专题13.3期中期末专项复习之中心对称图形平行四边形二十二大必考点（举一反三）（苏科版）（原卷版）

专题13.3中心对称图形——平行四边形二十二大必考点【苏科版】TOC\o"13"\h\u【考点1格点中利用无刻度直尺作平行四边形】 1【考点2利用平行四边形的判定与性质求面积】 3【考点3利用平行四边形的判定与性质求长度】 4【考点4利用平行四边形的判定与性质求角度】 5【考点5利用平行四边形的判定与性质求最值】 6【考点6利用动点判断平行四边形】 7【考点7平行四边形的判定与性质的实际应用】 9【考点8根据矩形的判定与性质求线段长】 10【考点9根据矩形的判定与性质求角度】 11【考点10根据矩形的判定与性质求面积】 12【考点11矩形与折叠问题】 14【考点12根据菱形的判定与性质求线段长】 15【考点13根据菱形的判定与性质求角度】 16【考点14根据菱形的判定与性质求面积】 18【考点15根据正方形的判定与性质求线段长】 20【考点16根据正方形的判定与性质求角度】 21【考点17根据正方形的判定与性质求面积】 23【考点18中点四边形】 24【考点19特殊四边形的证明】 26【考点20特殊四边形的动点问题】 28【考点21特殊四边形的最值问题】 29【考点22特殊四边形的存在性问题】 31【考点1格点中利用无刻度直尺作平行四边形】【例1】（2022春·吉林长春·八年级校考期末）如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，点A,B在格点上．请根据条件画出符合要求的图形．(1)在图甲中画出以点A为顶点且一边长为5的平行四边形．要求：各顶点均在格点上．(2)在图乙中画出线段AB的中点O．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．【变式11】（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均在网格的格点上．(1)∠BCD是直角吗？请证明你的判断．(2)找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．【变式12】（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在10×10的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点A和点B都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图．(1)图1中，以AB为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6；(2)图2中，以AB为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10．【考点2利用平行四边形的判定与性质求面积】【例2】（2022春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，F是□ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD=2cm2，A．24 B．17 C．18 D．10【变式21】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．作出△ABC共于点A成中心对称的△AB′C′，其中点B对应点为B′，点C对应点为CA．128 B．643 C．64 D．【变式22】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边△AFG和△BDE放在最大的等边△ABC内（如图），DE与FG交于点P，连结AP，FE．欲求△GECA．△APG B．△ADP C．△DFP D．△FEG【变式23】（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=3BG，S▱BEPG=1.5，则【考点3利用平行四边形的判定与性质求长度】【例3】（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，在▱ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（）A．2 B．1 C．3 D．2【变式31】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．【变式32】（2022·广东佛山·石门中学校考一模）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF，CF，∠BFC=90°，若EF∥AB，AB=43【变式33】（2022春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，点E为BC延长线上一点，连接AC、AE，AE交CD于点H，∠DCE的平分线交AE于点G．若AB=2AD=10，点H为CD的中点，HE=6，则A．9 B．97 C．10 D．3【考点4利用平行四边形的判定与性质求角度】【例4】（2022春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，AB=13，点D为AB上一动点，CD⊥AB于D，CD=8，点E在线段CD上，CE=3，连接BE．当BE+AC最小时，∠ACD的度数为（

）A．75° B．60° C．45° D．30°【变式41】（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，在△ABC的BC边的同侧分别作等边△ABD，等边△BCF和等边△ACE，AB＝3，【变式42】（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．(1)求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；(2)过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．【变式43】（2022春·甘肃定西·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，点E是BC边上一点，连接EO并延长交AD边于点F、交CD延长线于点G．OE=OF，AD=BC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．（2）若∠A=62°，∠G=40°，求∠BEG的度数．【考点5利用平行四边形的判定与性质求最值】【例5】（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有A0,3，D5,0两点．将直线l1：y=x向上平移2个单位长度得到直线l2，点B在直线l2上，过点B作直线l1的垂线，垂足为点C，连接AB，BC，【变式51】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP=CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（

