专题19.2一次函数（教师版）

专题19.2一次函数1.理解一次（正比例）函数的定义；2.掌握一次（正比例）函数的图象与性质；3.掌握一次函数图象的平移；4.理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、不等式之间的关。知识点01一次函数与正比例函数的概念【知识点】1.一次函数与正比例函数的概念1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。【知识拓展1】一次函数的概念例1．（2022·湖南·衡阳市八年级阶段练习）下列函数关系式：；；；，其中一次函数的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一次函数的定义解答即可．【详解】解：是一次函数；是一次函数；，自变量x次数为2，不是一次函数；，自变量x不能做分母，不是一次函数．一次函数有个，故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．【即学即练】1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列函数①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用一次函数的定义进行判断即可选择．【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③是反比例函数；④是一次函数；⑤是二次函数，所以一次函数有3个．故选：C．【点睛】本题考查一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题关键．【知识拓展2】正比例函数的概念例2．（2022·吉林长春·八年级期末）下列各式中，表示正比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正比例函数的定义：形如y=kx（k为常数且k≠0），即可解答．【详解】解：A、y=2x，是正比例函数，故该选项符合题意；B、y=x+1，是一次函数，但不是正比例函数，故该选项不符合题意；C、y2=x，不是正比例函数，故该选项不符合题意；D、y=，不是正比例函数，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．【即学即练】2．（2022·河南·鹿邑县八年级期末）下列函数是正比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可．【详解】A．，y不是x的正比例函数，故A不符合题意；B．y＝x，y是x的正比例函数，故B符合题意；C．y＝x+1，y不是x的正比例函数，故C不符合题意；D．，y不是x的正比例函数，故D不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．【知识拓展3】一次函数定义（含参问题）例3．（2022·河北·原竞秀学校八年级期中）若函数是正比例函数，则m的值为（

）A． B．2 C． D．0【答案】A【分析】根据正比例函数的定义即可求出结果．【详解】解：∵是正比例函数，∴，解得，故选：A．【点睛】本题考查正比例函数的定义，属于基础题目，熟悉正比例函数的定义是解题的关键，自变量x的系数不等于0是易错点．【即学即练】3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知函数是一次函数，则m的取值范围是（

）A．m≠3 B．m≠1 C．m≠0 D．m为任意实数【答案】A【分析】根据一次函数的定义进行解答．【详解】解：根据题意，，解得．故选：A．【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义．【知识拓展4】实际背景下的一次（正比例）函数概念例4．（2022·浙江台州·八年级期末）下列变化过程中，y是x的正比例函数是（

）A．某村共有耕地，该村人均占有耕地y（单位：）随该村人数x（单位：人）的变化而变化B．一天内，温岭市气温y（单位：）随时间x（单位：时）的变化而变化C．汽车油箱内的存油y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）的变化而变化D．某人一年总收入y（单位：元）随年内平均月收入x（单位：元）的变化而变化【答案】D【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A.由题意得：，故y不是x的正比例函数；B.因为温岭市一天的气温早晚较低，中午较高，故y不是x的正比例函数；C.因为在行驶时间为零时汽车油箱内的存油y不是零，故y不是x的正比例函数；D.由题意得：，故y是x的正比例函数；故选：D．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数(k为常数，且k≠0)，那么y就叫做x的正比例函数【即学即练】4．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（

