高考数学科学复习提升版第40讲空间点直线平面之间的位置关系

第40讲空间点、直线、平面之间的位置关系[课程标准]借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，并了解基本事实和定理．1．基本事实与推论(1)基本事实1：过eq\x(\s\up1(01))不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．即eq\x(\s\up1(02))不共线的三点确定一个平面．(2)基本事实2：如果一条直线上的eq\x(\s\up1(03))两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过eq\x(\s\up1(04))该点的公共直线．(4)三个推论推论1：经过一条直线和eq\x(\s\up1(05))这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线的定义把不同在eq\x(\s\up1(06))任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)位置关系的分类eq\a\vs4\al(空间,直线)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相交直线,\x(\s\up1(07))平行直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有,公共点))(3)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线eq\x(\s\up1(08))平行．(4)定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角eq\x(\s\up1(09))相等或互补．(5)异面直线所成的角①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：eq\x(\s\up1(10))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．3．空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系关系位置图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个1．异面直线判定的一个方法与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．2．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交 B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行答案C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据基本事实4，知a∥b，与a，b为异面直线矛盾，D错误．故选C.2．(人教A必修第二册8.4.1练习T2改编)下列说法中正确的是()A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面C．梯形确定一个平面 D．空间任意两条直线确定一个平面答案C解析不共线的三点确定一个平面，故A错误；四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定能确定一个平面，故B错误；因为梯形有一组对边平行，所以梯形确定一个平面，故C正确；两条异面直线不能确定一个平面，故D错误．故选C.3.(人教A必修第二册8.6.1练习T4改编)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2eq\r(2)，则异面直线BD与AC所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．由条件知，BD＝DE＝EB＝eq\r(2)，则∠BDE＝60°.故选C.4.(多选)如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，A，B，C三点确定的平面记为γ，则平面γ与β的交线必过()A．点A B．点BC．点C D．点D答案CD解析因为AB∩l＝D，所以D∈AB.又A，B，C三点确定平面γ，所以C∈γ，D∈γ.又C，D∈β，故C，D在γ和β的交线上．故选CD.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由基本事实4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b不同在任何一个平面内，故④错误．考向一基本事实与推论的应用例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴直线CE与直线D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．1．证明点或线共面问题的两种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的两种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．提醒：点共线、线共点等都是应用基本事实3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设直线EG与直线FH交于点P.求证：P，A，C三点共线．证明(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，∴P∈EG，∵EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．考向二空间两条直线的位置关系例2(1)(多选)如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列结论能成立的是()A．l与AD平行 B．l与AB异面C．l与CD所成的角为30° D．l与BD垂直答案BCD解析假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，可得l∥B1C1，与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD不平行，A错误；取l为A1C1所在直线，满足B，B正确；又因为l⊥B1D1，B1D1∥BD，所以l⊥BD，D正确；取l与C1D1成30°角，因为C1D1∥CD，所以此时l与CD所成的角为30°，C正确．故选BCD.(2)在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，F是AB的中点，则()A．AE＝CF，AC与EF是共面直线B．AE≠CF，AC与EF是共面直线C．AE＝CF，AC与EF是异面直线D．AE≠CF，AC与EF是异面直线答案D解析由题意，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，F是AB的中点，AC⊂平面ABC，所以EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线．又CF＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，AE＝eq\r(22＋（\r(2)）2)＝eq\r(6)，所以AE≠CF.故选D.空间两条直线位置关系的判定方法1.已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行 B．相交C．垂直 D．