）A．22 B．24 C．25 D．26【变式52】（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，已知▱ABCD的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式53】（2022秋·全国·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知四边形AMNB各顶点坐标分别是：A(0,−2)，B(2,2),M(3,a),N(3,b)，且MN=1, a<b，那么四边形AMNB周长的最小值为（A．6+25 B．6+13 C．34+2【考点6利用动点判断平行四边形】【例6】（2022春·山西晋城·八年级统考期末）综合与探究：直线y=x+2与x轴和y轴分别交于点A、B，直线CD与AB交于点C，与y轴交于点D(0,8)，过点C作CE⊥x轴于点E，点E的横坐标为3．(1)求直线CD的解析式；(2)点P是x轴上一动点，过点P(t,0)作x轴垂线分别与直线AB、CD交于点M、N，求线段MN的长（用t表示）；(3)在（2）的条件下，t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．【变式61】（2022春·八年级课时练习）如图在平面直角坐标系中，A−8,0，C0,26，AB∥y轴且AB=24，点P从点A出发，以1个单位长度/s的速度向点B运动；点Q从点C同时出发，以2个单位长度/s的速度向点(1)当四边形BCQP是平行四边形时，求t的值；(2)当PQ=BC时，求t的值；(3)当PQ恰好垂直平分BO时，求t的值．【变式62】（2022秋·山东威海·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点P，Q，E，【变式63】（2022春·湖南长沙·八年级长沙市第二十一中学校考期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点(1)PD =_________，CQ=__________;(用含t的式子表示)(2)当运动时间t为多少秒时，PQ∥(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．【考点7平行四边形的判定与性质的实际应用】【例7】（2022春·八年级课时练习）如图，一块草地的中间有一条弯路，AC∥BD，CE∥DF．请给出一种方案，把道路改直，且草地的种植面积保持不变．【变式71】（2022春·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校期中）村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？【变式72】（2022秋·浙江温州·八年级乐清外国语学校校考期末）某风力发电设备如图1所示，其示意图如图2，已知三个叶片OA，OB，OC均匀地∠AOB=∠BOC=∠COA分布在支点O上，OH垂直地面MN．当光线与地面的夹角为60°，叶片CO与光线平行时，测得叶片影子【变式73】（2022春·江苏·八年级期末）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．(1)若遮阳蓬完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有______米（影子完全落在地面）(2)长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是______．【考点8根据矩形的判定与性质求线段长】【例8】（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，E，F是对角线AC上两点，AE=CF，过点E，F分别作AC的垂线，与边BC分别交于点G，H．若BG=1,CH=4，则EG+FH=（

）A．41 B．34 C．42 【变式81】（2022春·广东珠海·八年级统考期末）四边形ABCD中，AD∥BC，AD与BC之间的距离为4，AB=AD=CD=5，则边BC的长为______．【变式82】（2022春·广西防城港·八年级统考期末）如图，已知平行四边形ABCD，延长AB到E，使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．(1)求证：CD=BE；(2)求证：四边形BECD是矩形；(3)连接AC，若AD=7，CD=2，求AC【变式83】（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．【考点9根据矩形的判定与性质求角度】【例9】（2022春·河南安阳·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE=DF．(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若∠BAE:∠EAD=4:5，求∠EAO的度数．【变式91】（2022春·陕西延安·八年级延安市实验中学校考期中）如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，∠OAD=30°，求∠OAB的度数．【变式92】（2022春·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．【变式93】（2022春·山东聊城·八年级统考期中）在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠EAO=15°，求∠BEO的度数．【考点10根据矩形的判定与性质求面积】【例10】（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM点E，EM=BM，连接DE，若BD=2AB，且DC=5，DN=4，求四边形DEMN的面积．