2025年高考数学一轮复习：课时作业四十 数列求和

四十数列求和

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

1.（5分）若数列｛斯｝的通项公式为。"=2〃+2/1,则该数列的前10项和为（）

A.2146B,1122

C.2148D,1124

【解析】选A.因为年2〃+2/1,所以前n项和2n；+"2/1+〃2一2,

所以前10项和所=211+102一2=2146.

…1

2.（5分）在等差数列｛为｝中，若的+%+。7=6,%1=8,则数列｛〃，｝的前n项和

an+3Un+4

S,=（）

C.—n+2D.—Ti+-l

【解析】选B.设等差数列｛a〃｝的公差为d,由的+45+劭=6如=8得的=2//=1,所以

111111ZT

a〃="-3,则为+3=凡阳+4="+],所以4+34++1）一不存1，所以5尸1-六1二工？

3.（5分激列｛（-1）〃（2/1）｝的前2024项和S2024等于（）

A.-2022B,2022

C.-2024D,2024

【解析】选D$024=1+3-5+7-…-(2x2023-1)+(2x2024-1尸2*1012=2024.

4.（5分）已知数列｛斯｝满足勾=1,且对任意的〃WN*都有许+1=42+”,则图的前

100项和为()

A10099

A____R____

101100

-101c200

C——D——

100,101

【解析】选D.因为an+x=ax+an+n,ax=\,

所以=1+”,所以a„-a„-i=n(n>2),

匚匚九(九+1)

所以a„=(a„-a„,i)+(«„-i-a„.2)+...+(a2-ai)+a^n+(<n-l)+...+2+1=-——,

所以32

ann(n+1

所以身的前100项和为2（14+&+…+高白）=2（1心

1111

的值为（

50分上2

二十兀(n+1)-1

A几+1—3n+1

A--------B-..........

*2(n+2)・42(71+2)

3111、c31।1

—(-------1--------^'Tn+l+n+2

42、九+1九+2

【解题指导】先化简通项公式,再裂项求和.

【解析】选C.因为―一1

2v

（n+1）-1n+2nn(n+2)2nn+2”

所以六111

2

(n+1)-1

111111113焉）刃11

3+2-4+3-5+,•'+：nn+2)~2^2~-------+-------

n+1n+2

1171717Q1

6.(5分)侈选题)已知数列｛%｝：]：+静沁…磊角+…+/,…，若汇J一,设数列

乙J5±1,1JLU_LUJLU+]

也｝的前八项和为酿则（）

A.4"。B.q〃="

n+1n+1

n1+2+3+…+几n

【解析】选AC.由题意得为£+*+…卜---------------------------.

n+1n+12

4

所以儿

n(n+1

2,2

所以数列｛儿｝的前n项和Sn^b1+b2+b3+...+bn

1111111

二4(1-/2-§+支+…+/E)

14n

二4(1-E)=TT

1

7.（5分）数列｛&｝的通项公式为%，若&｝的前n项和为24,则

【解析】册=#+12河，所以§"=("-/)+(?W)+.••+(陋+1-/)=6+1-1，令

£=24得”=624.

答案：624

8.（5分）已知数列3｝的首项为-1,。〃为+尸2",则数列｛%｝的前10项之和

Sio=________-

【解析】因为Q〃斯+1=-2",所以。〃+1%+2=-2"+1,两式相除可得-二一=2,

an

所以｛斯｝的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，又a尸1,生丁2,

.-1x（1-25）2x（1-25）

所以510=（。1+。3+・••+。9）+（。2+。4+・••+。10）=---：~~I-----1—-~~=-31+2x31=31.

J.-乙J.-乙

答案：31

__77_____

9.（5分）已知数列｛“〃｝满足Q〃+ln+彳。"必=1厕数列｛ag+i｝的前10项和

为

71

【解析】因为1-九+孔，a1-1，

所以（〃+1）4+1=做",所以数列｛〃四｝是每项均为1的常数列，所以〃%=1,

111

所以

~“小"+「九⑺+1）一^

所以数列｛aM+i｝的刖10项和为（彳-万）+（/-§）+•••+（而五）=1-nGp

筠案,1]

10.（10分）（2023,西安模拟）已知数列｛aj满足ax=\,an+x-a^n+\.

