高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数 3.1.1 函数的平均变化率教案 新人教B版选修1-1

高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率教案新人教B版选修1-1课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、教学内容本章为高中数学第三章“导数及其应用”的第一小节“导数”，具体内容为3.1.1“函数的平均变化率”。本节将依据新人教B版选修1-1教材，围绕以下内容进行教学：

1.函数平均变化率的定义及其求法；

2.利用平均变化率探究函数在某一点的瞬时变化率；

3.通过实际例子，理解平均变化率在生活中的应用；

4.掌握利用导数求解函数瞬时变化率的方法；

5.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学内容将严格遵循教材，注重引导学生从实际问题出发，理解导数的基本概念，掌握导数的计算方法，并学会将其应用于实际问题中。二、核心素养目标本节课的核心素养目标致力于提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算能力。通过探究函数平均变化率的概念，学生将能：

1.抽象出函数变化率的数学模型，培养数学抽象素养；

2.通过逻辑推理，理解平均变化率与瞬时变化率之间的关系，发展逻辑推理素养；

3.运用导数求解瞬时变化率，构建数学模型，提高数学建模能力；

4.熟练进行导数的运算，加强数学运算素养；

5.将导数应用于实际问题，培养解决实际问题的能力，体现数学的应用价值。

在教学过程中，注重引导学生主动思考、探索和实践，使他们在掌握导数知识的同时，提升数学学科的核心素养。三、教学难点与重点1.教学重点

（1）理解函数平均变化率的概念。学生需要掌握如何从实际问题中抽象出函数平均变化率的数学表达，以及该表达式的含义。

举例：对于函数f(x)，在区间[x1,x2]上的平均变化率表示为：(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)。