）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．反比例函数关系D．二次函数关系【答案】B【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．【详解】解：根据题意得：，∴，∴y与x满足的函数关系是一次函数；故选：B．【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．知识点02一次（正比例）函数的图象与性质【知识点】1.一次（正比例）函数的图象与性质1）一次函数图象是一条直线；2）已知两点可以作图，也可求出解析式；3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）；4）过象限、增减性（过一、二象限）（过三、四象限）（过原点）（过一、三象限）随的增大而增大经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限（过二、四象限）随的增大而减小经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。2.一次函数的平移与位置关系1）一次函数与的位置关系：两直线平行且两直线垂直2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。【知识拓展1】过象限问题例1．（2022·山东·邹平市八年级期中）已知，则直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性即可得出a、b的值，将其代入直线解析式中，再利用一次函数图象与系数的关系即可得出该直线经过的象限，此题得解．【详解】解：∵|a+1|0，∴，即，∴直线y＝ax﹣b＝﹣x﹣2，∵﹣1＜0，﹣2＜0，∴直线y＝ax﹣b经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系、绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，解题的关键是求出a、b的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据绝对值以及算术平方根的非负性求出一次函数解析式是关键．【即学即练1】1．（2022·福建福州·八年级期末）直线不经过的象限是（

）A．第一 B．第二 C．第三 D．第四【答案】C【分析】根据一次函数的图像和性质即可得答案．【详解】解：由一次函数得，，直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像特点，能熟练画出大致图像是解题关键．2．（2022·河北保定·八年级期末）写出一个图象位于第二、四象限的正比例函数的解析式是______．【答案】y=x【分析】先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．【详解】解：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），∵此正比例函数的图象经过二、四象限，∴k＜0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．故答案为：y=x（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＜0时函数的图象经过二、四象限．【知识拓展2】增减性判断例2．（2022·安徽巢湖·八年级期末）下列函数的图象不经过第三象限，且y随x的增大而减小的是（）A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x＋1 D．y＝﹣x﹣1【答案】B【分析】根据一次函数的性质依次分析进行解答即可．【详解】解：、的图象经过第一、三象限，且随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；、的图象经过第二、四象限，且随的增大而减小，故选项正确，符合题意；、的图象经过第一、二、三象限，且随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；、的图象经过第二、三、四象限，且随的增大而减小，故选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．【即学即练2】2．（2022·湖南绥宁·八年级期末）已知一次函数y＝（m＋2）x＋1，函数y的值随x值的增大而减小，则常数m的取值可以是_____________．（只需要写一个满足条件的常数m）【答案】﹣3（答案不唯一）【分析】根据一次函数的性质可知：m＋2＜0，求得m＜﹣2，只需要写出一个符合此条件的m的值即可．【详解】解：∵一次函数y＝（m＋2）x＋1，函数y的值随x值的增大而减小，∴m＋2＜0，∴m＜﹣2，∴m的值可以是﹣3，故答案为：﹣3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数图像与系数之间的关系．3．（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）甲，乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点；乙：y随x的增大而减小；根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一次函数的表达式为______．【答案】【分析】设一次函数解析式为y＝kx＋b，根据函数的性质得出，k<0，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一．【详解】解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，∵函数的图象经过点(0,2)，∴，∵y随x的增大而减小，∴k＜0，当取k=−1时，一次函数表达式为：，∴满足上述性质的一个函数表达式为：（答案不唯一）．故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键，属于开放型的题型．【知识拓展3】增减性的运用比大小例3．（2022·湖北十堰·八年级期末）点A和点B都在直线y＝﹣2x+b上，则和的大小关系是（）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】利用一次函数的增减性性质判定即可．【详解】∵直线的，∴随的增大而减小，∵，∴，故选：B．【点睛】此题考查了一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性性质．【即学即练】3．（2022·湖北武汉·八年级期末）一次函数的图像上有三个点，，，据此可以判断，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数的增减性即可判断出答案．【详解】解：，，y随x的增大而增大，，．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图像上的点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解是关键．