高考总复习文数（北师大版）讲义第2章第07节函数的图像

第七节函数的图像考点高考试题考查内容核心素养函数的图像2017·全国卷Ⅰ·T8·5分已知函数解析式判断函数的图像逻辑推理2016·全国卷Ⅰ·T9·5分已知函数解析式判断函数的图像数学运算逻辑推理2016·全国卷Ⅱ·T12·5分函数图像的应用直观想象数学运算逻辑推理2015·全国卷Ⅰ·T12·5分函数图像的对称变换直观想象逻辑推理命题分析本节内容在高考中的考查形式有两种：一种是给出函数解析式判断函数图像；一种是函数图像的应用.1．利用描点法作函数的图像方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．2．利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(eq\a\vs4\al(a＞0，右移a个单位)),\s\do5(eq\a\vs4\al(a＜0，左移|a|个单位))),y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(eq\a\vs4\al(eq\a\vs4\al(b＞0，上移b个单位))),\s\do5(eq\a\vs4\al(eq\a\vs4\al(b＜0，下移|b|个单位))))y＝f(x)＋b.(2)伸缩变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(eq\a\vs4\al(0＜ω＜1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的\f(1,ω)倍)),\s\do5(eq\a\vs4\al(ω＞1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的\f(1,ω)倍)))y＝f(ωx)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(eq\a\vs4\al(A＞1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍)),\s\do5(eq\a\vs4\al(0＜A＜1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍)))y＝Af(x)．(3)对称变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称),\s\do5())y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称),\s\do5())y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称),\s\do5())y＝－f(－x)．(4)翻折变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\do5(将y轴右边的图像翻折到左边去))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图),\s\do5(将x轴下方的图像翻折到上方去))y＝|f(x)|.提醒：(1)辨明三个易误点①图像左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．②图像上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．③要注意一个函数的图像自身对称和两个不同的函数图像对称的区别．(2)会用两种数学思想①数形结合思想借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图像，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等．②分类讨论思想画函数图像时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图像．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到．()(2)函数y＝f(x)的图像关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．()(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同．()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材习题改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是()解析：选C距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故第一段是直线段，途中停留时距离不变，最后一段加速，最后的直线段比第一段下降得快，故应选C．3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋lnx，x≥1，,x3，x<1，))则f(x)的图像为()解析：选A由题意知函数f(x)在R上是增函数，当x＝1时，f(x)＝1，当x＝0时，f(x)＝0，故选A．4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图像过点(－1,4)，则a＝________.解析：因为f(x)＝ax3－2x的图像过点(－1,4)，所以4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.答案：－25．(2018·大同检测)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图像，如图所示．由图像知当a＞0时，方程|x|＝a－x只有一个解．答案：(0，＋∞)作函数的图像[明技法]画函数图像的2种常用方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图像变换法：若函数图像可由某个基本初等函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．[提能力]【典例】分别作出下列函数的图像．(1)y＝2x＋2；(2)y＝eq\f(x＋2,x－1).解：(1)将y＝2x的图像向左平移2个单位．图像如图①所示．(2)因为y＝1＋eq\f(3,x－1)，先作出y＝eq\f(3,x)的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝eq\f(x＋2,x－1)的图像，如图②.①②[母题变式]将本例(2)的函数变为“y＝eq\f(x＋2,x＋3)”，函数的图像如何？解：y＝eq\f(x＋2,x＋3)＝1－eq\f(1,x＋3)，该函数图像可由函数y＝－eq\f(1,x)向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．[刷好题](金榜原创)分别画出下列函数的图像．(1)y＝|lgx|；(2)y＝sin|x|.解：(1)∵y＝|lgx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥1，,－lgx，0＜x＜1.))∴函数y＝|lgx|的图像，如图①.(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图像完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图像关于y轴对称，其图像如图②.