异面答案C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；当l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；当l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错误；无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直，∴C正确．故选C.2.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.考向三异面直线所成的角例3(1)如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF与AC所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°答案B解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.∵E，F分别为DC，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝eq\f(1,2)AC，EG＝eq\f(1,2)BD.∴∠EFG(或其补角)为EF与AC所成的角．∵AC＝BD，∴FG＝EG.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.故选B.(2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)答案C

解析解法一(补形法)：如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以DE1＝eq\r(DE2＋EEeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋（\r(3)）2)＝eq\r(5)，B1E1＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋A1Eeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝eq\f(22＋（\r(5)）2－（\r(5)）2,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).故选C.解法二(平移法)：如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋BBeq\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以OM＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).故选C.求异面直线所成角的方法平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解坐标法如果几何图形便于建系，可以将问题坐标化，借助向量求解注意：平移法求异面直线所成角时，选点要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角．1.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)答案D解析如图，连接A1C1，BC1，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1(或其补角)为直线PB与AD1所成的角．设正方体的棱长为2，则PB＝eq\r(6)，PC1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，则PB2＋PCeq\o\al(2,1)＝BCeq\o\al(2,1)，所以PB⊥PC1，△PBC1为直角三角形．在Rt△PBC1中，因为sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2)，所以直线PB与AD1所成的角为eq\f(π,6).故选D.2.如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1＝1，下底面半径为OA＝2，母线长AA1＝2，在下底面内过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°答案B解析在直角梯形OO1A1A中，∵B为OA的中点，OA＝2，∴O1A1＝OB＝AB＝1，连接A1B，易知四边形OO1A1B为矩形，∴OO1∥A1B，∴∠BA1C(或其补角)为异面直线OO1与A1C所成的角．在Rt△AA1B中，AA1＝2，AB＝1，∴A1B＝eq\r(3).连接OC，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2，得BC＝eq\r(3).在Rt△A1BC中，BC＝A1B，∴∠BA1C＝45°，即异面直线OO1与A1C所成角的大小为45°.课时作业一、单项选择题1．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．l⊂α B．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N答案A解析∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，同理，N∈α.又M∈l，N∈l，则l⊂α.故选A.2．(2023·惠州三调)已知三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是()A．b，c是异面直线 B．b∩c＝PC．b∥c D．a与c没有公共点答案B解析∵α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∩b＝P，∴P∈a，P∈b，且a⊂α，b⊂γ，∴P∈α，P∈γ，又γ∩α＝c，∴P∈c，可得b∩c＝P.故选B.3．在三棱锥A－BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P()A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故选B.4．(2024·保定一模)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交”是“a，c相交”的()A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析若a，b相交，a⊂α，b⊂β，则其交点在交线c上，故a，c相交；若a，c相交，则a，b为相交直线或异面直线．综上所述，“a，b相交”是“a，c相交”的充分不必要条件．故选C.5．(2023·上海春季高考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是()A．DD1 B．ACC．AD1 D．B1C答案B解析对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选B.6．(2024·宁德模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D和CD1与底面所成的角分别为45°和30°，则异面直线A1D与B1D1所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(\r(5),4)答案B解析由题意，可作图如右，则∠A1DA＝45°，∠D1CD＝30°，设AD＝1，在Rt△ADA1中，易知AA1＝AD＝1，在Rt△D1DC中，DD1＝AA1＝1，DD1⊥CD，CD＝eq\f(DD1,tan30°)＝eq\r(3)，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，易知BD∥B1D1，则∠A1DB为异面直线A1D与B1D1所成的角或其补角，在Rt△ABD中，AD2＋AB2＝BD2，则BD＝2，同理可得A1D＝eq\r(2)，A1B＝2，由余弦定理，得cos∠A1DB＝eq\f(A1D2＋BD2－A1B2,2A1D·BD)＝eq\f(2＋4－4,2×\r(2)×2)＝eq\f(\r(2),4).