（1）求数列｛为｝的通项公式;

（2）若数列图的前n项和为。求数列｛logzSj的前n项和Tn.

【解析】（1）由题意数列｛4｝满足。产1,an+i~an^n+l,

7202+1)

贝U斯=(。"-即一1)+(。"-r。〃-2)+—+(。2-。1)+。1="+("/)+…+2+1=---

__111

⑵由⑴可得不2WR),

212TL

所以10g2S〃=10g2"『l+10g2"p

123n1

故口尸什噫夕力》...X—r)=n+log--=n-log(w+1).

乙J1/LI2IlI_rL2

11.（10分）（2023•惠州模拟）记S〃是公差不为零的等差数列｛aJ的前n项和，若

区=6,的是心和的的等比中项.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵记bf~--，求数列｛九｝的前20项和

anan+lan+2

【解析】⑴由题意知♦的，设等差数列｛%（的公差为4则。13+8to=

2

（4+2d）,

因为存0,解得白=d,

又§3=341+3d=6,可得ai=d=l,

所以数列｛aj是首项为1和公差为1的等差数歹1所以为=©+(“-l)d=〃6金N*.

1111

由可知书4■八亏［(八工.、］

(2)(1)n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2).

设数列也｝的前n项和为心,则

T=^r^—.—।—―.—F...H——--.-------------己------------1

〃2L1X22X32x33x4n(n+1)(n+l)(n+2)」2L2(n+l)(n+2)J?

所以(2-2ix22^^462,

所以数列｛bJ的前20项和为焉

【加练备选】

（2023・广州模拟）已知等差数列&｝的前n项和工满足S3=-3S=-2L

（D求M的通项公式;

⑵儿=9+1,求数列层二｝的前n项和Tn.

【解析】（1）设公差为d,贝U&=3。1+3d=-3,57=7。1+21d=-21,

34+3d=3%=0

所以2],解得，

74+21d=d=-V

所以a,^a1+(n-1)d~n+1;

(2)儿="，所以64+2=9+2)W(Tn+2)，

所以*(i』)+|(七)+1(4+…+f(3/i)+ld&

_1/_111、_32n+3

-I。2~n+l-n+2^-4-2(n+l)(n+2),

【能力提升练】

12.（5分）（2021・新高考/卷）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会

沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以

得至I」10dmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和&=240dm2,对

折2次共可以得到5dmxT2dm,10dm><6dm,20小铲3dm三种规格的图形,它们的

面积之和§2=180dm2,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数

n

为；如果对折”次，那么£&=dm2.

k=1

【解析】依题意得,&=120x2=240(dm2);S2=60><3=180(dm2);

__53

当n=3时，共可以得到5dm><6dm,-dm><12dm,10dm><3dm,20dmx-dm四种规格

53

的图形，且5x6=30,/12=30,10x3=30,20x^30,

所以S3=30x4=120(dm2);

当”=4时，共可以得到5dmx3dm,|dmx6dm,

7dmx12dm,10dmx-dm,20dmx-dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到

4,L41

不同规格图形的种数为5,且5x3=15/6=15,*2=15,10x尸5,20X『15,所以

Sd=15x5=75(dm2).

所以可归纳凡平•(左+1)-24°(；+i)(dm2).

所以£加240(1+亍：+...+枭+号)，①

k=12222

nc…八九+、三

z234n1

所以5*z5^=240x(—+—+—+...+—+^77),@

k—]LLLNN

111

——--X—

由①-②得:£&=240(1+444+...£-=1)=240(14--得=240(|-等),

k=l2222212乙2

九n+

所以ES左=240(3—)dm2.

k=12

答案:5240x(3一二i)

_..b..

13.（5分）已知数列｛&｝和｛儿｝满足aia2a3-...-an=2"（〃WN*）.若数列｛&｝为等比数

1

列，且41=2/4=16,则数列｛儿｝的通项公式b『，数列｛厂｝的前n项和

S〃=•

【解析】因为数列｛%｝为等比数列，且⑥=2,年16,所以公比夕

n

所以an=2,

n(n+1)

所以的做的.…S=2ix22x23x…义2〃=21+2+3+…+”=22

因为•…