专题08垂直平分线的性质判定与应用（专项培优训练）（教师版）

专题08垂直平分线的性质、判定与应用（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：较难试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题2分）（2022秋·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】由作法知，可判断A；由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断B；由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断C；由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断D．【详解】解：A．由作法知，∴是等腰三角形，故选项A不符合题意；B．由作法知所作图形是线段的垂直平分线，∴不能推出和是等腰三角形，故选项B符合题意；C．由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，∴，∴是等腰三角形，故选项C不符合题意；D．∵，，∴，由作法知是的平分线，∴，∴，∴是等腰三角形，故选项D不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判刑，线段垂直平分线的性质，交平分线的定义等知识，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．2．（本题2分）（2023春·甘肃白银·八年级统考期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，即可求解．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，又∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造出含角的直角三角形是解题的关键．3．（本题2分）（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，连接CP．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，，然后可得①正确；过P作于M，于N，于S，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形面积公式列式，继而得出②正确；根据三线合一可知③正确；证明平分，然后根据平行线的性质和角平分线定义可得④正确．【详解】解：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，∴，∴，①正确；过P作于M，于N，于S，∵平分，平分，∴，∵，②正确；∵，平分，∴垂直平分（三线合一），③正确；∵，∴，∵，，，∴平分，∴，∴，④正确．综上，正确的有4个，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边距离相等是解答本题的关键．4．（本题2分）（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，锐角按下列步骤图：①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作圆弧，交射线与点，连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点；③连接，．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（

）A． B． C．垂直平分 D．【答案】D【分析】由作法得，则可对选项进行判断；根据全等三角形的性质可得，则可对B选项进行判断；由线段垂直平分线的判定可对C选项进行判断；利用三角形三边的关系得到，则可对D选项进行判断．【详解】解：由作法得，，故选项A正确，不符合题意；又∵，∴∴，故选项B正确，不符合题意；∵，，∴垂直平分，故选项C正确，不符合题意；，，，所以选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握基本作图．5．（本题2分）（2023春·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，中，和相交于点，点在边上，且，若的周长为，则的周长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明得到，再根据周长公式求解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴，又，∴（）∴，∵的周长为，∴，∴的周长为，故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键．6．（本题2分）（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，矩形的对角线相交于点O，于点E，且，若，则矩形的面积为（

）

A．12 B．20 C． D．【答案】C【分析】由矩形的性质得到，，，证明垂直平分，得到，由勾股定理求出，即可得到矩形的面积．【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴，∴矩形的面积为．故选：C【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．7．（本题2分）（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，交于点，连接．若，，则的长为（

）

A． B．2 C．3 D．【答案】B【分析】由作图可知是的垂直平分线，则，因此.在中，分别求出的度数都等于，则可得是等边三角形，于是可得的长度.【详解】∵中，，，由作图可知是的垂直平分线，点F在上，是等边三角形，

.故选：B.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质和判定.证明是等边三角形是解题的关键.8．（本题2分）（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）如图，在中，点是边上的一点，，且的面积为，则的周长的最小值是（

）

A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】利用已知条件可以求出边的长度，再根据“将军饮马”问题，求最短距离即可．【详解】如图1，过作，作点关于直线对称点，交于点，连接，交于点，∴，

由，∴，，∴；∵，即，∴，解得：，∴，要使周长最小，则需点与重合时，即点共线时，如图2由勾股定理得：，∴的周长的最小值是，故选：．【点睛】本题考查了求线段和最短距离，解题的关键是灵活利用轴对称的有关定理及将军饮马数学模型．9．（本题2分）（2023春·重庆丰都·八年级校考期中）如图，正方形的对角线，交于点，点为上的一点，连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，则下列结论:（1）；（2）；（3）点为的中点；（4）；（5）若，则．其中正确的结论有（

）个．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】由四边形是正方形，得，而则所以因为所以可判断（1）正确；连接，，，设交于，先证明得再证明，得，再证明，则，可判断（3）正确；由，，垂直平分得，进而证明得，可判断（2）正确；当逐渐变小时，则的值逐渐变小，而逐渐变大，可知与不一定相等，可判断（4）错误；作于点，先证明得，即可根据勾股定理求得，可判断（5）正确，于是可得到最后答案．【详解】解：四边形是正方形，，，，，，，，故（1）正确；连接，，，设交于，则，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，为中点，故（3）正确；，，垂直平分，，，，在和中，，，，故（2）正确；当逐渐变小时，则的值逐渐变小，而逐渐变大，与不一定相等，故（4）错误；作于点，，，，在和中，，，，，，，，，，故（5）正确；综上所述：（1）（2）（3）（5）这个正确；故选：．【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、同角的余角相等、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．10．（本题2分）（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．正确的结论序号是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．【详解】解：，，，，，，，，，，，，，故①正确；，，，故②不正确；，，故③正确；，，，为的中点，，为线段的垂直平分线，，故④正确，所以，正确结论的序号是：①③④，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.11．（本题2分）（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，，过点作于点，过作于点，，相交于点，为的中点，连接，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤；其中正确的有．（填上正确的序号）．

