2025高考数学大一轮复习讲义- 指数与指数函数

§2.7指数与指数函数

【课标要求】1.理解有理数指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握指数幕的运算性质2

通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊

点等性质，并能简单应用.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.根式

⑴一般地，如果/=a,那么________叫做a的n次方根，其中心1,且"GN*.

⑵式子如叫做_________这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

(3)(%)”二.

当n为奇数时，幅=

a,,

当n为偶数时，耳»=⑷=《

-a,Q<0.

2.分数指数幕

m

正数的正分数指数幕：6=(«>0,m,"GN*,n>l).

m1

正数的负分数指数幕：a"==-----(o>0,m,??£N*,??>1).

诲

0的正分数指数幕等于0的负分数指数幕没有意义.

3.指数幕的运算性质

0rd=；(a')s=；(abY-(〃>0,b>0，厂，s£R).

4.指数函数及其性质

⑴概念：一般地，函数〉=优(。>0，且叫做指数函数，其中指数云是自变量，定义域是

⑵指数函数的图象与性质

a>l0<〃<1

「r=优y=ax\J，

(蚌一1

图象一芈%=1

~。i%-o|i攵

定义域

值域

过定点____________/即X=0时，y二］

当x>0时，____________；当x<Q时，____________；

丽

当x<Q时，____________当x>0时，____________

________函数________函数

【常用结论】

1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),(-1,戈

2.如图所示是指数函数⑴y""⑵y=y,(3)j=F,(4)尸d'的图象，则c>d>i>a>b>0,即在

第一象限内，指数函数〉="(。>0,且。片1)的图象越高，底数越大.

【自主诊断】

1,判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(1)^/(-4)4=-4.()

(2)2a-2b=2ab.()

⑶指数函数与y=qr(a>0,且的图象关于y轴对称.()

(4)若a"'<a"(a>0,且aWl),则相<”.()

2.已知函数y=a2,和y=2，+〃者B是指数函数，贝!U+6等于()

A.不确定B.0C.1D.2

3.已知关于x的不等式423-2,,则该不等式的解集为()

A.[-4,+°°)B.(-4,+°°)

C.(-8,—4)D.(-4,1]

4.(2023・福州质检川(-4>+自°+0.25万X(-3-4=

■探究

题型一指数累的运算

例1计算：

2

（2）2小义3近3X折1

跟踪训练1（多选）下列计算正确的是（）

/11Ai1"

B.—3*凉+—a%b*=-9a(a>0,b>0)

JIJ(3?

D.已知x1+x~2=2,贝!]%+%-i=2

题型二指数函数的图象及应用

例2（1）（多选）已知实数〃，b满足等式3。=6J则下列可能成立的关系式为（）

A.a=bB.0<b<a

C.a<b<0D.0<a<b

⑵若函数病）=12,-2|-6有两个零点，则实数b的取值范围是_________________.

跟踪训练2（多选）已知函数式x）=炉-b（a>0，且aWl,6/0）的图象不经过第三象限，则。，b

的取值范围可能为（）

A.0<a<l,b<QB.0<a<l,0<6Wl

C.a>\,b<0D.a>l,O<b^l

题型三指数函数的性质及应用

命题点1比较指数式的大小

例3（2024.海口模拟）已知a=1.306,b=即必，c=（Jj0-3,则（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

命题点2解简单的指数方程或不等式

例4已知p：,q:2x+1-x<2,则p是《的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

命题点3指数函数性质的综合应用

8%+tz-2x

例5已知函数於）=―（。为常数，目,aGR）是奇函数.

⑴求a的值；

⑵若VxG[1,2],都有八2乃-何⑴20成立，求实数m的取值范围.

思维升华（1）利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，

比较大小还可以借助中间量.

（2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最

值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.

ex-1

跟踪训练3（1）（多选）（2023•重庆模拟）已知函数於）=------,则下列结论正确的是（）

e'+1

A.函数yu）的定义域为R

B.函数次x）的值域为（-1,1）

C.函数兀v）是奇函数

D.函数加0为减函数

（2）（2023・银川模拟）函数段）=〃（。＞0，且aW1）在区间［1,2］上的最大值比最小值大宙,则a的值

为_______

§2.7指数与指数函数答案

落实主干知识

知识梳理

1.(l)x⑵根式(3)cia

2.海！0

an

3.ar+sars0rbr

4.(1)R(2)R(0,+8)(o,l)

y>\0<y<ly>\0勺<1增减

自主诊断

1.(1)X(2)X(3)J(4)X

2.C3.A4.5

探究核心题型

8164

例1解（1）原式=3

1627

339

16

99-95

厂L+^=一而

1i

(2)原式=2x3^x3x[|Jx(22x3户

11111

=6x2^+ix3i+3+6

=6X3=18.

跟踪训练1BC

例2(1)ABC[由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数>=3工和y=6”的图象，如图

所示,

由图象知，当a=6=0时，3a—6b—l,故选项A正确；

作出直线>=鼠当心>1时，若3。=6"=鼠则0cx0,故选项B正确；

作出直线>=机，当0<机<1时，若3“=6&=相，则。<*0,故选项C正确；

当0<a<6时，易得2°>1,贝U3"<3"<2d3"=6「故选项D错误.]

⑵(0,2)

解析在同一平面直角坐标系中画出>=|2*—2|与y=6的图象，如图所示.

，当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数70)=|2*—2|一b有两个零点.

实数b的取值范围是(0,2).

跟踪训练2ABC

例3D[a=1.3°-6>1.3°=l,6=(§-°"=g"4,c=你。3,

因为指数函数y=©>是减函数，

所以你。叫图内⑨口，

所以b<c<l,所以b<c<a.]

例4B当〃>1时，y=〃是增函数，

；.p：{木<0}.

对于不等式2#1<%+2,

作出函数y=2#i与y=x+2的图象，如图所示.

由图象可知，不等式2*+i<x+2的解集为{x[—l<x<0},

:.q：{x|—l<x<0}.

又・・・{x|—14<0}1{%以<0},

二.p是q的必要不充分条件.]