专题07改斜归正妙杀直角类压轴题（原卷版）

专题07改斜归正，妙杀直角类压轴题模型精讲模型精讲改斜归正是一线三角在函数类题中的特殊用法，是指当题目中出现直角三角形，旋转90°时，而直角边非横平竖直时，咱们可以过直角三角形的三顶点，分别作x，y轴的垂线，从而构造一线三直角。当两直角边相等时，可以得到一线三等角之全等模型，当两直角边不相等时，可以得到一线三直线之相似模型，然后利用点线式来解决问题。（点线式秒杀函数类压轴题，后面会有专题为大家详细讲解。）具体作法如下：改斜归正之全等模型如图：11，在平面直角坐标系中，AB=AB,∠BAC=90°。咱们可以把它看作斜直角。解决这类题目，只需要:如图12或13，作万能垂线，实现改斜正。由一线三直角全等模型，易证△ABD≌△ACE，可得，BD=AE,AD=CE，然后表示出：A,B,C,D,E,坐标，利用BD=AE,AD=CE，即可轻松得出方程，妙杀大题。图图11图12图13改斜归正之相似模型如图：21，在平面直角坐标系中，AB≠AC(中考数学经典),∠BAC=90°。咱们一样可以把它看作斜直角。解决这类题目：同样只需要如图22或23，作万能垂线，实现改斜正。由一线三直角全等模型，易证△ABD∽△CAE，可得：AB与全等方法类似，只需要表示出：A,B,C,D,E,坐标，利用ABCA=BDAE图图21图21图23实战训练实战训练1．如图，已知二次函数y=49x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，⊙C的半径为5，P为⊙（1）点B，C的坐标分别为B，C；（2）当P点运动到（﹣1，﹣2）时，判断PB与⊙C的位置关系，并说出理由；（3）是否存在点P，使得△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值＝．2．如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；（2）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标；（3）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，平面直角坐标系中，A（0，4），C（﹣4，0），D是OC中点，E是直线AD上的一动点，以OE为边作正方形OFGE（顺时针标记），连结FC交AE于点H．（1）当D与E重合时，求直线FC解析式；（2）在（1）的条件下，连结OH，求△AOH的面积；（3）设E的横坐标为t，若△HFE与△OAD相似，请求出t的值．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：①点M的坐标，说明理由；②MN+22BN的最小值（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．7．抛物线y＝ax2+114x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为（1）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+128．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（2，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE的最大值以及此时E点的坐标；（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且DEEO=3（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的关系式；（2）当以P，A，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PAC的周长；（3）若点Q是直线BC上方抛物线上一点，当△BCQ为直角三角形时，求出点Q的坐标．12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）、B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．（1）求a与b的值；（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由．13．如图①，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和B（6，0），与y轴交于点C，且OC＝6，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC下方抛物线上一点，过点M作MN⊥BC于点N，若线段MN=528OA（3）如图②，若点P是对称轴右侧抛物线上一点，点Q是x轴下方对称轴上一点，是否存在点P、Q，使得△CPQ为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当∠MPA＝2∠PAC时，求直线AP的函数表达式．（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使以E，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标．（3）如图2，若点E坐标为（2，0），EF⊥x轴交直线BC于点F，将△BEF沿直线BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移动过程中，是否存在使△ACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E′的坐标；若不存在，请说明理由．16．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点A，B两点．与y轴交于C，D为抛物线的顶点．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）点P为抛物线上的点，且△PAC是直角三角形，求点P的坐标．（3）点M是y轴上一动点，点Q为平面