高中数学 第2章 推理与证明习题课 苏教版选修1-2

第2章推理与证明习题课课时目标1.进一步理解直接证明和间接证明的思想.2.利用两种证明方法解决简单的实际问题．1．________证明和________证明是数学证明的两类基本证明方法．________法和________法是直接证明中最基本的两种证明方法；__________是间接证明的一种基本方法．2．综合法和分析法经常结合使用；直接证明比较麻烦的结论，我们可以采用__________．一、填空题1．若实数a，b满足0<a<b，且a＋b＝1，则“eq\f(1,2)、2ab、a2＋b2、a”中最大的是__________．2．使不等式eq\r(3)＋eq\r(8)>1＋eq\r(a)成立的正整数a的最大值为________．3．设a，b，c三数成等比数列，而x，y分别为a，b和b，c的等差中项，则eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝________.4．m＝eq\r(a)＋eq\r(a＋5)，n＝eq\r(a＋2)＋eq\r(a＋3)(a≥0)，则m与n的大小关系是________．5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述的个数为________．6．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)且eq\f(π,2)≤θ≤eq\f(3π,4)，则cos2θ＝______.7．在等差数列{an}中，当ar＝as(r≠s)时，{an}必定是常数数列．然而在等比数列{an}中，对某些正整数r、s(r≠s)，当ar＝as时，非常数数列{an}的一个例子是____________．8．若一个圆和一个正方形的周长相等，则圆的面积比正方形的面积________(填“大”或“小”)．二、解答题9．△ABC的三边长a、b、c的倒数成等差数列．求证：B<90°.10．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.能力提升11．如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D12．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6).求证：a，b，c中至少有一个大于0.1．综合法和分析法的证明思路截然相反；分析法既可作为一种证明方法，也可以用来探求解题思路方向．2．直接证明较复杂，可以考虑使用反证法．习题课答案知识梳理1．直接间接综合分析反证法2．反证法作业设计1．a2＋b2解析∵a＋b＝1，a＋b>2eq\r(ab)，∴2ab<eq\f(1,2)，由a2＋b2>eq\f(a＋b2,2)＝eq\f(1,2)，又∵0<a<b，且a＋b＝1，∴a<eq\f(1,2)，∴a2＋b2最大．2．123.24.m<n5．1解析①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．6．－eq\f(7,25)解析∵sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，∴1＋sin2θ＝eq\f(1,25)，∴sin2θ＝－eq\f(24,25).∵eq\f(π,2)≤θ≤eq\f(3π,4)，∴π≤2θ≤eq\f(3π,2).∴cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(7,25).7．an＝(－1)n(答案不惟一)解析设等比数列公比为q，首项为a1，由ar＝as，得a1qr－1＝a1qs－1，即qr－s＝1.∵r≠s，∴r－s≠0.又q≠1，∴q＝－1，则数列{an}可以为an＝(－1)n.8．大解析设正方形和圆的周长都为a，依题意圆的面积S1＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2π)))2，正方形的面积S2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))2.要比较S1与S2的大小，只需比较eq\f(1,π)与eq\f(1,4)的大小，因为π<4，所以圆的面积S1比正方形的面积S2大．9．证明由题意知eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，∴b(a＋c)＝2ac.∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)≥eq\f(2ac－b2,2ac)＝1－eq\f(b2,2ac)＝1－eq\f(b2,ba＋c)＝1－eq\f(b,a＋c)，又△ABC三边长a、b、c满足a＋c>b，∴eq\f(b,a＋c)<1.∴1－eq\f(b,a＋c)>0.∴cosB>0，即B<90°.10．证明(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.11．AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)12．证明假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2z＋\f(π,3)))＋eq\b\