专题09二次函数图像与性质综合检测过关卷-2024年中考数学一轮复习2

专题09二次函数图像与性质综合过关检测（考试时间：120分钟，试卷满分：120分）注意事项：1.本试卷共6页，全卷满分120分。考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。4.作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗。选择题（）。1．抛物线的对称轴是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式求解．【详解】解：，抛物线顶点坐标为，对称轴为直线．故选：B．2．把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】此题考查了抛物线的平移．根据抛物线的平移规律进行求解即可．【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是，故选：B．3．已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解答本题的关键．根据题意，抛物线的顶点坐标为，得到对称轴经过点，列出式子，求出答案．【详解】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，对称轴经过点，，解得：，该抛物线的解析式为：．故选：．4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（

）A．图象与轴交点的坐标是 B．对称轴是直线C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】本题主要考查二次函数顶点式的图象的性质，掌握图象的对称轴，增减性，顶点坐标，与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．根据二次函数顶点式的特点逐一判断即可．【详解】解：、二次函数，与轴交点的坐标是，故原选项错误，不符合题意；、二次函数的图象的对称轴是直线，故原选项错误，不符合题意；、二次函数的图象得顶点坐标为，故原选项错误，不符合题意；、二次函数的图象，当时，y随x的增大而增大，故原选项正确，符合题意；故选：．5．函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数图象和二次函数图象的识别．首先分两种情况进行分析，当时，可以确定一次函数与二次函数的大致走向；同理当时也可以，再结合两函数图象交于点即可得出答案．【详解】解：当时，直线过一、三象限，抛物线开口向上；当时，直线过二、四象限，抛物线开口向下，可得选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意，故选：A．6．如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿和的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s）四边形的面积为y（单位：），则y与之间的函数图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据四边形的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据四边形的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解，根据题意结合图形，分别求出两个时间段的函数关系式，由抛物线开口方向判断是解题的关键．【详解】解：①时，∵正方形的边长为，依题意得：∴，该函数图像开口方向向下，②时，依题意得：，，该函数图像开口方向向下，所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选：．填空题(）7．如果函数是二次函数，那么的值为．【答案】【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义得出关于的不等式组，求出的值即可．【详解】解：函数是二次函数，，解得．故答案为：8．已知抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为．【答案】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，先根据条件确定，设抛物线解析式为，把顶点坐标代入即可．【详解】解：∵抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，方向相反，∴抛物线，∴设抛物线解析式为，把顶点坐标代入得：，故答案为：．9．已知点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为.【答案】【分析】根据关于原点对称的点的特征求出m、n的值，代入抛物线，根据二次函数的性质写出顶点即可，熟练掌握关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数是解题的关键.【详解】解：∵点与点关于原点对称，∴，∴抛物线，即的顶点坐标是，故答案为：10．若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则．【答案】【分析】本题考查二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标，掌握根据对称点求出抛物线的对称轴为，然后得到抛物线的解析式为，然后把点的坐标代入计算是解题的关键．【详解】解：∵抛物线过点，，∴对称轴为，又∵抛物线与x轴只有一个交点，∴设抛物线的解析式为，把代入得，故答案为：．11．已知二次函数的图象开口向上，若点都在该函数图象上，则的大小关系是．【答案】【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数开口向上，得到离对称轴越远函数值越大，再求出A、B、C到对称轴的距离，然后比较距离的大小即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴二次函数对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，∵点都在该函数图象上，，∴，故答案为：．12．如图，抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为．【答案】8【分析】根据题意可推出，，，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．【详解】解：过抛物线的顶点D作轴，与y轴交于点C，如图所示，因为则四边形是矩形，∵抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，∴，，将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则，根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积，∴．故答案为：8【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、矩形的性质与判定，二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积．13．如图，已知抛物线经过点A、B，且轴，，则．

【答案】/0.25【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．如图，记与轴的交点为，图象对称轴为轴，则，，设，则，解得，，或（舍去），则，，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，记与轴的交点为，

∵，∴对称轴为轴，∵轴，，∴，∴，设，将代入得，，解得，，或（舍去），∴，，，∴，，∴，故答案为：．14．如图，抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于C，点D在该抛物线上坐标为，则点B的坐标是．【答案】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的对称性，熟知函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键．根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B关于对称轴对称，列方程可得A点坐标．【详解】解：∵抛物线与y轴相交于点C，∴，由，关于抛物线对称轴对称，∴抛物线的对称轴是，设B点坐标为，∵，则，解得，即B点坐标为，故答案为：．15．如图，抛物线与轴交于点，过点且与轴平行的直线交抛物线于两点，则线段的长为．【答案】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出点的坐标，再将代入中，求出点两点的坐标，即可得到答案，理解题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键．【详解】解：在抛物线中，当时，，，过点且与轴平行的直线交抛物线于两点，在中，当时，，解得：，，，，，故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点．以为斜边作，边上的中线的最小值是．【答案】【分析】本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先由为中斜边边上的中线得到，再由抛物线得到抛物线的顶点坐标为，根据顶点为最低点可确定点位于顶点时，最短，即可求出的最小值，根据题意确定出点的位置是解题的关键．【详解】解：∵为中斜边边上的中线，∴，∵，∴抛物线的顶点坐标为，∴点到轴的最小距离为，即垂线段的最小值为，∴中线的最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。17．已知二次函数，几组该函数x与y的对应值如表：x…12…y…0m3…(1)求此二次函数的解析式；(2)求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值等知识点．注意计算的准确性．（1）将点，代入即可建立方程组求解；（2）令代入解析式函数即可求m的值．【详解】（1）解：将点，代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为：（2）解；令，则18．如图，二次函数的图象与轴交于点，为抛物线的顶点，求的面积．

【答案】【分析】本题考查将二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．根据抛物线解析式求出点点的坐标，再利用三角形面积公式求解．【详解】解：，顶点的坐标为，令，则，点的坐标为，，，．19．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上．(1)如果，那么抛物线的对称轴为直线；(2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标．【答案】(1)(2)，顶点【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键．（1）由题意知是抛物线上关于对称轴对称的两点，据此即可求解；（2）由题意可得点的坐标，将其代入即可求出抛物线的解析式．【详解】（1）解：若，则是抛物线上关于对称轴对称的两点故抛物线的对称轴为直线：，故答案为：（2）解：∵点在上，∴，.∴将代入得：∴

解得∴.