【答案】个【分析】由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可得故①正确；通过证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，故②正确；由可证，可得，由，可得，故③错误；由线段垂直平分线的性质可得，可求可得，可得，故④正确；通过证明，可得，故⑤正确，即可求解．【详解】解：，，，，，，，，故①正确；∵，，，，是等腰直角三角形，为的中点，，故②正确；在和中，，，，，，，故③错误；，，，，，，，，故④正确；是等腰直角三角形，为的中点，，，，故⑤正确综上所述①②④⑤正确，正确的有个．故答案为：个．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．12．（本题2分）（2023春·山东泰安·八年级统考期中）如图，菱形中，是的垂直平分线，，则．

【答案】25【分析】根据菱形的性质可得，，，再根据平行线的性质可得，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，从而可得，即，即可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、垂直平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．13．（本题2分）（2023春·广东云浮·八年级统考期末）如图，在中，对角线，相交于点，过点作交于，若，，，则的长为．【答案】【分析】先证明，再根据勾股定理求出的长，然后根据【详解】∵四边形是平行四边形，∴，，，∴．∵，∴是的垂直平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边中线的性质，证明是解答本题的关键．14．（本题2分）（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图所示，在四边形中，，，，E为的中点，连结，若，则的度数为．

【答案】52【分析】连接，延长、交于点F，作于G，得出，由平行线的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，证出，得出，证明得出，，得出，由等腰三角形的性质即可得出结果．【详解】解：连接，延长、交于点F，作于G，如图所示：

∵，，∴，∵E为的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，故答案为：52．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．15．（本题2分）（2023·江苏·八年级假期作业）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，若，则【答案】或【分析】当为锐角时，如图1，设，，根据线段垂直平分线性质可得：，，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当为钝角时，如图2，根据线段垂直平分线性质可得：，，再结合三角形内角和定理即可求得答案．【详解】解：当为锐角时，如图1，设，，∵，∴，，，

∵分别垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∴；当为钝角时，如图2，

∵分别垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴；综上所述，．故答案为：或．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．（本题2分）（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在中，斜边，，的垂直平分线分别交、于点E、点D，连接，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是．

【答案】【分析】连接，过点作交于点，根据三角形的内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，推得，根据角平分线的判定可得平分，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，推得点于点关于对称，，即可推得故的最小值为线段的长，根据垂线段最短可得当时，的值最小，根据30度所对的边是斜边的一半和勾股定理求得,即可求得的最小值为．【详解】连接，过点作交于点，如图：

在中，，∴，∵的垂直平分线分别交、于点E、点D，∴，∴，即平分，又∵，，∴，，∴是等边三角形，又∵平分，故垂直平分，即点于点关于对称，∴，则，故的最小值为线段的长，故当时，的值最小，在中，，，故，,即的最小值为，故答案为；．【点睛】本题考查了三角形的内角和，垂直平分线的性质，角平分线的判定可，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，30度所对的边是斜边的一半，勾股定理等，确定出点M、N的位置是解题的关键．17．（本题2分）（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为．

【答案】2或3或5【分析】本题需考虑经过各边中点，共三种情况，依次讨论即可．【详解】解：，，，，，的垂直平分线经过一边中点，可分为以下三种情况：经过的中点；经过的中点；经过的中点．当经过的中点时，交于点，如图：，

绕点顺时针旋转得线段，，，是的外角，，垂直平分，，是等边三角形，，，；当经过的中点时，交于点，如图：，

，垂直，，，在中，，，，点在上，，，是的外角，，，，在中，，∴，由勾股定理得：；当经过的中点时，交于点（），如图：，

同理可证：，在中，，，．综上：的长为：2或5或3．故答案为：2，3或5．【点睛】本题综合考查了垂直平分线，含角的直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点．分类讨论思想是解题的关键，同时也是本题的易错点．18．（本题2分）（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为度．

【答案】【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，证明，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．【详解】解：如图，连接、，

，为的平分线，，又，，是的垂直平分线，，，，为的平分线，，点在的垂直平分线上，，，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，，，

