福建省福州市2025届高三年级上册第一次质量检测数学试题（含答案）

福建省福州市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={x|x2-4x-5<0],B={x|0WxW6},则2CB=（）

A.{x|-5<%<6}B.{x|-l<x<6]

C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<5}

2.已知复数z=2i，则|z|=（）

A.誓B.1C.依D.5

3.以坐标原点为顶点，1轴非负半轴为始边的角a,其终边落在直线y=2%上，则（）

A.sincr=B.cosa=咯C.tana=2D.sin2a=-g

4.以y=±3%为渐近线的双曲线可以是（）

A.y-y2=1B.x2-^=1C.=1D.y2_'=i

5.如图，梯形ZBG）的腰CO的中点为E,且记荏=沆而=蔡，则族=（）

C

1—>-*1—>-*—*1-*1—*3~*

几九

A.——乙Tn+2B.—乙Tn+2C.—2m+—乙nD.——乙TIT+—乙n

6.已知圆/+y2+47nx—2my+m=0（meR）与久轴相切，则m=（）

A.1B.0或彳C.0或1Dy

7.已知圆锥S。的底面半径为1,过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥SO截成上、下两部分，若截得小

圆锥的体积为噌兀，则圆锥S。的侧面积为（）

A.47rB.27rC.避兀D.n

8.大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：机）之间的关系可以由p=poe-"近似描述，其中po为标准大气压

强，k为常数.已知海拔为5000科8000机两地的大气压强分别为54kPa,36kp.若测得某地的大气压强为

80kPa,则该地的海拔约为（）（参考数据：lg2=0.301,lg3=0.477）

A.295mB.995mC.2085mD.3025m

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

第1页，共11页

29

9.已知（1—2%）9=a。+arx+a2xH---Fa9x,则（）

A.a0=1B.a±=18

1+39

C.+。2+…+。9=—1D.+。3+。5+。7+。9=

10.如图是函数/(%)=sin(3%+0)的部分图象，贝！J()

|6V3

A.兀是/⑺的一个周期B.f⑨=f得)

C/⑨>/(苧)Dj(x)在[0,3用上恰有6个零点

11.已知函数/'(X),g(x)均为定义在R上的非常值函数，且。(久)为/'(X)的导函数.对V久,yeR,f(x+y)+f

(*-y)=2/1(x)/O)且/1(1)=。则()

A./(0)=0B.f(x)为偶函数

C.g(x)+g(2024-x)=0D.[/(x)]2+[f(l-x)]2=1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知正三棱柱的底面边长为2,高为避，则其体积为.

13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上，且点M到直线久=-2的距离为6,则|MF|=.

14.已知等差数列｛斯｝的前几项和为S“"6=-600,当且仅当几=30时S'取得最小值，则｛斯｝的公差的取值

范围为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

数列｛an｝满足的=2,an+1-3an+2.

(1)证明数列｛斯+1｝为等比数列；

(2)求数列｛an｝的前n项和S“.

16.(本小题12分)

已知A/IBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且2acosC=避6cosc+避c.cosB

(1)求角C；

(2)若a=4力=避，。为4B中点，求CD的长.

17.(本小题12分)

第2页，共11页

如图，在四棱锥S—ABC。中，BC1^^SAB,AD//BC,SA=BC=1,SB=也，Z.SBA=45。.

AD

(1)求证：SA1平面ABCD；

(2)若4。=|,求平面SCO与平面SAB的夹角的余弦值.

18.(本小题12分)

已知椭圆W：/+t=l(a>b>0)的离心率为］且过点(2,0).

(1)求勿的方程；

(2)直线%—/ny+1=0(mH0)交加于4,8两点.

(i)点4关于原点的对称点为C,直线BC的斜率为k,证明：［为定值；

(ii)若“上存在点P使得而，而在荏上的投影向量相等，且-PAB的重心在y轴上，求直线的方程.

19.(本小题12分)

阅读以下材料：

①设(。)为函数/O)的导函数.若/'(X)在区间。单调递增；则称/(%)为区。上的凹函数；若((无)在区间。上

单调递减，则称/(久)为区间。上的凸函数.

②平面直角坐标系中的点P称为函数/(%)的，切点”，当且仅当过点P恰好能作曲线y=/(%)的k条切线,

其中keN.

(1)已知函数/'(x)=a/+4―3(2a+l)x2—x+3.

(i)当aWO时,讨论人(久)的凹凸性；

(九)当a=0时，点「在丫轴右侧且为/0)的“3切点”，求点P的集合；

(2)已知函数g(x)=久e"点Q在y轴左侧且为g(K)的“3切点”，写出点Q的集合(不需要写出求解过程).