【变式101】（2022春·江西赣州·八年级校联考期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM=BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD=2AB，且AB=5，DN=4，求四边形DEMN的面积．【变式102】（2022春·贵州遵义·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．(1)求证：CP＝AQ；(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．【变式103】（2022春·云南玉溪·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上一点，∠DAE的角平分线AF交CD于点G，交BC的延长线于点F，连接EG，△AGE的面积为S．（1）求证：AE＝EF；（2）若EG⊥AF，试探究线段AE，EC，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若∠AEG＝∠AGD，AB＝12，AD＝9，求S的值．【考点11矩形与折叠问题】【例11】（2022秋·广东肇庆·八年级广东肇庆中学校考期末）已知：如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点E处，已知AB=6cm，BC=10cm，则CF的长是（A．83 B．2 C．52 【变式111】（2022秋·贵州遵义·九年级统考期末）如图，已知矩形ABCD，AB=5，AD=3，矩形GBEF是由矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得到的，点H为CD边上一点，现将四边形ABHD沿BH折叠得到四边形A′BHD′，当点A′恰好落在EFA．175 B．72 C．185【变式112】（2022秋·九年级课时练习）如图，在ΔABC中，AB=AC，直线DE垂直平分AB，把线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处，联结CF、BF，线段AC、BF交于点G，如果CF//AB，那么【变式113】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=5，AD=6，点P是射线AD上一点，将△ABP沿BP折叠得到△A′BP，点A′恰好落在BC的垂直平分线【考点12根据菱形的判定与性质求线段长】【例12】（2022春·江西赣州·八年级统考期末）已知四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点E，F分别是边AD，AB的中点，P为菱形边上的一点，且△PEF为直角三角形，那么BP的长度为______．【变式121】（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=12，则四边形A．12 B．18 C．24 D．30【变式122】（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于12BF的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接（1）求证：四边形ABEF是菱形．（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为16，BF＝4，求AE的长和∠C的度数．【变式123】（2022秋·福建三明·八年级统考期末）已知，在长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=8．将纸片沿对角线BD翻折，点C落在点E处，BE交AD于点F．(1)如图1，连结AE．①求证：△ABF≌②求证：AE∥(2)如图2，将△BDE沿BD翻折回去，则点F正好落在BC边G处，连结FG，求FG【考点13根据菱形的判定与性质求角度】【例13】（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．(1)求证：四边形EBFD为菱形；(2)若∠BAD=105°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．【变式131】（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）问题情境：在数学课外小组活动中，老师要求大家对“菱形的剪拼”问题进行探究．如图1，将边长为4，∠A=45度的菱形纸片ABCD沿着对角线BD剪开，得到△ABD和△B′DC．将△初步探究：（1）“爱心小组”将△B′DC绕点D逆时针旋转，当D再次探究：（2）“勤奋小组”将△B′DC绕点D逆时针旋转至图2，连接AC，BB′深入探究：（3）“创新小组”将△B′DC绕点D逆时针旋转至图3，此时点B，D，B′恰好在一条直线上，延长BA，B′【变式132】（2022春·河北邯郸·八年级校联考期末）已知，四边形ABCO是菱形，延长AO到D点，使OD=OC，连接AC、BO相交于E点，连接CD．（1）求证：∠ACD=90°；（2）过A作AF⊥BC于F点．①已知AD=15，AC=9，求AF的长；②点M是对角线OB上一点，∠BAF=∠D，若△ABM是锐角三角形，求∠BAM的取值范围．【变式133】（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝23，AC，BD相交于点O．(1)求边AB的长；(2)求∠BAC的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．【考点14根据菱形的判定与性质求面积】【例14】（2022春·江苏南通·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°．点D是边AB上的一点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．(1)如图1，当CD⊥AB时，求证：AC=ED；(2)如图2，当D是边AB的中点时，若AB=10，ED=8，求四边形ADCE的面积．【变式141】（2022春·浙江·八年级期末）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，E，F分别为BC，AD的中点，作CG⊥AB于点G，GF的延长线交CD的延长线于点H．（1）求证：四边形ABEF是菱形．（2）当AB=5,BF=8时，①求GH的长．