6.3相似图形-2020-2021学年九年级数学下册课堂帮帮帮（苏科版）

相似图形知识点一、相似形 形状相同的图形相似形.1. 至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同；2. 全等形是一种特殊的相似形；3. 相似形与图形的大小、位置无关，与角度和方向也无关.例：如图，已知△ABC的六个元素，其中a、b、c表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中与△ABC不一定相似的图形是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答答】A【解析】甲三角形的两边AC，BC的夹角不一定等于72度，故与△ABC不一定相似的图形，故选此选项正确；乙可以利用两边对应成比例且夹角相等得出相似；丙、丁可以利用两角对应相等得出相似；故选A．知识点二、相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做相似比.1. 相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例；2. 全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是全等多边形；3. 当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置.例：下列说法中，不正确的是（）A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【答答】A【解析】A、所有的菱形都相似，说法错误；B、所有的正方形都相似，说法正确；C、所有的等边三角形都相似，说法正确；D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，说法正确；故选A．巩固练习一．选择题1． 若某个直角三角形的两直角边之比为2：3，则确定了该三角形的（）A．形状 B．周长 C．面积 D．斜边【解答】A【解析】∵直角三角形的两直角边之比为2：3，∴虽不能确定两直角边的值，但能确定其比值，∴能确定该直角三角形的形状，故选A．2． 下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等边三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个直角三角形【解答】A【解析】∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选A．3． 将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（）A．仍是直角三角形 B．一定是锐角三角形 C．可能是钝角三角形 D．一定是钝角三角形【解答】A【解析】∵将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形的三条边与原三角形的三条边对应成比例，∴两三角形相似．又∵原来的三角形是直角三角形，而相似三角形的对应角相等，∴得到的三角形仍是直角三角形．故选A．4． 分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形 B．有一个角为110°的两个等腰三角形 C．有一个角为55°的两个等腰三角形 D．两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形【解答】B【解析】两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；有有一个角为110°的两个等腰三角形一定相似；因为110°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴B一定相似；一个角为55°的两个等腰三角形不一定相似；因为55°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴D不一定相似；故选B．5． 下列各组图形中，是相似图形的是（）A． B． C． D．【解答】D【解析】A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；故选D．6． 下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形 B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形 C．有一个角为40°的两个等腰三角形 D．有一个角为100°的两个等腰三角形【解答】D【解析】两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；故选D．7． 下列说法正确的是（）A．对应边都成比例的多边形相似 B．对应角都相等的多边形相似 C．边数相同的正多边形相似 D．矩形都相似【解答】C【解析】A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；C、边数相同的正多边形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误．故选C．8． 如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【解答】D【解析】设小长方形的长为2，宽为1．则图①中的三角形的三边长分别为：2，22，25，图②中的三角形的三边长分别为：2，13，5，图③中的三角形的三边长分别为：2，25，42图④中的三角形的边长分别为：5，10，5，只有①④的三角形的三边成比例，故选D．9． 下列四组图形中，相似图形为（）A． B． C． D．【解答】B【解析】A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；故选B．10．将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（）A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数【解答】D【解析】将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数，故选D．11．下列图形中，与图相似的是（）A． B． C． D．【解答】D【解析】观察图形知该图象于D相似，故D符合，故选D．12．下列说法中正确的是（）①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】D【解析】①虽然各对应边成比例，但是各对应角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的对应边都成比例，但是它们不一定相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，所以相似．故选D．二．填空题13．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为．【解答】135°．【解析】∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°．故答案为135°．14．已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为．【解答】100°【解析】∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°，∵两个三角形相似，∴另一个三角形的最大内角度数为100°，故答案为100°．15．如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD（填“是”或“不是”）位似图形．