故选B.7.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且N为BD的中点．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝eq\r(3)，∴EN＝eq\r(FN2＋EF2)＝2.∵M，G分别是ED，DF的中点，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，BG＝eq\r(CG2＋BC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋22)＝eq\f(5,2)，∴BM＝eq\r(MG2＋BG2)＝eq\r(7).∴BM≠EN.∵BM，EN都是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B.8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．2答案A解析延长D1E与直线DC交于点F，连接AF，则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF，又C1D1∥CD，∴∠AFD(或其补角)为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角，∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD＝CF，∴tan∠AFD＝eq\f(AD,DF)＝eq\f(1,2).故选A.二、多项选择题9.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是()A．AC与BD1是两条相交直线B．AA1∥平面BB1D1C．B1C与BD1是异面直线D．A，C，B1，D1四点共面答案BC解析BD1⊂平面ABD1，AC∩平面ABD1＝A，A∉BD1，所以AC与BD1是异面直线，A错误；因为AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1D1，BB1⊂平面BB1D1，所以AA1∥平面BB1D1，B正确；BD1⊂平面BB1D1，B1C∩平面BB1D1＝B1，B1∉BD1，所以B1C与BD1是异面直线，C正确；如题图所示，A，C，D1三点在平面ACD1上，B1D1与平面ACD1相交，所以A，C，B1，D1四点不共面，D错误．故选BC.10.一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CD B．AB与CD异面C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°答案BD解析将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB与CD是异面直线，且它们所成的角为60°.故选BD.11.(2024·海南模拟)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，则下列结论正确的是()A．AB⊥SAB．AC与SB所成的角为90°C．AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案ABC解析对于A，SD⊥平面ABCD，则AB⊥SD，又底面ABCD为正方形，则AD⊥AB，则AB⊥平面SAD，故AB⊥SA，A正确；对于B，SD⊥平面ABCD，则AC⊥SD，又底面ABCD为正方形，则BD⊥AC，则AC⊥平面SDB，故AC⊥SB，即AC与SB所成的角为90°，B正确；对于C，AD∥BC，则AD与SB所成的角等于∠SBC，而AB∥CD，则CD与SB所成的角等于∠SBA，在△SBC与△SBA中，SC＝SA，BC＝BA，SB为公共边，则△SBC≌△SBA，故∠SBC＝∠SBA，故AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角，C正确；对于D，AB∥CD，SD⊥平面ABCD，则AB与SC所成的角为∠SCD<90°，而DC与SA所成的角为∠SAB＝90°，则AB与SC所成的角小于DC与SA所成的角，故D错误．故选ABC.三、填空题12.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析将正四面体的平面展开图复原为正四面体A－DEF，如图．对于①，G，H分别为DE，BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；对于②，假设BD与MN共面，则A，D，E，F四点共面，与A－DEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故②正确；对于③，依题意，得GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，连接GF，点A在平面DEF内的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④.13．已知在三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，M，N分别是BC，AD的中点，则异面直线AB与MN所成的角为________．答案60°或30°解析如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角，则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.因为PM∥AB，所以∠PMN(或其补角)是异面直线AB与MN所成的角．①当∠MPN＝60°时，因为AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即异面直线AB与MN所成的角为60°；②当∠MPN＝120°时，易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即异面直线AB与MN所成的角为30°.综上，异面直线AB与MN所成的角为60°或30°.14.如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案3eq\r(2)解析如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE.设正方体的棱长为3a，则ME＝2eq\r(2)a，MI＝eq\r(2)a，IH＝2eq\r(2)a，HG＝eq\r(2)a，FG＝2eq\r(2)a，EF＝eq\r(2)a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9eq\r(2)a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3eq\r(2).四、解答题15．在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝a，M，N分别为BC，AD的中点．(1)两异面直线的公垂线是指与两异面直线都垂直且相交的直线，求证：MN是异面直线BC与AD的公垂线；(2)求MN的长．解(1)证明：如图，由已知可得，△ABC≌△BCD，又M为BC的中点，则AM＝DM，又N为AD的中点，∴MN⊥AD.同理可证MN⊥BC.又MN与直线BC和AD都相交，∴MN是异面直线BC与AD的公垂线．(2)在等边三角形ABC中，由边长为a，可得AM＝eq\f(\r(3),2)a，在Rt△ANM中，又AN＝eq\f(a,2)，可得MN＝eq\r