4．（2022·黑龙江佳木斯·八年级期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用一次函数的增减性判定即可．【详解】解：由知，函数值y随x的增大而减小，∵3>1>2，，，，∴．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是通过k=2<0得知函数值y随x的增大而减小，反之x随y的增大也减小．【知识拓展4】运用增减性（过象限）求参数例4．（2022·四川成都市·八年级期中）若y＝（m2）x|m2|﹣5是关于x的一次函数，且y随x增大而减小，则常数m的值为______．【答案】1【分析】由一次函数的定义可得一次项系数不为零，且x的指数为1，由y随x的增大而减小，可得一次项的系数小于0，综上共可以得到一个不等式和一个等式，解出它们即可得到m的值．【详解】解：由题可知：，且，，1或3，．故答案为：1．【点睛】本题考查了学生对一次函数解析式以及一次函数图像的认识，学生需要明白一次函数中一次项系数k的作用；当k大于0时，y随x的增大而增加，当k小于0时，y随x的增大而减小；本题同样考查了学生对绝对值的认识以及解不等式的知识．【即学即练】4．（2022·河南许昌·八年级期末）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（）A． B．． C． D．【答案】B【分析】利用一次函数图象性质，图象经过第一、三、四象限，，即可解答.【详解】一次函数，图象经过第一、三、四象限，则，解得：故选B.【点睛】本题考查了一次函数的图象特征，熟练掌握函数图象所经过象限与k、b之间的关系是解题关键.5．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正比例函数的的性质可得，函数系数大于0时函数值y随x的增大而增大．【详解】∵正比例函数y=(m−2)x的函数值y随x的增大而增大，∴m−2>0解得m>2，故选A．【点睛】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是根据性质列式求解．6．（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）已知点，在正比例函数的图象上，且当时，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】正比例函数的性质得到2m1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：∵点，在正比例函数y=（2m1）x的图象上，且当时，有，∴y随x的增大而增大，∴2m1＞0，解得m＞．故选：D．【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键．【知识拓展5】一次函数的平移问题例5．（2022·江西·八年级期末）若直线向左平移5个单位长度，则得到的直线解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数图象左右平移时解析式的变化规律求解．【详解】将直线向左平移5个单位长度，得，故选：C．【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，解题关键是理解一次函数图象左右平移时解析式的变化规律．【即学即练】5．（2022·湖南绥宁·八年级期末）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝3x平移后得到直线l2：y＝3x＋2，则下列平移的做法正确的是（）A．将l1向左平移2个单位 B．将l1向右平移2个单位C．将l1向上平移2个单位 D．将l1向下平移2个单位【答案】C【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，得出即可．【详解】解：将直线l1：y＝3x向上平移2个单位得到直线l2：y＝3x＋2．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移的规律是解题的关键．6．（2022·沈阳市第七中学九年级开学考试）平面直角坐标系中，将直线向右平移1个单位长度得到的直线解析式是，则原来的直线解析式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知：把直线向左平移1个单位长度后，其直线解析式为，即．故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则．【知识拓展6】一次函数的图象问题例6．（2022·山东济宁·八年级期末）在同一坐标系中，函数y＝2kx与y＝x﹣k的图象大致是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据正比例函数和一次函数的图象与性质逐项判断即可得．【详解】解：A、由函数的图象可知，由函数的图象可知，两者不一致，则此项不符合题意；B、函数的函数值随的增大而增大，函数的图象经过原点，则此项不符合题意；C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，且随的增大而增大，两者一致，则此项符合题意；D、函数的图象经过原点，则此项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的图象与性质是解题关键．【即学即练】6．（2022·广西钦州·一模）定义一种运算：则函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，分两种情况：当x≤4时和当x＞4时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论．【详解】解：∵当x+2≥2（x1）时，即x≤4，∴当x≤4时，（x+2）（x1）=（x+2）（x1）=x+2x+1=3，即：y=3，当x+2<2（x1）时，即x＞4时，（x+2）（x1）=（x+2）+（x1）6=x+2+x16=2x5，即：y=2x5，∵k=2＞0，∴当x＞4时，y=2x5，函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大，综上所述，只A选项符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．知识点03一次方程（组）与一次函数的关系【知识点】一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=02）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.【知识拓展1】一次函数与一次方程例1．（2022·湖北鄂州·八年级期末）已知点在直线（k，b为常数，且）上，则关于x的方程的解是_____．【答案】3【分析】根据题意知，当时，，据此求得关于的方程的解．【详解】解：点在直线，是常数，上，当时，．关于的方程的解．故答案是：3．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是正确利用已知条件“点在直线，是常数，上”来求解．