【解答】是【解析】∵E、P、F分别是AB、AC、AD的中点∴△AFP∽△ADC，△APE∽△ACB∴AF；AD＝AP：AC，AP；AC＝AE；AB∴AF：AD＝AP：AC＝AE：AB∴答案填：是．16．在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，则这次复印出来的图案的面积是cm2．【解答】18【解析】∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，∴相似比＝1：3，∴面积比＝（1：3）2＝1：9，∴这次复印出来的图案的面积＝2×9＝18（cm2）．故答案为18．17．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的倍．【解答】5【解析】∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，∴扩大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，故答案为5．18．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．【解答】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．19．下列图形中是与相似的．（1）（2）（3）（4）【解答】（1）与（4）【解析】观察图形，（1）与（4）形状相同，这两个图形中的斜线都是连接在一条直线上的三个正方形的相对的顶点，并且其中一个顶点是单独的一个正方形与成一条直线的三个正方形的公共顶点；（3）是成一条直线的三个三角形中两个正方形的相对顶点的连线；（2）是连接在一条直线上的相对的顶点，并且其中一个顶点是单独的一个正方形与成一条直线的三个正方形的不是公共顶点的连线．∴图形中是（1）与（4）相似的．20．如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为．【解答】96【解析】过点D作DG∥BF交AC于点G，如右图所示，∵D为BC边的中点，BC＝6，∴BD＝3，∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，∴AD=A∵BE⊥AD于点E，交AC于F，∴BE=AB⋅BD∵AB＝4，BE=125，∠∴AE=4设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x-12∵EF∥DG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD即165解得，x=30∴EF＝2x-125=故答案为968521．（经典题）挂在墙上的中国地图与课本上的中国地图相似的图形．【解答】是【解析】根据相似图形的定义知，挂在墙上的中国地图与课本上的中国地图形状相同，只是大小不一定相同，∴它们是相似图形．22．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一小题计分．（1）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（2）如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（请填写正确答案的序号）．【解答】（1）15；（2）②【解析】（1）x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，∴x﹣3＝0，x﹣6＝0，∴x1＝3，x2＝6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形，当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6＝15，故答案为15．（2）由题意得，①中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；③，④中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而②中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以②中矩形不是相似多边形，故答案为②．三．解答题23．设四边形ABCD与四边形EFGH是相似图形．且A与E，B与F，C与G，D与H是对应点．已知AB＝10．BC＝8，CD＝8，AD＝6，EF＝8，求四边形EFGH的周长．【解答】25.6【解析】四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝10+8+8+6＝32，∵四边形ABCD与四边形EEGH是相似图形，∴四边形ABCD的周长：四边形EEGH的周长＝AB：EF，∴四边形EEGH的周长=824．如图所示，小芳用画正方形的办法画出下列一组图案，你能按规律继续画下去吗？想想其中有哪些相似图形？【解答】见解析【解析】这组图形的规律是：后面的图案比前面的图案多两个全等的正方形，且多出的这两个正方形的边长等于前面正方形对角线的长．按此规律可以继续画图．其中每两个全等的正方形组成的图形与后面多出的两个全等的正方形形成的图形都是相似的．25．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为m，DE＝15，求△DEF的面积．【解答】（1）观点一正确；观点二不正确；（2）54【解析】（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵64=3∴64∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴ABDE同理ACDF∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：1226．如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似的图形，点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边x、y的长度和角α、β的大小．【解答】x＝6，y＝15，α＝155°，β＝55°【解析】在四边形ABCD中，∠D＝∠D'＝β＝55°，∠A＝α＝360°﹣55°﹣90°﹣60°＝155°，∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴9x∴x＝6，y＝15．27．已知四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似的图形，并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点，已知BC＝4，CD＝3.6，A'B'＝3.3，B'C'＝3，∠B＝75°，∠C＝105°，∠D＝95°，求AB，C'D'的长和∠A'的度数．【解答】AB＝4.4．C′D′＝2.7，∠A′＝85°【解析】在四边形ABCD中，∠A＝360°﹣75°﹣105°﹣95°＝85°，∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴AB：A′B′＝CD：C′D′＝BC：B′C′＝4：3，∠A′＝∠A＝85°，∵A′B′＝3.3，CD＝3.6，∴AB＝4.4．C′D′＝2.7，28．观察下列的图形（a）﹣（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的．与图形（1）相似的有；（填序号）与图形（2）相似的有；与图形（3）相似的有．【解答】见解析【解析】观察比较图形，根据相似形的定义可知：与图形（1）相似的有a；与图形（2）相似的有d；与图形（3）相似的有g．29．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于；②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．