数/(久)0；：；；>0则函数/(%)的零点的个数为(D).

A.0B.1C.2D.3

［解析］当％<0时，令/(%)=2X-1=0,可得％=0；

当汽>0时，令/—3%+1=0,可得x=3+—或％=3寸.

22

综上所述，函数/(%)的零点为0,警，1，共3个.故选D.

3.某同学用二分法求函数/(久)=2x+3x-7的零点时，计算出如下结果：

/(1.5)=0.33/(1.25)=-0.87/(1.375)=—0.28/(1.4375)=

0.02,/(1.4065)=-0.13/(1.422)=-0.05.下列说法正确的是(B).

A.1.4065是满足精度为0.01的近似值B.1.375是满足精度为0.1的近似值

C.1.4375是满足精度为0.01的近似值D.1.25是满足精度为0.1的近似值

［解析］/(1.4375)=0,02>0,/(1.4065)=-0.13<0,又1.4375-1.4065=

0.031>0.01,A错误;

•••/(1.375)=-0.28<0/(1.4375)=0.02<0,又1.4375-1.375=0.062<

0.1,.-.B正确,D错误；

/(1.422)=-0.05<0/(1.4375)=0.02>0J1,4375-1.422|=0.0155>

0.01,C错误.故选B.

4.函数/(%)=|—111%的零点所在的区间为(C).

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

［解析］依题意，函数/(%)=：-In久的定义域为(0,+8),而y=：在(0,+8)上单

调递减，y=—In%在(0,+8)上单调递减，所以/(%)在(0,+8)上单调递减.因为

33

3p2o3p2

e3>4,所以>2,即万>1,所以/(2)=--In2=Ine2—In2=Iny>0,

/(3)=1—In3=Ine—In3=In1<Zn1=0,所以/(2)•f(3)<0,所以函数

/(%)=：一In%在区间(2,3)上有零点.故选C.

已知函数/(%)X九(%)=%3+%的零点分别为

5.=2+x,g(x)=log2x+x,a,b,c,

则(B).

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

x3

［解析］在同一平面直角坐标系中作出y=2,y=log2x,y=x,y=一汽的大致图

象如图所示.

由图象知a<c<b.故选B.

6.已知函数/(汽)=In-2|+/,g(')=4%,则两个函数图象所有交点的横

坐标之和为(D).

A.0B.2C.3D.4

［解析］函数/(%)=ln|x—2|+/与g(%)=4久的图象所有交点的横坐标之和，可

以转化为方程ln|%—2|=4x—x2的所有实数根之和.

因为y=ln|x—2|和丫=4'一/的图象均关于直线％=2对称，且两个图象

有两个交点，所以两个交点的横坐标之和为4.故选D.

7.［2024•济南模拟］已知函数/(无)=9「00'若函数。(%)=/(%)-5有

四个不同的零点，则实数b的取值范围为(A).

A.(0,1］B.［0,1］C.(0,1)D.(l,+8)

［解析］依题意，作出y=/(%)的图象与直线y=匕,如图所示，

因为函数g(%)=f(x)—匕有四个不同的零点，所以方程/(%)=b有四个不同

的解，所以函数y=/(%)的图象与直线y=匕有四个不同的交点，结合图象，可

知实数b的取值范围为(0,1］.故选A.

8.若关于％的不等式,一4%一2-a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范

围是(B).

A.(—8,2)B.(—oo,—2)C.(—6,+oo)D.(―oo,—6)

［解析］不等式等价于存在％C(1,4),使a<x2-4%-2,即a<(，-4x-2)max，设

y=/一轨一2=(%—2)2—6,当％G(1,4)时，yG［-6,—2),则a<-2.故选B.

综合提升练

9.(多选题)已知当%>0时,％>1嗝%,则关于函数/(%)=f,0；、「下列

说法正确的是(ACD).

A.方程/(%)=%的解只有一个

B.方程/(/(%))=1的解有五个

C.方程/(/(%))=t(0<t<1)的解有五个

D.方程/(/(%))=t(t>1)的解有五个

［解析］作出/(%)=优建ho的图象，如图，

因为当汽>0时，x>log2%,所以y='与y=f(%)有唯一交点,A正确；

、1、-1

令/(%)=则f(。=1nt=0或t=5或t=2n/(%)=0或f(x)=或

/(%)=2,易知f(x)=。时有1个解，/(%)=:时有3个解，/(%)=2时有2个

解，共6个解,B错误；

令〃=/(%),则/(〃)=te(0,1)n%V0,u2G(0,1),%G(1,2)n/(xj<

0,f(x2)e(0,l)/(第3)G(1,2)n%160M有3个解,右有2个解，共有5个解,C正

确；

-1

令〃=/(%),则/Q)=tE(1,+oo)=>%e(0,-),u2E(2,+8),所以/(%i)e

(0,|),/(%2)e(2,+8),所以久1有3个解,%2有2个解，共有5个解,D正确.故选ACD.

10.(多选题)已知函数/(%)-ex+x-2的零点为a,函数g(x)-\nx+x-2的

零点为b,则下列不等式成立的是(BC).

A.ea+Inb>2B.e。+Inb=2C.a+b—2D.ab>1

［解析］令/(%)=0，g(%)=0,则e"=2—%,\nx-2—x,在同一平面直角坐

标系中分别作出函数y=ex,y-Inx,y-2-%的大致图象，如图所示.