（2）掌握导数的定义及其几何意义。学生需要理解导数表示函数在某一点的瞬时变化率，并能运用导数求解实际问题。

举例：导数f'(x)表示函数f(x)在点x处的瞬时变化率，其几何意义为函数图像在这一点处的切线斜率。

（3）运用导数求解瞬时变化率。学生需要掌握导数的计算方法，并能运用导数求解具体函数在某一点的瞬时变化率。

举例：对于幂函数f(x)=x^n，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。

2.教学难点

（1）从实际问题中抽象出平均变化率的数学表达式。学生往往难以将实际问题中的变化过程转化为数学模型。

解决方法：通过实际案例，引导学生观察、分析和抽象，培养数学建模能力。

（2）理解导数的定义及其几何意义。导数的概念较为抽象，学生可能难以理解瞬时变化率的含义。

解决方法：借助图像、动画等教学手段，直观展示导数的几何意义，帮助学生理解。

（3）导数的计算方法。学生对导数的计算规则掌握不够熟练，容易混淆。

解决方法：总结导数的计算规则，通过典型例题进行讲解和练习，使学生熟练掌握。

（4）将导数应用于实际问题。学生可能不知道如何将导数知识应用于实际问题。

解决方法：设置实际情境，引导学生运用导数求解，培养学生的应用能力。四、教学资源1.软硬件资源

-数学教材（新人教B版选修1-1）

-黑板、粉笔

-多媒体教学设备（投影仪、计算机）

-函数图像绘制软件（如Geogebra、Graphmatica等）

2.课程平台

-学校内部学习管理系统（LMS）

-电子白板

3.信息化资源

-PPT演示文稿

-数学教学视频

-电子教案

-电子版练习题

4.教学手段

-探究式学习

-小组合作学习

-案例分析法

-互动提问

-课后在线讨论

-实际问题情景模拟五、教学实施过程1.课前自主探索

-教师活动：提前在学校内部学习管理系统上发布预习任务，包括导数预习资料和引导性问题。

-学生活动：学生通过阅读教材、预习资料，尝试回答引导性问题，自主探索导数的概念。

-教学方法：采用翻转课堂模式，引导学生自主学习。

-教学手段：利用学校内部学习管理系统，提供电子预习资料。

-教学资源：预习资料、引导性问题。

-作用和目的：培养学生自主学习能力，为课堂学习打下基础，初步理解导数的概念。

2.课中强化技能

-环节一：导入新课

-教师活动：通过PPT展示实际案例，引入平均变化率的概念。

-学生活动：观察案例，思考平均变化率的意义。

-教学方法：案例分析，互动提问。

-教学手段：PPT展示，黑板板书。

-教学资源：实际案例，PPT。

-作用和目的：激发学生兴趣，理解平均变化率的实际意义。

-环节二：探究导数定义

-教师活动：讲解导数的定义，通过函数图像软件展示导数的几何意义。

-学生活动：小组讨论，探索导数的定义及其几何意义。

-教学方法：小组合作，探究式学习。

-教学手段：函数图像软件，黑板板书。

-教学资源：教材，函数图像软件。

-作用和目的：深入理解导数的定义，掌握导数的几何意义。

-环节三：计算导数

-教师活动：讲解导数的计算规则，通过例题演示计算过程。

-学生活动：跟随教师思路，自主练习导数的计算。

-教学方法：讲解示范，练习巩固。

-教学手段：PPT展示，黑板板书。

-教学资源：例题，电子版练习题。

-作用和目的：掌握导数的计算方法，突破难点。

-环节四：应用导数

-教师活动：设置实际情境，引导学生运用导数解决问题。

-学生活动：尝试解决实际问题，展示解题过程。

-教学方法：实际问题情景模拟，互动讨论。

-教学手段：PPT展示，黑板板书。

-教学资源：实际情境题目。

-作用和目的：培养学生应用导数解决实际问题的能力。

3.课后拓展应用

-教师活动：在学校内部学习管理系统上发布拓展练习，提供在线讨论平台。

-学生活动：完成拓展练习，参与在线讨论，巩固所学知识。

-教学方法：课后自主学习，在线讨论。

-教学手段：学校内部学习管理系统。

-教学资源：拓展练习题，在线讨论平台。

-作用和目的：巩固课堂所学，提高学生的问题解决能力，促进知识的内化。六、知识点梳理1.函数平均变化率

-定义：函数在某一区间上的平均变化率表示为该区间内函数值变化与自变量变化的比值。

-表达式：(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

-平均变化率的几何意义：表示函数图像上两点的连线的斜率。

2.导数的定义

-定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的瞬时变化率。

-表达式：f'(x)