②如图2，CG交BF于点P，记△FGP的面积为S1，△BCP的面积为S2，则【变式142】（2022春·四川成都·八年级统考期末）菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图1，求∠BGD的度数；（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．【变式143】（2022春·山东德州·八年级统考期末）【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=3ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，菱形CEFG的面积是_______．（只填结果）【考点15根据正方形的判定与性质求线段长】【例15】（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4,DE=AF=1，则CG的长是_____．【变式151】（2022春·天津南开·八年级统考期末）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AD，CD上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为________．【变式152】（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）已知正方形ABCD的边长为2，以AD为一边向外作等腰直角三角形ADE，则点E到点B的距离为___________．【变式153】（2022春·河南新乡·八年级统考期末）如图1，在Rt△EAF中，∠A=90°，∠AEF，∠AFE的外角平分线交于点C，过点C分别作直线AB，AD的垂线，B，D(1)【问题发现】∠ECF=______°（直接写出结果，不写解答过程）．(2)【问题探究】①求证：四边形ABCD是正方形．②若AF=DF=4，求BE的长．(3)【问题拓展】如图2，在△PQR中，∠QPR=45°，高PH=4，HR=1，则HQ的长度是______（直接写出结果，不写解答过程）．【考点16根据正方形的判定与性质求角度】【例16】（2022秋·重庆·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．则∠CDF的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°【变式161】（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（

）A．α+β+γ=90° B．α+β−γ=90° C．α−β+γ=90° D．α+2β−γ=90°【变式162】（2022春·全国·八年级期末）如图所示，正方形ABCD的边长为4，点P为对角线BD上一动点，点E在射线BC上．

（1）填空：∠PBC=________度；（2）若点E为BC的中点，连接PE、PC，求PE+PC的最小值；（3）若点E是直线AP与射线BC的交点，当△PCE为等腰三角形时，求∠PEC的度数．【变式163】（2022春·北京海淀·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是CD垂直平分线上的点，点E关于BD的对称点是E'，直线DE与直线BE'交于点F．(1)若点E是CD边的中点，连接AF，则∠FAD＝___°；(2)小明从老师那里了解到，只要点E不在正方形的中心，则直线AF与AD所夹锐角不变．他尝试改变点E的位置，计算相应角度，验证老师的说法．①如图，将点E选在正方形内，且△EAB为等边三角形，求出直线AF与AD所夹锐角的度数；②请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法．我选择___小明的想法；（填“用”或“不用”）并简述求直线AF与AD所夹锐角度数的思路．【考点17根据正方形的判定与性质求面积】【例17】（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的角平分线交于点G，GE⊥BC于点E，GF⊥AC于点F．(1)求证：四边形GECF是正方形；(2)若AC=4，BC=3，求四边形GECF的面积．【变式171】（2022秋·江西南昌·九年级期中）如图，E、F在正方形ABCD的边上，∠EAF=45（1）△ABG是由△ADE旋转而来，旋转中心是什么？旋转角是多少度？（2）求证：GF=EF；（3）若BG=2,BF=3，求正方形ABCD的面积．【变式172】（2022·山东淄博·九年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=13a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=13A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形AnBnCnD【变式173】（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为7；④S正方形ABCD＝8+14．则正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点18中点四边形】【例18】（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）如图，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中点A3，B3，C3，D3……以此类推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中点An，Bn，Cn，Dn，若四边形AnBnCnDn的面积为1532，则nA．5 B．6 C．7 D．8【变式181】（2022春·北京西城·八年级校考期中）四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个推断：①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ都是平行四边形；②若四边形ABCD是平行四边形，则MP与NQ交于点O；③若四边形ABCD是矩形，则四边形MNPQ也是矩形；④若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD也一定是正方形．