函数图像的识别与辨析[明技法]识辨函数图像的入手点(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性．(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．[提能力]【典例】(1)(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝eq\f(sin2x,1－cosx)的部分图像大致为()(2)如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图像大致为()解析：(1)选C令f(x)＝eq\f(sin2x,1－cosx)，∵f(1)＝eq\f(sin2,1－cos1)>0，f(π)＝eq\f(sin2π,1－cosπ)＝0，∴排除选项A，D．由1－cosx≠0得x≠2kπ(k∈Z)，故函数f(x)的定义域关于原点对称．又∵f(－x)＝eq\f(sin－2x,1－cos－x)＝－eq\f(sin2x,1－cosx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，其图像关于原点对称，∴排除选项B．故选C．(2)选D方法一由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为eq\f(1,2)的扇形．因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，则AD＝eq\f(8－2x,2)＝4－x，所以y＝x(4－x)－eq\f(π,4)＝－(x－2)2＋4－eq\f(π,4)(1≤x≤3)，显然该函数的图像是二次函数图像的一部分，且当x＝2时，y＝4－eq\f(π,4)∈(3,4)，故选D．方法二在判断出点P的轨迹后，发现当x＝1时，y＝3－eq\f(π,4)∈(2,3)，故选D．[刷好题]1．下列四个函数中，图像如图所示的只能是()A．y＝x＋lgx B．y＝x－lgxC．y＝－x＋lgx D．y＝－x－lgx解析：选B特殊值法：当x＝1时，由图像知y>0，而C，D中y<0，故排除C，D；又当x＝eq\f(1,10)时，由图像知y>0，而A中y＝eq\f(1,10)＋lgeq\f(1,10)＝－eq\f(9,10)<0，排除A．故选B．2．函数y＝sinx2的图像是()解析：选D排除法：由y＝sinx2为偶函数判断函数图像的对称性，排除A，C；当x＝eq\f(π,2)时，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))2＝sineq\f(π2,4)≠1，排除B．故选D．3．如图，矩形ABCD的周长为4，设AB＝x，AC＝y，则y＝f(x)的大致图像为()解析：选C方法一由题意得y＝eq\r(x2＋2－x2)＝eq\r(2x2－4x＋4)，x∈(0,2)不是一次函数，排除A、B．当x→0时，y→2，故选C．方法二由法一知y＝eq\r(2x－12＋2)在(0,1]上是减函数，在[1,2)上是增函数，且非一次函数，故选C．函数图像的应用[析考情]函数图像的应用是每年高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，考查两图像的交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等，难度中档或偏上．[提能力]命题点1：利用图像研究函数的性质【典例1】(2018·长春质检)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．命题点2：方程的根或函数图像的零点【典例2】已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数为________．解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1.作出y＝f(x)的图像，由图像知直线y＝eq\f(1,2)与函数y＝f(x)的图像有2个公共点；直线y＝1与函数y＝f(x)的图像有3个公共点．故方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0有5个解．答案：5命题点3：利用图像求不等式的解集【典例3】设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，则不等式eq\f(fx－f－x,x)＜0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)解析：选Df(x)为奇函数，所以不等式eq\f(fx－f－x,x)＜0化为eq\f(fx,x)＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图像如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．命题点4：利用函数图像的对称性解题【典例4】(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq\f(x＋1,x)与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)＝()A．0 B．mC．2m D．解析：选B由f(－x)＝2－f(x)可知f(x)的图像关于点(0,1)对称，又易知y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)的图像关于点(0,1)对称，所以两函数图像的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，则x1＋xm＝x2＋xm－1＝…＝0，y1＋ym＝y2＋ym－1＝…＝2，∴eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)＝0×eq\f(m,2)＋2×eq\f(m,2)＝m.故选B．命题点5：利用函数图像求参数的取值范围【典例5】函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x>0，))若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围是________．解析：当x≤0时，f(x)＝2－x－1，当0<x≤1时，－1<x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.当1<x≤2时，－1<x－2≤0，f(x)＝f(x－1)＝f(x－2)＝2－(x－2)－1.故x>0时，f(x)是周期函数，如图，欲使方程f(x)＝x＋a有两解，即函数f(x)的图像与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，则a的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)[悟技法]函数图像应用中的几个问题(1)利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性．(2)有关不等式的问题常常转化为两函数图像的上、下关系来解．(3)有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的