因为函数/(%)=ex+x—2的零点为a,函数g(x)=In%+x—2的零点为b,

所以a(a,ea),B(b,Inb),由［1］?〔久‘得『二)

因为函数y=e久与y=In%互为反函数，

所以由反函数的性质知力(a,ea),B(b/n6)关于点(LD对称，

则a+b=2,ea+Inb=2,所以ab4丝生-=1,当且仅当a=h=l时，

4

等号成立.

所以A,D错误，B,C正确.故选BC.

—工支+1%<2_

2'一’与函数g(x)=logaO+3)(a>0且aH1)的

(f(x-2),x>2

图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围为(0.1)U(L5］.

［解析］当％>2时，由/(%)=/(%—2),知此时/(%)的周期T=2.

当％C(2,4］时,％—2C(0,2］,f(久)—f(%—2)———(%—2)+1———%+2>

作出分段函数/(%)的部分图象.当0<a<1时，由图1可知，0<a<1显然成立;

当a>l时，如图2,则g(2)21,即loga5Nl,即1<aW5.

欧z)=log"(z+3)M

综上所述，a的取值范围为(0,1)U(1,5］.

r2*+2

12.已知函数/(%)='"一口则函数“%)=/(/(久))—

2

IIlog2(x-l)|,%>1,

的零点个数是4.

［解析］令t=/(%)，则F(%)=0等价于/(t)=2t+|,

作出y=/(%)的图象和直线y=2%+1，如图所示.

由图象可得函数y=/(久)的图象与直线y=2%+m有两个不同的交点，设这

两个交点的横坐标分别为“心,则

G=0,t2G(1,2).

当/(%)=G时，％=2,有1个解；当/(%)=七时，有3个解.

综上所述，F(x)=0共有4个解，即函数F(x)有4个零点.

应用情境练

13.(双空题)设函数y=/(%)的定义域为R,且满足/(1+%)=/(1-％),

2023

/(X-2)+/(-%)=0,当％e[—1,1]时，/(%)=-|x|+1,则E/(k)=T,函

k=l

数y=/(%)-ig团有io个零点.

[解析]由/(1+%)=/(1-%),知函数/(%)的图象关于直线％=1对称，且

/(-%)=/(2+%),

由/(久一2)+/(—%)=0,知函数/(%)的图象关于点(一1,0)对称，

且/(一%)=-/(%-2),

所以/(2+%)=—/(%—2),故/(4+%)=—/(%),

则/(%+8)=—/(%+4)=/(%),

故函数/(久)的周期为8.

当％G[―1,1]时,/(久)=-|x|+1,根据周期和对称性可作出/(久)的图象，如

由图可知，/⑴=0/(2)=1/⑶=0/(4)=-1,/(5)=0/(6)=

-1,/(7)=0/(8)=1,得/⑴+/(2)+-••+/(8)=0,

2023

所以£f也)=252x0+[/(I)+f(2)+…+/⑺]=-1.

k=l

由y=1g|%|在(一8,0)上单调递减,且lg|-10|=l,lg|-l|=0;在(0,+8)上单

调递增，且lg|10|==0.结合图象,得y=/(%)和y=1g|久|的图象有10

个交点，即函数y=/(%)-1g|%|有10个零点.

14.已知函数/(%)的定义域为(0,12],恒有/(%+4)=4/(%),当％6(0,4]时,

/(%)=|2七2_21.若函数g(%)=[/(%)]2+t"(%)有4个零点,则实数t的取值范

围为[—32,—28].

[解析]当％G(4,8]时，X-4G(0,4]，则/(%)=/((%-4)+4)=4/(%-4)=

4|2Z-6-2|.

当％G(8,12]时，%-8G(0,4],则/(尤)=/((%-4)+4)=4/(%-4)=

47((%-8)+4)=16/(%-8)=16|2X-10-2|.

(\2*-2-2|,久C(0,4],

所以/(久)=(4|2A6-2\,xE(4,8],

(16|2X-10-2|,xG(8,12],

则/(3)=/(7)=/(ll)=0,作出f(%)的大致图象如图所示.

令9(久)—[/(%)]2+t-/(%)=0,可得/(%)=0或/(%)=—t.

由题意得方程以久)=0有4个根，

由/(%)—0，可得％=3或％——7或%—11,

所以/(%)=T仅有1个根，又16|28T。-2|=28,/(12)=16|212To-2|=

32,

贝U28<-t<32,解得一32<t<-28.

创新拓展练

15.已知函数/(%)=P若方程/(%)=上有4个不同的根

%1，%2，%3，%4，且无1〈尤2<%3<%4,则一％4(久1+%2)的取值范围是田②雪.

%3无4

[解析]作出函数y=/(久)与、=上的图象，如图，

由方程/(%)=k有4个不同的根％I，%2，%3，%4,且久1<%2<%3<%4,

可知》1，%2关于％=—1对称，则为1+%2=—2；且0<%3<1<%4工4,

贝U|10g4%3l=|10g4%4l，R“0g4%3=-1。84K4,贝匹084%3+10g4%4=。，

即10g4久3%4=0，则％3%4=1，

d-1

当|log4久1=1时，％=4或Z，则1<久4£4,-<X3<1.

44

所以--2—(%i+汽2)工4=2%4"I--，1<汽44%

%3久4%4

令y=2%+-(1<%<4),

X

则其在(1,/)上为减函数，在［VX4］上为增函数.

故当％时，y取得最小值，最小值为4/,而当％=4时,y取得最大值，最

大值为9.

故七一乙(%i+g)的取值范围是［4V2,9］.

16.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它

可运用到有限维空间并构成一般不动点定理的基石.简单地讲：对于满足一定条

件的连续函数/(%),存在实数&,使得/(&)