在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．19．（本题2分）（2023春·广东茂名·八年级校考期中）如图，、，在第一象限内作，其中且，点是直线上的动点，点是直线上的动点，的最小值是

【答案】【分析】利用勾股定理得出，，延长至点，使，连接，，根据，可得垂直平分，由垂直平分线的性质可得，，根据两点之间线段最短和垂线段最短可得：当、、三点共线且时，，此时的长即为的最小值，再根据，即可得解．【详解】解：∵、，∴、，∵且，∴，，延长至点，使，连接，，∴，∵，∴垂直平分，即点与点关于对称，∴，，当、、三点共线且时，，此时的长即为的最小值，∵，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，等积法．通过作辅助线得出点的对称点，确定的长即为的最小值是解题的关键．20．（本题2分）（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则到的距离为．

【答案】【分析】连接交于，过点作于点，由翻折性质可证，得出为的垂直平分线，由平行四边形的性质求出，由中位线性质求出，由勾股定理求出，的长，再利用即可求出的长，得出最后结论．【详解】解：连接交于，过点作于点，

由翻折性质可知，，，又，，，为的垂直平分线，，四边形为平行四边形，，，分别为，的中点，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折性质，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线性质，正确作出辅助线，利用中位线性质求出的长度，是解答本题的关键．三、解答题：本大题共7小题，2125题每小题8分，2627题每小题10分，共60分．21．（本题8分）（2022秋·天津东丽·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，过点作于点，作于点，连接，．(1)求证：≌；(2)求证：垂直平分．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）利用证明和全等；（2）和全等，可证明，再证明和全等，可得，即可证明结论．【详解】（1）证明：，，，在和中，≌；（2）≌，，，，≌，，，，垂直平分．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定．掌握全等的证明方法以及垂直平分线的判定定理是解题的关键．22．（本题8分）（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）如图，四边形的对角线相交于点O，，过点O且与，分别相交于点E，F，．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接，若，的周长是15，求四边形的周长．【答案】(1)见解析(2)30【分析】(1)由可证，可得，由可证，可得，即可证四边形是平行四边形；(2)由线段中垂线的性质可得，可得，即可求四边形的周长．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵，

∴，∴，即，的周长．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．23．（本题8分）（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知：如图，垂直平分，，．(1)证明：四边形是平行四边形；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，，再证明得到，进而推出得到，进一步证明，由此即可证明四边形是平行四边形；（2）先由平行四边形的性质得到，再由勾股定理建立方程，解方程求出，进而求出即可得到答案．【详解】（1）证明：∵垂直平分，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵四边形是平行四边形，，∴，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，∴，解得，∴，∵垂直平分，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．24．（本题8分）（2023春·吉林·八年级统考期末）如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．

(1)在图1中所在直线上方找到一个格点D，连接，使．(2)在图2中确定一点E，使四边形为正方形．(3)在图3中所在直线下方有______个格点到两点距离相等．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）根据同底等高，确定点位置即可；（2）勾股定理逆定理得到为等腰直角三角形，将沿翻折，点的对应点即为点；（3）根据题意，可得，找到在线段的中垂线上的格点即可得解．【详解】（1）解：如图1所示，D点即为所求．(答案不唯一)

（2）如图2所示，E点即为所求；

由勾股定理，得：，∴四边形为菱形，∵，∴，∴四边形为正方形；（3）如图，

所在直线下方有4个格点到两点距离相等；故答案为：4．【点睛】本题考查格点作图．熟练掌握正方形的判定，勾股定理，中垂线的性质，是解题的关键．25．（本题8分）（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，正方形和正方形（其中点在的延长线上），与相交于点．

(1)若是的中点，求证：；(2)如备用图1，连接，求的度数；(3)如备用图2，连接，相交于点，求证：点在直线上．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）证明，即可得到结论；（2）过点作于点，则，，得到，，则，即，则，由得到是等腰直角三角形，即可得到的度数；（3）连接，，由四边形是正方形得到，，则直线垂直平分，，，得到，由四边形是正方形得到，则，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵是的中点，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：过点作于点，则，

∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，，∴∴即，∴，∵∴是等腰直角三角形∴；（3）证明：连接，，，

∵四边形是正方形，∴，，∴直线垂直平分，∵，，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴点在的垂直平分线上，即点在直线上．【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．26．（本题10分）（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）综合与实践(1)如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点转动．则下列结论正确的是_________（填序号即可）．①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．

(2)如图2，矩形的对角线中点是矩形的一个顶点，与边相文于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转．①猜想之间的数量关系，并进行证明；②直接写出线段之间的数量关系为_________．

(3)如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点