故顶点坐标为20．已知二次函数（是常数）．(1)若该函数的图像的对称轴为直线，求的值．(2)求证：不论为何值，该函数图像与轴没有公共点．【答案】(1)(2)见解析【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握判别式与函数图像与轴交点的关系是解题的关键．（1）根据题意得到对称轴为，即可求出m的值；（2）根据题意计算判别式，即可证明．【详解】（1）∵二次函数，对称轴为直线，∴对称轴为，解得；（2）∵二次函数∴∴不论为何值，该函数图像与轴没有公共点．21．已知，抛物线．(1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．

(2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）采用“五点作图”法即可求解；（2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．【详解】（1）解：列表如下：图象如图所示：

（2）解：将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得：即：【点睛】本题考查二次函数的图象及平移．掌握二次函数的平移规律是关键．22．已知二次函数经过点，，且最大值为4．(1)求二次函数的解析式；(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；(3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数的图象，结合函数图象求函数值的取值范围等知识．（1）设二次函数解析式为交点式，再配方成顶点式，由最大值为4即可求得二次项系数，从而求得函数解析式；（2）列表、描点、连线，即可得到函数的图象；（3）结合函数图象即可写出y的取值范围．【详解】（1）解：设，则，二次函数最大值为4，，即，二次函数解析式，化为一般式为：；（2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，列表如下：x01234y03430描点并连线，得到的函数图象如下：（3）解：观察图象知，当时，．23．阅读理解：自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：．解：设，解得，，则抛物线与x轴的交点坐标为和，画出二次函数的大致图像（如图所示），由图像可知：当或时函数图像位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为或．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：(1)上述解题过程中，渗透的数学思想有______．(2)借助阅读材料直接写出一元二次不等式，的解集为______．(3)用类似的方法解一元二次不等式：．【答案】(1)转化思想和数形结合(2)(3)【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识点；（1）根据题意容易得出结论；了解常见的数学思想是解题的关键；（2）观察图像即可写出一元二次不等式的解集；掌握运用二次函数图像确定不等式的解集以及数形结合思想是解题的关键；（3）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据确定一元二次不等式的解集即可；理解二次函数图像的性质是解题的关键．【详解】（1）解：根据解题过程中，渗透了转化思想和数形结合思想．故答案为：转化思想和数形结合．（2）解：由图像可知：当时函数图像位于x轴及其下方，此时，即，∴一元二次不等式的解集为：．故答案为：．（3）解：设，解得：，∴抛物线与x轴的交点坐标为和．如图：画出二次函数的图像，有图像可知：当时，函数图像位于x轴上方，此时，即，∴一元二次不等式的解集为：．24．已知二次函数．(1)将化成的形式：___________；(2)补全表格，则___________，___________，并在坐标系中利用描点法画出次二次函数的图象；x…0m2n4…y…0k0…(3)若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________．【答案】(1)(2)1，3，图象见解析(3)【分析】（1）利用配方法将函数解析式进行转换即可；（2）令，即可求得，，然后根据表格中数据描点、连线即可；（3）由题意可知要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可，由图可知，在与轴之间，进而可得．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）令，，解得：，，∴，；则，在坐标系中描点、连线：故答案为：1，3；（3）∵，∴，即：方程的解可看作函数与交点的横坐标，要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可，由图可得：在与轴之间，则，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，画出函数图象，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键．25．如图，在四边形中，，，E是线段上从点A向点B运动的一个动点（不含A、B），F是线段上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点F在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积为y2

(1)请求出和关于x的函数解析式，并说明x的取值范围；(2)在图2中画出关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质：______；(3)若，请结合函数图象直接写出x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】(1)，(2)当时，函数有最大值（答案不唯一）(3)【分析】（1）作于G，可得四边形为矩形，，由题意可知：，则，再根据，，可得函数解析式，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得x的取值范围；（2）利用描点法画出图形即可，由，根据最值或增减性可得函数性质；（3）由，可得，结合图象只需在图象中找到在上方部分对应的x的值即可．【详解】（1）作于G，

∵，，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，由题意可知：，则，∴的面积，的面积：，∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，则点E运动时间最多为：秒，点F运动时间最多为：秒，∴，，；（2）列表：x1234558985描点（用空心圆圈），画出关于x的函数图象如图所示：

，由此可知：①当时，函数有最大值9；②当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小；故答案为：当时，函数有最大值9（答案不唯一）；（3）∵，∴，即，即：，只需在图象中找到在上方部分对应的x的值即可，由图可知两函数的交点横坐标约为，其右侧部分在上方，∴当时，x的取值范围为．【点睛】本题考查二次函数函数的图象与性质，涉及根据函数图象解不等式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质．26．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．

(1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象．(2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值．(3)已知抛物线，关于直线的“镜面函数”图像上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围．【答案】(1)见解析(2)或(3)【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图象即可；（2）分直线过“镜面函数”图象与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；（3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于的不等式组，解之即可得出结论.【详解】（1）解：如图，即为函数函数关于直线的“镜面函数”的图象，

（2）如图,

对于当时,，∴函数与y轴的交点坐标为,当直线经过点时,；此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：，整理得此时，解得，综上，的