【即学即练】1．（2022·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末）一次函数的图像如图所示，则方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根据函数图像与x轴的交点进行解答即可．【详解】解：∵一次函数y=ax＋b的图像与x轴的交点为（2，0），∴当y=ax＋b=0时，x=2．故选：A．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是熟练运用数形结合的思想分析问题．2．（2022·陕西·西工八年级期末）如图，已知直线y＝ax+b，则方程ax＝1﹣b的解为x＝_____．【答案】4【分析】观察图形可直接得出答案．【详解】解：由ax＝1﹣b得ax+b=1，根据图形知，当y=1时，x=4，即ax+b=1时，x=4．∴方程ax+b=1的解x=4．故答案为：4．【点睛】此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法．【知识拓展2】根据函数图象得方程（组）的解例2．（2022·广西·梧州市第十中学八年级期中）如图，若直线：与直线：相交于点P，则方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】两个一次函数图象的交点坐标对应的x、y的值即为对应的二元一次方程组的解，从而可得答案．【详解】解：观察图象可知，两条直线的交点坐标为（2，3），∴方程组的解为．故选：B．【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．【即学即练】2．（2022·贵州黔西·二模）如图，平面直角坐标系中，经过点B(﹣4，0)的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点，则关于x的方程mx+2＝kx+b的解为________．【答案】【分析】根据两条直线的交点坐标即为这两条直线的解析式联立组成的一元一次方程的解解答即可．【详解】解：∵经过点B（﹣4，0）的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点，∴关于x的方程mx+2＝kx+b的解为x＝故答案为：．【点睛】本题考查了图象法解一元一次方程，熟练掌握方法是解题的关键．3．（2022·山东烟台·七年级期中）两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是_________．【答案】【分析】根据两条直线的图象的交点来求解．【详解】解：∵两直线和的图象相交于点，，，∴，∴，∴的解是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了两条直线的交点，观察图象得到交点的坐标是解答读取．知识点04一次不等式与一次函数的关系【知识点】一次不等式与一次函数的关系1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0）。2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。3）若两个不等式比较大小，如y1＞y2，反映在图像上为l1的图象在l2的图像上面部分x的取值范围。【知识拓展1】一次函数与一次不等式例1．（2022·广东·深圳八年级期末）一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则关于x的不等式mx﹣n＜0的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3【答案】C【分析】利用图象法求解，找到直线与x轴的交点坐标，即可得出对应不等式的解集．【详解】解：由图象知：不等式mx﹣n＜0的解集是x＞3，故选：C．【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，熟练掌握利用数形结合，由图象法求解是解题的关键．【即学即练】1．（2022·海南·八年级期末）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】观察函数图象，写出函数图象不在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：观察所给图象可知：当时，的图象不在x轴下方，因此不等式的解集是．故选B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是熟练运用数形结合思想．【知识拓展2】一次函数与不等式组例2．（2022·河南南阳·八年级期末）如图所示，一次图数y＝－x＋3与一次函数y＝2x＋m图象交于点（2，n），则关于x的不等式组的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直线y＝−x＋3与x轴的交点坐标，然后根据函数特征，写出在x轴上方，直线y＝2x＋m在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围．【详解】解：∵直线y＝−x＋3与x轴的交点坐标为（3，0），直线y＝2x＋m与直线y＝−x＋3交点为，∴关于x的不等式组的解集为−2＜x＜3．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【即学即练】2．（2022·陕西榆林·八年级期末）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数图象，写出在x轴下方，直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：由图象可知，直线和直线的交点为（−1，−2），直线中y随x的增大而减小，∵过原点，∴关于x的不等式的解集是−1＜x＜0，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．3．（2022·贵州毕节·八年级期末）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②，；③当时，；④不等式的解集是其中正确的结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据两个函数经过的象限和与y轴的交点位置即可判断①②；根据两个函数的交点横坐标即可判断③④；【详解】解：由函数图象可知一次函数经过第一、二、四象限且与y轴交于正半轴，∴k＜0，b＞0，故①②错误；∵两个一次函数图像的交点横坐标为3，∴当时，，故③正确；由函数图象可知不等式的解集即为一次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，∴不等式的解集是，故④正确，故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，两直线的交点问题，图象法解一元一次不等式，熟知一次函数性质和图像是解题的关键．题组A基础过关练1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（