第3页，共11页

参考答案

1.D

2.C

3.C

4.B

5.4

6.D

7.B

8.C

9.AD

1Q.ABD

11.BCD

12.3

13.5

14.(24,25)

15.⑴

证明：因为an+i=3册+2,所以册+1+1=3册+3=3(a”+1),

又因为%+1=3HO,所以等青=3,

数列｛a„+1｝是首项为3,公比为3的等比数列.

⑵

解：由(1)知即+1=3九，所以册=3九一1,

所以Sn=(3+32+33+•••+3n)-n=3.占3")f=

16.⑴

因为2acosC=避bcosC+y/^c•cosB,

由正弦定理，得2sirh4cosc=避sinBcosC+斓cosBsinC

=避sin(B+C)

=/sin(7r—Z)

=退sinA,

第4页，共11页

因为0<4<7T,贝!JsinZW0,所以cosC=得,

7T

由于OVC<7T,则C=%;

(2)

因为。为4B中点，故而=*不+而)，

所以而[2=*褊+两2

=J|西2+1函2+：函|函cos£

4426

]]1/3

=彳x34--x16+万x"\/3x4x—

44Z2

31

=彳，

所以CD的长为手.

17.⑴

解法一：在aSAB中，

因为S2=1,ASBA=45°,SB=",

由正弦定理，得急而=鼻，所以/=/16，

所以sin/SAB=1,

因为0°<NS2B<180°,所以NSAB=90°,所以S41AB.

因为BC1平面S4B,S4u平面S4B,所以BC1SA,

又BCnZB=B,BC,ABu平面4BCD

所以SA1平面4BCD；

方法二：证明：设4B=x,在aSAB中，

因为S4=1,ASBA=45°,SB=*,

由余弦定理，得SA?=SB2+AB2-2SB-ABcos^SBA,

所以1=2+%2—2"XCOS45°,即%2一2%+1=0,解得x=1.

所以sa2+AB2=SB2=2,所以saiAB.

因为BC1平面SAB,SAu平面SAB,

所以BC1SA,

又BCCtAB=B,BC,ABu平面4BCD

第5页，共11页

所以$41平面ABCD；

解法三：设=X，在aSAB中,

因为S2=1/SB4=45°,S8=",

由余弦定理，得S4=SB2+AB2-2SB-ABcos^SBA,

所以1—2+x2-2V2XCOS45",即/—2久+1=0,解得x=1.

fiJr^SA2+AB2=SB2=2,所以S41AB.

因为BC1平面S4B,8Cu平面ABCD,

所以平面2BCD_L平面S4B；

又平面4BCDC平面$48=AB,SA1AB,SAu平面S4B,

所以S41平面4BCD；

(2)

解法一：由(1)知S4J.平面力BCD,

y.AB,ADu平面4BCD,所以S41AB,SA1AD,

因为BC1平面SAB,ABu平面$4B,所以BC1AB,

因为4D〃8C,所以4。1AB,

所以SA/D/B两两垂直.

以点A为原点，分别以力D/B/S所在直线为久轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

ADX

则s(0,0,i),CQi,0M&0,0),所以元=(1,1,—1)防=(1,0,-1),

设平面SCD的法向量为可=(x,y,z),

则｛黑；1§'即［2：1§二31KI"取"=2,则可=(2,—1,1),

显然平面S4B的一个法向量雨=(1,0,0),

所以COS标河=注焉=,22+(4)2+12=字

所以平面SCD与平面S4B的夹角的余弦值为乎.

第6页，共11页

解法二：由(1)知SA1平面力BCD,过B作BM〃S4则BM1平面力BCD,

又AB,BCu平面4BCD,所以BM1AB,BM1BC,

因为BC1平面S48,

又ABu平面S4B,所以BC1AB,

所以BMB4BC两两垂直.

以点B为原点，分别以B4BGBM所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则S(L0,l),C(0,l,0),D(iq,0),所以元=(-1,1-1),CD=0),

设平面SCD的法向量为可=(x,y,z),

-X+y

‘可sc--

nJISC,-1-0,

则即coX--y取y=2,则可=(1,2,1),

njlCD,Hl2

显然平面S4B的一个法向量超=(0,1,0),

"所I以〃COSTl1J/,厄4=1二ml；•2|7l2l]=/调+22+l12=—3

所以平面SCO与平面S48的夹角的余弦值为空.