-导数的几何意义：函数图像在这一点处的切线斜率。

3.导数的计算规则

-基本规则：幂函数的导数、常数倍函数的导数、和差函数的导数。

-高级规则：乘积函数的导数、商函数的导数、复合函数的导数。

4.导数与函数图像

-导数与函数的单调性：导数为正，函数单调递增；导数为负，函数单调递减。

-导数与函数的极值：导数为零的点可能是函数的极值点。

5.导数的应用

-物理学中的速度与加速度：速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。

-经济学中的边际分析：边际成本、边际收益等概念与导数密切相关。

6.实际问题中的导数

-求解最大值和最小值问题：通过求解导数为零的点，找到函数的极值。

-优化问题：利用导数找到函数的最优解，如最短路径、最大面积等。

7.导数的计算方法

-直接求导：根据导数的定义直接计算。

-导数公式：运用已知的导数公式进行计算。

-链式法则：用于复合函数的导数计算。

8.导数的性质

-线性性质：导数的和等于各部分导数的和。

-乘积法则：两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以其中一个函数。

-商法则：两个函数的商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方。

9.导数在实际问题中的应用

-确定物体的速度和加速度。

-求解曲线的切线方程。

-分析函数的增减性和极值。

-解决最优化问题。七、课后作业1.求函数f(x)=3x^2-2x+1在区间[1,3]上的平均变化率。

答案：(f(3)-f(1))/(3-1)=(27-3)/2=12

2.已知函数g(x)=x^3-4x^2+2x，求g(x)在x=2处的瞬时变化率（导数）。

答案：g'(x)=3x^2-8x+2，代入x=2得到g'(2)=12-16+2=-2

3.求函数h(x)=x^4-6x^2+5在x=1处的切线方程。

答案：h'(x)=4x^3-12x，代入x=1得到h'(1)=-8。切点为(1,0)，所以切线方程为y=-8(x-1)。

4.若物体运动的位置函数s(t)=t^2-3t+2，求物体在t=2秒时的速度。

答案：s'(t)=2t-3，代入t=2得到s'(2)=1m/s。

5.某商品的成本函数C(x)=3x^2+2x+10，其中x为生产数量。求生产数量为20时的边际成本。

答案：C'(x)=6x+2，代入x=20得到C'(20)=122。所以边际成本为122元/件。八、教学反思与改进在本次教学过程中，我重点关注了学生对导数概念的理解和应用能力的培养。通过课后反思，我发现以下几个亮点和需要改进的地方：

1.亮点：

-采用翻转课堂模式，让学生在课前自主探索导数的概念，提高了学生的自主学习能力。

-利用函数图像软件和实际案例，使学生对导数的几何意义和实际应用有了更直观的认识。

-小组合作和互动提问的方式，激发了学生的思考，提高了课堂氛围。

2.需要改进的地方：

-在讲解导数的计算规则时，部分学生对乘积法则和商法则掌握不够熟练，需要加强个别辅导和针对性练习。

-在实际问题中的应用环节，部分学生运用导数解决实际问题的能力较弱，需要在今后的教学中增加此类题目的讲解和练习。

-部分学生对导数的定义理解不够深入，容易与平均变化率混淆，需要通过更多实例和练习来强化理解。

针对上述问题，我制定了以下改进措施：

1.在讲解导数的计算规则时，增加典型例题的数量，并对学生进行分类指导，针对不同水平的学生提供不同难度的题目。

2.在实际问题环节，引入更多与生活相关的案例，让学生在实际情境中运用导数，提高解决问题的能力。

3.加强导数与平均变化率的对比讲解，通过图像、动画等教学手段，帮助学生深入理解导数的定义。

4.课后及时了解学生的学习情况，通过作业、测试等形式，掌握学生对知识点的掌握程度，为下一节课的教学提供参考。

5.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的表达能力和团队合作精神。

在未来的教学中，我将不断调整和优化教学方法，关注学生的个体差异，以提高教学效果。同时，加强对学生的辅导和指导，激发学生的学习兴趣，培养他们运用导数解决实际问题的能力。板书设计①导数基础知识

-函数平均变化率

-表达式：(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

-导数的定义

-表达式：f'(x)

-几何意义：切线斜率

②导数的计算规则

-幂函数导数

-例子：f(x)=x^n，f'(x)=n*x^(n-1)

-基本导数公式

-常数倍、和差、乘积、商的导数

③导数的应用

-物理学：速度与加速度

-经济学：边际分析

-实际问题：最值、优化

板书设计采用简洁明了的框架，突出重点知识点，同时注重艺术性和趣味性。通过颜色、粗细、图形等元素的运用，使板书更具吸引力，激发学生的学习兴趣和主动性。作业布置与反馈1.作业布置：

-基础作业：计算函数f(x)=2x^3-4x^2+3x在x=1处的导数。

-提高作业：已知函数g(x)=x^4-6x^2+9，求g(x)的导数，并判断其在区间[-2,2]上的单调性。

-实践作业：某商品的销售量y与价格x之间的关系为y=-2x^2+8x+6，求销售量最大时的价格。

2.作业反馈：

-及时批改学生的作业，对正确答案给予肯定，对错误答案给出明确的修改建议。

-针对学生普遍存在的问题，进行集中讲解和辅导，帮助学生突破难点。

-对学生在作业中展现出的创新思维和独特见解，给予表扬和鼓励，激发学生的学