）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝【答案】C【分析】根据一次函数和正比例函数的概念解答即可．【详解】解：A．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意；B．不是一次函数，故选项不符合题意；C．是一次函数，但不是正比例函数，故选项符合题意；D．不是一次函数，故选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．2．（2022·宁夏吴忠·八年级期末）下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可用正比例函数的性质和一次函数的性质进行分析即可．【详解】解：A、的图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，故此选项合题意；B、的图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，故此选项不合题意；C、的图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，故此选项不合题意；D、的图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是熟练掌握一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．3．（2022·河北·八年级期末）如图，已知直线，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数图像，找出图像在x轴上方的部分的x的取值范围即可得解．【详解】解：使不等式kx+b>0成立即直线y＝kx+b的图像在x轴上方，由图可知，当时，kx+b>0．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能够准确识图，找出符合不等式的图像的部分是解答本题的关键．4．（2022·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习）如图，已知一次函数y1＝k1x+b；与y2＝k2x+b2交于点A，根据图象回答，y1＞y2时，x的取值范围是（

）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1【答案】C【分析】观察函数图象，找出在上方时对应的x的取值范围即可．【详解】解：由函数图象得：当x＜﹣1时，在上方，即，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在直线上方时对应的x的取值范围．5．（2022·湖北通城·八年级期末）直线经过的象限是（）A．三、二、一 B．三、四、一 C．二、三、四 D．二、一、四【答案】A【分析】根据“对于一次函数，当时，图象经过一、二、三象限；当时，图象经过一、三、四象限；当时，图象经过一、二、四象限；当时，图象经过二、三、四象限．”分析选择即可．【详解】∵中，，∴该直线经过一、二、三象限．故选：A．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数图象与系数关系的四种情况是解答本题关键．6．（2022·广西南宁·八年级期末）下列说法正确的是（

）A．函数的图象是过原点的射线 B．直线经过第一、二、三象限C．函数，随增大而增大 D．函数，随增大而减小【答案】C【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得．【详解】解：A、函数的图象是过原点的直线，则此项说法错误，故A不符题意；B、直线经过第一､二､四象限，则此项说法错误，故B不符题意；C、函数，随增大而增大，则此项说法正确，故C符合题意；D、函数，随增大而增大，则此项说法错误，故D不符题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．7．（2022·河北邢台·八年级期中）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数的图象和性质，即可解答．【详解】解：在中，，随x的增大而减小，，，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握和运用一次函数的图象和性质是解决本题的关键．8．（2022·成都市·八年级专题练习）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（）A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5）【答案】A【分析】根据方程可知当x＝2，y＝0，从而可判断直线y＝−2x＋b经过点（2，0）．【详解】解：由方程的解可知：当x＝2时，−2x＋b＝0，即x＝2，y＝0，∴直线y＝−2x＋b的图象一定经过点（2，0），故选：A．【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．9．（2022·山东威海·七年级期中）两个一次函数的图像如图所示，依据图中的信息，下列方程组的解满足交点P的坐标的是(