解法三：延长CD、B4交于点用，连接SM,

则平面SCDC平面S4B=SM,

在-SBM中，

由余弦定理，得SM2=SB2+MB2-2SB-MBcos乙SBM,

所以SM2=(")2+22-2X*X2义#=2,所以S"2+SB2=BM2,

所以SM1SB,

第7页，共11页

因为BC1平面SAB,SMu平面乱48,

所以SM1BC,又SM1SB,SBC\BC=B,

所以SM1平面SBC,

又SCu平面SBC,所以SM1SC,

所以NBSC为平面SCD与平面S4B的夹角，

因为BC1平面SAB,SBu平面SAB,

所以BC1SB,

因为SB=",BC=1,得SC=A/3,

所以cos/BSC增=点=*,

所以平面sen与平面SAB的夹角的余弦值为坐.

18.（1）

c1

---

Q.2

Q.2

由题意，得.

b22

-a

所以W的方程为曰+白=1;

⑵

依题意可设点4（一打,一打）,8（＞2，丫2），且打Hx2,

（i）证明：因为点4关于原点的对称点为C,所以C（-Xi，-月）,

2

X?-+=277723

克Z13X^B1

所以2--^-^-

2=-2---

因为点4B：在W上，所以+4314

4723

因为直线4B:x—my+1=0（m70）的斜率为《，直线BC的斜率为k,

所以=合y+yiyl-yj3即K为定值_3.

527H

x2+xixl-xl4,即小刀恒4'

（讥）设弦4B的中点。的坐标为（即,〉。）,

第8页，共11页

点P的坐标为(%p,yp),△P4B的重心G的坐标为OG/G)，

'之+比=1

由43—,得(3租2+4)y2—67ny—9=0,

{x—my+1=0

222

所以/=36m+36(3m+4)=144(m+1)>0,且yi+丫2=37n2+4'

因为APAB的重心G在y轴上，所以—+.+灯=0,

所以孙=-(xi+%2)=-(myi-1+my2-1)=—m(yi+y2)+2=-m-3J；二1+2=

KChir—工1+支24__yi+y23m

所以和_2-3m2+4-yo-2-3m2+4>

因为Q,而在同上的投影向量相等，所以|P4|=|PB|,且PD1AB,

所以直线PD的方程为丫-*=-m(x-xD),

所以yp=yfl-m(xP-xD)=岛L婷缶+金^)=一^^，

所以点

v3m2+43m2+4，

(8、2(9mA2

又点「在W上，所以137n2+/+，3*+/=1,

43

即m2(37n2—1)=0,

又因为m40,所以爪=±乎，所以直线4B的方程为3x±狙丫+3=0.

19.(1)

因为/(%)—ax4+X3-3(2a+l)x2—%+3,

所以/'(%)=4ax3+3x2-6(2a+l)x—1,

令h(%)=4ax3+3/—6(2a+l)x—1,

所以“(%)=12a%2+6x-6(2a4-1)=6(2ax+2a+l)(x—1).

(i)当a=0时，九'(%)=6(久—1),令"(%)NO,解得％Nl；

令h'(x)<0,解得％<1；

第9页，共11页

故人久)为区间［1,+8)上的凹函数，为区间(一8,1］上的凸函数；

当一)<a<0时，令"⑶>0,解得1<%<—竽

qza

令1(%)<0,解得X<1或%>士

故/(%)为区间［L一当上4上的凹函数，为区间(一8,1］和［一。二,+8)上的凸函数；

乙Cv乙(X

当a=-J时，h,(x)=-3(x-l)2<0,故/(久)为区间(一8,+8)上的凸函数；.

q

1

当a<-尚时，令T(x)20,

解得一智'WxWL

令h'(久)<0,解得x>1或x<―?彳:I

故/。)为区间［—卷好,1］上的凹函数，为区间(一8,—粤上工|和［1,+8)上的凸函数；

乙Ct乙CC

综上所述，当a<—亨时，/(久)为区间［—与夏,1］上的凹函数，为区间(—巴—今爱］

和［1,+8)上的凸函数；

当。=一;时，/(%)为区间(-8,+8)上的凸函数；

当一!<a<0时，f(x)为区间［1,一竽耳上的凹函数，为区间(—8,1］和［一然二,+8)

上的凸函数；

当a=0时，/(x)为区间［1,+8)上的凹函数，为区间(-8,”上的凸函数；

(ii)当a=0时，/(x)=%3—3x2—x+3,/'(x)=3x2—6x—1,

故在点(t,f(t))处的切线方程为y=(3t2-6t-l)(x-t)+t3-3t2-t+3.

设PQ2)Q>0)为f(x)的“3切点”，

则关于t的方程〃=(3t2-6t-l)(u-t)+t3-3t2-t+3有三个不同的解，

即关于t的方程u=-2t3+(3+3u)t2-6ut+3-n有三个不同的解，

令F(t)