专题19圆的求值与证明类必考的选择题精炼

2023年中考数学以三种题型出现必考（难点）压轴题27个小微专题精炼专题19圆的求值与证明类必考的选择题精炼1.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可．∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．∴，OC==13，∴．故选：B．【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键．2.如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由切线的性质得出AC⊥OD，求出∠A＝30°，证出∠ODB＝∠CBD，得出OD∥BC，得出∠C＝∠ADO＝90°，由直角三角形的性质得出∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，得出∠CBD＝30°，再由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝OD，∴tanA＝＝，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×6＝2；故选：A．【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出OD∥BC是解题的关键．3.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，故选：A．【点评】考查正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．4.如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（）A. B.8 C. D.4【答案】A【解析】连接，根据可得为直径，又根据得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出．连接，，，为的直径，，，在中,，．.故选：A．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题关键是掌握公式、定理。5.如图，内接于，CD是的直径，，则（）A.70° B.60° C.50° D.40°【答案】C【解析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．6.如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DEOD=4x．∵是的直径，垂直于弦于点，∴∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵∴，解得∴BC=2OD=2x=2故选：C【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．7.如图，内接于⊙，连接，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB．连接OB，如图，∵∠C=46°，∴∠AOB=2∠C=92°，∴∠OAB+∠OBA=180°92°=88°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=∠OBA=×88°=44°，故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键．8.如图，在中，弦相交于点P，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．，，【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．9.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，计算出即可得到．【详解】∵为直径，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴故选：B．【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．10.如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解．∵PA，PB是的切线，∴，，，则，故选B．【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．11.如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点P，若，则的长为（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】连接，根据，，证出，求出，在中，,，解得、的长度即可求出的长度．【详解】连接，如图所示，∵，∴，∵，∴，∴，∵是的切线，∴，∵，∴，在中，，，∴，，∵，，∴，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键．12.如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案．在中，，，，，点在内且点在外，，即，观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．13.如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，，，，，，，，．【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是，解题关键根据切线性质推出．14.如图，是的切线，B为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（）A.3 B.4 C. D.【答案】C【解析】连接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用＝tan30°，即可求出AB的长度．连接OB，∵OB＝OD，∴△OBD是等腰三角形，∴∠OBD＝∠D，∵∠AOB是△OBD的一个外角，∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，∵是的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵，∴∠A＋∠ABO＝∠A＋2∠D＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OB＝AC＋OC，∵OB＝OC，∴OB＝AC＝3，∵＝tan30°，∴AB＝．故选：C【点睛】此题考查了切线的性质定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，求出∠A＝30°是解决此题的关键．15.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是()A.25° B.35° C.40° D.50°【答案】C【解析】根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．，∠ABC＝25°，，AB是⊙O的直径，，．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．16.如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．如图取中点O，连接．∵是圆O的直径．∴．∵与圆O相切．∴．∵．∴．∵．∴．又∵．∴．∵，，．∴．∴．∵点O是的中点．∴．∴．∴故答案是：1∶2．故选：B．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．17.如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据点是的内心，可得，故①正确；连接BE，CE，可得∠ABC+∠ACB=2（∠CBE+∠BCE），从而得到∠CBE+∠BCE=60°，进而得到∠BEC=120°，故②正确；若点为的中点，无法证明△ABG≌△ACG，则不一定成立，故③错误；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到∠DBE=∠BED，故④正确；即可求解．【详解】∵点是的内心，∴，故①正确；如图，连接BE，CE，∵点是的内心，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，∴∠ABC+∠ACB=2（∠CBE+∠BCE），∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BEC=120°，故②正确；∵点是的内心，∴，∵点为的中点，∴BG=CG，∵AG=AG，无法证明△ABG≌△ACG，∴∠AGB不一定等于∠AGC，即不一定成立，故③错误；∵点是的内心，∴，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∴，∵∠CBD=∠CAD，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，∴，∴∠DBE=∠BED，∴，故④正确；∴正确的有3个．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．18.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含3