)A．B．C．D．【答案】D【分析】根据坐标系中点的坐标，运用待定系数法确定一次函数的解析式，解析式构成的方程组就是所求．【详解】如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，得，解得，故直线AB的解析式为即；设直线CD的解析式为y=px+q，根据题意，得，解得，故直线CD的解析式为即；故符合题意的方程组为，故选D．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键．10．（2022·辽宁盘锦·八年级期末）函数y＝5x＋a＋1是关于x的正比例函数，则a的值等于___________．【答案】1【分析】一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此可得a+1=0，解出即可．【详解】解：∵函数y=5x+a+1是正比例函数，∴a+1=0，解得：a=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．11．（2022·甘肃·金昌市第五中学八年级期中）将直线向下平移_________个单位长度后得到的直线解析式是．【答案】2【分析】根据一次函数图象上下平移时函数解析式“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将直线向下平移2个单位长度，得到的一次函数解析式为，即．故答案为：2．【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知图象上下平移时，函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键．题组B能力提升练1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（）A．圆的面积S（cm2）与它的半径r（cm）之间的关系B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3C．三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的高h（cm）之间的关系D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系【答案】D【分析】分别列出每个选项的解析式，根据正比例函数的定义判断即可．【详解】解：A选项，S=πr2，故该选项不符合题意；B选项，y=15+5x，故该选项不符合题意；C选项，∵ah=S，∴a=，故该选项不符合题意；D选项，y=60x，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握形如y=kx（k≠0）的函数是正比例函数是解题的关键．2．（2022·广东云浮·八年级期末）对于函数，下列结论正确的是（）A．它的图像必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限C．当时， D．y的值随x值的增大而增大【答案】C【分析】根据一次函数的性质逐一判断即可得出结论．【详解】解：A．当x=1时，y=−3x+6=3，则点不在函数的图象上，所以A选项错误；B．k=−3<0，b=6>0，函数图象经过第一、二、四象限，所以B选项错误；C．当时，所以C选项正确；D．y随x的增大而减少，所以D选项错误．故选C．【点睛】本题考查了一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b>0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．3．（2022·全国八年级专题练习）已知一次函数y=kx1，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小，进行解答即可．【详解】解：∵一次函数y=kx1且y随x的增大而增大，∴k＞0∴它的图象经过一、三、四象限，∴不经过第二象限，故选B．【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与k、b的值有关是解题的关键．4．（2022·陕西·西安三模）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】一次函数y＝kx+b的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程ax+b＝1的解，据此求解即可．【详解】解：∵点（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴关于x的方程kx+b＝1的解是x＝4．故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．5．（2022·陕西韩城·初二期末）若一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案．【解析】解：∵是由的图像向右平移5个单位得到的，∴将一次函数的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0）∴当y=0时，方程的解为x=3，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值等于0的自变量x的取值，还考查了一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．6．（2022·广东中山·八年级期末）若直线与的交点在第一象限，则b的值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【分析】如图，画函数与的图象如下：对于，令则求解当过E时，则此时交点在y轴上，再往上平移，两条直线的交点落在第一象限，从而得答案．【详解】解：如图，画函数与的图象如下：对于，令则∴当过E时，则此时交点在y轴上，再往上平移，两条直线的交点落在第一象限，即此时∴符合题意，故选A【点睛】本题考查的是一次函数的交点位置的问题，利用函数图象判断交点位置是解本题的关键．7．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，直线y=kx+b与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b<1的解集是（

）A．x>0 B．x<0 C．x>1 D．x<1【答案】A【分析】直接利用函数图象法即可得．【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．8．（2022·湖北华一寄宿学校八年级阶段练习）如图，已知一次函数和的的图象交于点（﹣1，2），则不等式组的解集为（）A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1C．﹣4＜x＜﹣1D．﹣3＜x＜﹣1【答案】C【分析】先把点（﹣1，2）代入，求出，解不等式5＞﹣x+1，得x＞﹣4，再由一次函数和的图象交于（﹣1，2），得出的解集为x＜﹣1，进而求出不等式组的解集．【详解】解：∵一次函数的图象过点（﹣1，2），∴1=2，∴，∴=﹣x+1．解不等式5＞﹣x+1，得x＞﹣4，∵一次函数和的图象交于（﹣1，2），∴的解集为x＜﹣1，∴不等式组的解集为﹣4＜x＜﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组．9．（2022·河南郑州·八年级期末）如图所示，一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数，y随x的增大而减小；②函数不经过第四象限；③不等式的解集是．其中正确的是（

