高中数学 4.3.1-3.2 平面图形的面积 简单几何体的体积课时作业 北师大版选修2-2

§3定积分的简单应用3．1平面图形的面积3．2简单几何体的体积课时目标进一步理解定积分的概念和性质，能用定积分求简单的平面曲线围成图形的面积；了解定积分在旋转体体积方面的应用．1．平面图形的面积表示一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则________________________．2．旋转体的体积旋转体可以看作由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体的体积为V＝ʃeq\o\al(b,a)π[f(x)]2dx.一、选择题1．将由y＝cosx，x＝0，x＝π，y＝0所围图形的面积写成定积分形式为()A．ʃeq\o\al(π,0)cosxdx B．ʃeq\f(π,2)0cosxdx＋|ʃπeq\f(π,2)cosxdx|C．ʃeq\o\al(π,0)2sinxdx D．ʃeq\o\al(π,0)2|cosx|dx2．由直线x＝eq\f(1,2)，x＝2，曲线y＝eq\f(1,x)及x轴所围图形的面积为()A.eq\f(15,4) B.eq\f(17,4) C.eq\f(1,2)ln2 D．2ln23．由曲线y＝x3、直线x＝－2、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是()A．ʃeq\o\al(2,－2)x3dx B．|ʃeq\o\al(2,－2)x3dx|C．ʃeq\o\al(2,－2)|x3|dx D．ʃeq\o\al(2,0)x3dx＋ʃeq\o\al(0,－2)x3dx4．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是()A．ʃeq\o\al(2,0)(x2－1)dxB．|ʃeq\o\al(2,0)(x2－1)dx|C．ʃeq\o\al(2,0)|x2－1|dxD．ʃeq\o\al(1,0)(x2－1)dx＋ʃeq\o\al(2,1)(x2－1)dx5．由y＝x2，x＝0和y＝1所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积可以表示为()A．V＝πʃeq\o\al(1,0)(eq\r(y))2dy＝eq\f(π,2)B．V＝πʃeq\o\al(1,0)[12－(x2)2]dx＝eq\f(4,5)πC．V＝πʃeq\o\al(1,0)(x2)2dy＝eq\f(π,5)D．V＝πʃeq\o\al(1,0)(12－x2)dx＝eq\f(4,5)π6．由y＝e－x，x＝0，x＝1围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积为()A.eq\f(π,2)(1－e－2) B.eq\f(π,2)C.eq\f(π,2)(1－e) D.eq\f(π,2)e－2二、填空题7．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．8．直线x＝k平分由y＝x2，y＝0，x＝1所围图形的面积，则k的值为________．9．曲线y＝eq\f(2,x)，直线x＝2，x＝3与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积是________．三、解答题10．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．11.求由曲线y＝4x－x2和直线y＝x所围成的图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积．能力提升12．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,12)13．在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为eq\f(1,12).求切点A的坐标以及切线方程．1．明确利用定积分求平面图形面积的步骤，会将曲线围成的曲边梯形的面积表示成定积分的形式，并能求出面积．求解时一般先画出草图，确定积分变量，求交点确定积分上、下限，再利用定积分求得面积．特别地要注意，当所围成的图形在x轴下方时，求面积需对积分取绝对值．2．对求体积的有关问题，要结合函数的形式写清对应的定积分，然后求出所对应的体积．答案知识梳理1．S＝ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx－ʃeq\o\al(b,a)g(x)dx作业设计1．B[定积分可正，可负，但不论图形在x轴上方还是在x轴下方面积都是正数，故选B.]2．D[所求面积ʃ2eq\f(1,2)eq\f(1,x)dx＝lnx|2eq\f(1,2)＝ln2－lneq\f(1,2)＝2ln2.]3．C4.C5.B6．A[V＝πʃeq\o\al(1,0)(e－x)2dx＝πʃeq\o\al(1,0)e－2xdx＝－eq\f(π,2)e－2x|eq\o\al(1,0)＝eq\f(π,2)(1－e－2)．]7.eq\f(19,3)解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4,y＝5x))，得x＝1或x＝4.所求面积为S＝ʃeq\o\al(1,0)(x2＋4－5x)dx＋ʃeq\o\al(4,1)(5x－x2－4)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋4x－\f(5,2)x2))|eq\o\al(1,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)x2－\f(1,3)x3－4x))|eq\o\al(4,1)＝eq\f(19,3).8.eq\f(\r(3,4),2)解析作平面图形，如右图所示．由题意，得ʃeq\o\al(k,0)x2dx＝eq\f(1,2)ʃeq\o\al(1,0)x2dx即eq\f(1,3)x3|eq\o\al(k,0)＝eq\f(1,6)x3|eq\o\al(1,0).∴eq\f(1,3)k3＝eq\f(1,6)，k＝eq\f(\r(3,4),2).9.eq\f(2,3)π解析V＝ʃeq\o\al(3,2)π·(eq\f(2,x))2dx＝eq\f(－4π,x)|eq\o\al(3,2)＝eq\f(2,3)π.10.解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝x2－2x＋3，))解得x＝0或x＝3.∴S＝ʃeq\o\al(3,0)(x＋3)dx－ʃeq\o\al(3,0)(x2－2x＋3)dx＝ʃeq\o\al(3,0)[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝ʃeq\o\al(3,0)(－x2＋3x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(3,2)x2))|eq\o\al(3,0)＝eq\f(9,2).∴所围成的图形的面积为eq\f(9,2).11．解由y＝4x－x2得顶点P(2,4)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x－x2,y＝x))，得交点Q(3,3)，O(0,0)．如图所示又由上图知V＝π·ʃeq\o\al(3,0)y2dy＋πʃeq\o\al(4,3)(2＋eq\r(4－y))2dy－πʃeq\o\al(4,0)(2－eq\r(4－y))2dy＝π·eq\f(1,3)y3|eq\o\al(3,0)＋πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4y－\f(8,3)4－y\f(3,2)＋4y－\f(1,2)y2))|eq\o\al(4,3)－πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4y＋\f(8,3)4－y\f(3,2)＋4y－\f(1,2)y2))|eq\o\al(4,0)＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,3)＋4＋\f(28,3)＋4－\f(7,2)－16＋\f(16,2)))＝eq\f(27,2)π.12．A[由题可知y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为ʃeq\o\al(1,0)(x2－x3)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,4)x4))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).]13．解由题意可设切点A的坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))，则切线方程为y＝2x0x－xeq\o\al(2,0)，可得切线与x轴的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)，0)).画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－xeq\o\al(2,0)与x轴所围图形如图所示．故S＝S1＋S2＝ʃeq\f(x0,2)0x2dx＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0\f(x0,2