所有正确推断的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【变式182】（2022春·福建福州·八年级福州华伦中学校考期中）已知：在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，DE=1①连接BG，若BG=5，求AF②设AF=m，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式S=3−12m．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH【变式183】（2022春·浙江·八年级期中）在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、M；（1）如图1，试判断四边形PQMN怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2）：①判断此时四边形PQMN的形状，并证明你的结论；②当AE=6，EB=3，求此时四边形PQMN的周长（结果保留根号）．【考点19特殊四边形的证明】【例19】（2022春·辽宁盘锦·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边BC、AB上，点G在边BA的延长线上，且CE=BF=AG．(1)求证：①DE=DG；②DE⊥DG；(2)尺规作图：以线段DE、DG为边作出正方形DEHG（保留作图痕迹不写作法和证明）；(3)连接（2）中的FH，猜想四边形CEHF的形状，并证明你的猜想；(4)当CECB=1【变式191】（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，这是一张三角形纸片，小红想用这张纸片剪出一个菱形图案，贴在她制作的手抄报，使∠B为菱形的一个内角．(1)请在图中画出一个符合要求的菱形，并简要说明画图步骤．(2)根据你的画图步骤，证明你所画的图形是一个菱形．【变式192】（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知正方形ABCD，E是射线AB上一动点，连接EC，点F在直线CD上，且EF=EC，将EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，过点C作EG的平行线，交射线AD于点H，连接HG．(1)如图1，当点E在AB中点时，D，F重合，请判断四边形(2)如图2，当点E在AB延长线上时，补全图形并回答下列问题：①四边形HCEG的形状是否发生改变，请说明理由；②连接HE，交DC于点M，若MC=5，EF=53，请直接写出ME【变式193】（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（a，m），B（b，0），C（c，0），D（d，n），且BD平分∠ABC，且a，b，c，d，m，n满足关系式d−a−c+b+|m﹣n(1)判断四边形ABCD的形状并证明你的结论．(2)在图1中，若∠ABC＝60°，BD交y轴于点F，点P为线段FD上一点，连接PA，且点E与点B关于y轴对称，连接PE，若PE＝PA，①试求∠APE的度数；②试求PFBF+PD(3)如图2，在（2）的条件下，若PE与CD交于点M，且∠CME＝45°，请直接写出BC+CEBC−CE的值【考点20特殊四边形的动点问题】【例20】（2022春·浙江台州·八年级校联考期中）已知在平面直角坐标系中，四边形ACBO是矩形，A（a，0）、B（0，b）满足a−b+a−22=0，P是对角线AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥(1)求a、b的值．(2)当P点运动时，PE的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值．(3)若∠OPD=45°，求点D的坐标．【变式201】（2022春·湖北十堰·八年级统考期中）已知正方形ABCD，M为射线BD上一动点（M与点B，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD．(1)当点M在线段BD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的关系？请直接写出结果______；(2)如图2，当点M在线段BD的延长线上时（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(3)若正方形AMEF的边长为5，DM=1，求BF的长．【变式202】（2022春·江西赣州·八年级统考期中）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．(1)如图1，连接AF、CE，求AF的长；(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度，若不可能，请说明理由；②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．【变式203】（2022春·辽宁沈阳·八年级东北育才学校校考期中）按要求回答下列问题发现问题如图（1），在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF=45°，易证：EF=DF+BE．（不必证明）(1)类比延伸①如图（2），在正方形ABCD中，如果点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF=45°则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程；②如图（3），如果点E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且∠EAF=45°则EF，BE，DF之间的数量关系是________．（不要求证明）(2)拓展应用：如图（1），若正方形的ABCD边长为6，AE=35，求EF【考点21特殊四边形的最值问题】【例21】（2022秋·广东深圳·八年级校联考期末）如图，在长方形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠B=90°，AB=6，AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．(1)当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；(2)将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在长方形ABCD的内部，延长PB′①证明FA=FP，