）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②【答案】B【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小问中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，a＞0，则a＜0，对于函数y=ax来说，y随x的增大而减小，故①正确；d＞0，则d＜0，则函数y=axd经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故②错误；由axd≥cxb可得ax+b≥cx+d，故不等式axd≥cxb的解集是x≥4，故③正确；故选：B．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2022·吉林八年级阶段练习）已知函数是关于x的一次函数，则m＝______．【答案】【分析】根据一次函数的定义求解即可，形如的函数为一次函数．【详解】解：函数是关于x的一次函数则，解得故答案为：【点睛】此题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义．11．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）将直线L：向下平移3个单位，得到的直线应为______，直线L关于y轴对称的直线为______．【答案】

##y=2+2x

##y=12x【分析】先根据一次函数的平移可求解第一空，然后由直线L可知与x、y轴的交点坐标为，进而设直线L关于y轴对称的直线解析式为，最后利用待定系数法求解即可．【详解】解：由直线L：向下平移3个单位，得到的直线应为；当y=0时，则有，解得：；当x=0时，则有y=1，∴直线L与x、y轴的交点坐标分别为，∴点关于y轴对称的点的坐标为，设直线L关于y轴对称的直线解析式为，∴，解得：，∴直线L关于y轴对称的直线解析式为，故答案为；．【点睛】本题主要考查一次函数的平移及点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握一次函数的平移及点的坐标关于坐标轴对称是解题的关键．12．（2022·河南新乡·八年级期末）已知点，在一次函数的图象上，若，则实数m的取值范围是______．【答案】m＞【分析】由题意可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．【详解】解：∵点P（3，y1），Q（2，y2）在一次函数y=（4m+1）x+2的图象上，且y1＜y2，∴当3＞2时，由题意可知y1＜y2，∴y随x的增大而减小，∴4m+1＜0，解得m＞，故答案为：m＞．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．13．（2022·福建南靖·八年级期中）若正比例函数的函数值y随x的增大而减小，且函数图像上的点到两坐标轴距离相等，则m的值为______________．【答案】【分析】根据函数值y随x的增大而减小，可得出的正负，根据函数图像上的点到两坐标轴距离相等可得出的值．【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小，∴，解得：，∵函数图像上的点到两坐标轴距离相等，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题的关键．14．（2022·河南商丘·八年级期末）已知函数y＝﹣2x+b，当﹣2≤x≤0时，函数y的最大值为﹣3，则b＝_____．【答案】﹣7【分析】根据函数y＝﹣2x+b的性质，得到y随x的增大而减小，则当x＝﹣2时，y＝﹣3，进一步求得b的值．【详解】解：对于函数y＝﹣2x+b，k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∵当﹣2≤x≤0时，函数y的最大值为﹣3，∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，即﹣3＝﹣2×（﹣2）＋b，解得b＝﹣7，故答案为：﹣7【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．15．（2022·内蒙古准格尔旗·八年级期末）若直线经过直线与的交点，则b的值为____________．【答案】5【分析】先求出直线y=x2与直线y=x+4的交点坐标，再代入直线y=2x+b，求出b的值．【详解】解：解方程组，得．∴直线与的交点为（3，1）把（3，1）代入y=2x+b，得：1=2×3+b，解得：b=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．题组C培优拔尖练1．（2022·贵州遵义·一模）定义新运算：．对于函数，下列说法正确的是（

）A．函数的图象经过第二、四象限 B．函数的图象经过点C．y随x的增大而增大 D．函数的图象是双曲线【答案】C【分析】根据新运算的运算方法，得出y与x的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．【详解】解：∵，∴，A．该函数图象位于第一、三象限，故本选项不符合题意；B．当x=1时，y，故本选项不符合题意；C．y随x增大而增大，故本选项符合题意；D．函数的图象是直线，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数图象和性质，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．2．（2022·河南南阳·八年级期末）关于一次函数的图像，下列叙述中：①必经过点（1，2）；②与x轴的交点坐标是（0，）；③过一、三、四象限；④可由平移得到，正确的个数是（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】将代入函数求出的值即可判断①；根据函数图像与轴的交点坐标即可判断②；根据一次函数中的即可判断③；根据一次函数图像的平移规律即可判断④．【详解】解：对于一次函数，当时，，即函数图像经过点，叙述①错误；当时，，即函数图像与轴的交点坐标是，叙述②错误；一次函数中的，则函数图像经过一、三、四象限，叙述③正确；将函数的图像向下平移4个单位长度可得到函数的图像，叙述④正确；综上，正确的个数是2个，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．3．（2022·福建·闽侯县实验中学八年级期中）若点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），当m＜0时，a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＜1 D．a＞1【答案】B【分析】根据题意m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，可得x1﹣x2与y1﹣y2异号，即可得出a的取值范围．【详解】解：∵点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴x1﹣x2与y1﹣y2异号，∴该图象是y随x的增大而减小，∴a＜0．故选：B．【点睛】此题考查了一次函数图像，解题的关键是判断函数的增减性．4．（2022·河南南阳·八年级期中）一次函数，当时，对应的y的值为，则kb的值为（

）A．15 B． C．或12 D．15或【答案】D【分析】一次函数可能是增函数也可能是减函数，分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式．【详解】解：由一次函数的性质知，当时，y随x的增大而增大，所以得，解得：，即；当时，y随x的增大而减小，所以得，解得：即．故选：D．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得函数解析式是解题的关键．5．（2022·福建·厦门市海沧区北附学校八年级期末）某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，如图，其中，，，点，是这两条线段上的点，则正确的结论是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】D【分析】根据一次函数图象的增减性作出判断即可．【详解】解A、当时，y随x的增大先减小后增大，不能比较和的大小，故选项不符合题意；B、当时，y随x的增大而减小，，故选项不符合题意；C、当时，y随x的增大先减小后增大，不能比较和的大小，故选项不符合题意；D、当时，y随x的增大而增大，，故选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查利用函数的增减性比较大小，根据自变量的取值范围找出对应的图象并观察增减性是解答本题的关键．6．（2022·四川成都·八年级期中）下图中，能表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）的大致图象的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据m、n同正，同负，一正一负时进行讨论，然后根据正比例函数和一次函数的图象与性质，进行判断即可．【详解】解：①当mn＞0时，m、n同号，y=mnx过一三象限，同正时，y=mx+n经过一、二、三象限；同负时，y=mx+n过二、三、四象限；②当mn＜0时，m、n异号，y=mnx过二四象限，m＞0，n＜0时，y=mx+n经过一、三、四象限；m＜0，n＞0时，y=mx+n过一、二、四象限；故A正确．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解的关键是熟练掌握，一次函数y=kx+b的图象的四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．7．（2022·安徽合肥·二模）若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=mxn的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=mxn的图象向右平移一个单位得到y=m（x1）n，即可求得一次函数y=m（x1）n的图象与x轴的交点坐标．【详解】解：∵方程的解为x=2，∴当x=2时mx+n=0；∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），∴一次函数y=mxn的图象与x轴的交点为（2，0），∵一次函数y=mxn的图象向右平移一个单位得到y=m（x1）n，∴一次函数y=m（x1）n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值