2025高考数学一轮复习：平面向量及其应用（含解析）

备考2025高考数学一轮知识清单（上好课）专题09平面向量及其应

用（5知识点+4重难点+8方法技巧+6易错易混）（含解析1）专题09平

面向量及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・耀精晓绐

向量：既有方向又有大小的豪）

-（零向量：长度为1个单位长度的向量;

1

O知识点一平面向量的有关概念平行供线）向量：方向相同或相反的向量）|凝s平面向邮概僦ffi|

《相等向量：长度相等且方向相同的向量）

-（相反向量：长度相等且方向相反的向量）

「三角形法则：首尾相接

向量加法一平行四边形法则:共起点

L运算律：交换律、结合律|题型01向量的线性运算|

-f。知识点二向量的线性运算i』=小十

T］几何意义：a-b=a+（-b），

平向量数乘运算律：结合律、第O配律、第二分配律

面

«向量共线定理：非零向量。与决线O存在唯——个实数放使得6=及

向

题型。向量共

｛三点共线定理）1

量。知识点三向量至定理与基本定理题型02基底的概念及判断

平面向量基本定理：如果62是平面内的两个不共线的向量，题型03用已知基底表示向量

及

那么对于平面内任一向量。，有且仅有一对实数否，丸，使＜1=4161+2202

其

应向量的夹角同起点、0*04180°

题型向量数量积的计算

定义：fl-d=|«||6|cos601

用向量的数量积题型02向量垂直的相关问题

。知识点四平面向量的数量积几何意义:数量积。•。等于同与唯《方向上的投影向cose的乘积题型03向量模长的相关问题

题型04向量夹角的相关问题

向量数量积的性质

堂05蟾向宴滇蜘

向量数量积的运算律交换律、分配律、数乘结合律

一向量片口切功气切㈤）

T.加法:＜?+b=（xi+x2M+1y2））

「向量线性运算坐标表示下

T减法:ab=Gi-x2yL

一数乘：加月血卷0）

＜。知识点五平面向量的坐标运算）向量平行的坐标表示_）--（XU2~XM=O）题型01平面向邮坐后示及运算

题型02线段定比分点的应用

H、模长的坐标：露所）

工蟠的坐标：

向量数量积的坐标表示一

T垂直的坐标：马巧+.3L。）

T模长的不等关系：路+.3）区+.r；X/+市）J

口乐盘点・查；层扑上

知识点1向量的有关概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

2、零向量：长度为0的向量，记作0.

3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行.

5、相等向量：长度相等且方向相同的向量.

6、相反向量：长度相等且方向相反的向量.

知识点2向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

交换律：a+b=b+a；

加法求两个向量和的运算

aQ结合律：(Q+B)+C=Q+(B+C)

三角形法则平行四边形法则

求Z与石的相反向量

减法a—Z?=Q+(—b)

的和的运算几矗义

=倒忖，

结合律：；

求实数力与向量）的当义＞0时，花与£的方向相同；

数乘第——分配律：（4+〃）a=4。+〃〃；

积的运算当kO时，花与2的方向相反；

第二分配律：A（a+b）=A,a+Zb

当2=0时，2a=0

知识点3向量共线定理与基本定理

1、向量共线定理：如果〕"（XeR）,则Z〃石，反之，如果Z〃石且石片。，则一定存在唯一的实数2,使£=

2、三点共线定理：平面内三点A、B、。三点共线的充要条件是：存在实数使元=%砺+〃砺，其

中2+〃=1,O为平面内一点。2

3、平面向量基本定理

（1）定义：如果,，豆是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量入有且只有一对

实数使a=4G+4e2

（2）基底：若,最不共线，我们把｛用£｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

（3）对平面向量基本定理的理解

①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解

式是不同的.

②基底给定时，分解形式唯一.是被Z4,最唯一确定的数值.

③后是同一平面内所有向量的一组基底，

则当"与I共线时，4=0；当Z与z共线时，4=o；当£=d时，4=4=0.

④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.

知识点4平面向量的数量积

1、向量的夹角

11UULiuumiii

(1)定义：已知两个非零向量a和匕，作。4=。，OB=b,则NAOB就是向量。与〃的夹角.

(2)范围：设6是向量;与力的夹角，则0。9比180。.

i11111

(3)共线与垂直：若8=0。，则。与匕同向；若0=180。，则。与b反向；若0=90。，则a与〃垂直.

2、平面向量的数量积

1i.rIiTI1i

(1)定义：己知两个非零向量a与匕，它们的夹角为0,则数量MMcosS叫做。与b的数量积(或内积)，

iirriT।ITIii

记作a0，即a.6=|a|McosJ，规定零向量与任一向量的数量积为0,即0/=0.

(2)几何意义：数量积;•)等于)的长度制与力在;的方向上的投影同cose的乘积.

【注意】

il1i1,fl

(1)数量积口力也等于6的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos6的乘积，这两个投影是不同的.

1i

(2)。1在b1方向上的投影也可以写z成j.A*，投影是一个数量，可正可负可为0,取决于0角的范围.

\b\

3、向量数量积的性质

设;，力是两个非零向量，3是单位向量，a是:与之的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：

rrrr4巴,r,

⑴e'a=a'e=\a\\e\cosa=回cosa.

iiii

(2)a-Lb<^>a-b=0.

、110心rriirr|riiri

(3)a，b同向=间；a，b反向=―同国•

特别地工』"2或3正.

II

11Z7.A

(4)若。为口，〃的夹角，贝i]cos8=茶品.

\a\\b\

4、向量数量积的运算律

1i11

(1)a,b=b,a(交换律).

[[/rr\r/r\,

(2)Aa-b=A(a-b\=a-A\b\(结合律).

/Fixrrrrr

(3)(a-^-bj-c=a-c-^-b-c(分配律).

【注意】对于实数mb,c有(a・6)・c=a・S,c),但对于向量〃，b,c而言，(Q・Z?)・c=a・(b・c)不一

定成立，即不满足向量结合律.这是因为(D)：表示一个与c共线的向量，而二•向•"表示一个与a共线

的向量，而〃与c不一定共线，所以(a・b>c=a・(b・c)不一定成立.

知识点5平面向量的坐标运算

1、向量线性运算坐标表示

⑴已知:=（&%）］=（%,%）,则＞+1（％+孙%+%），不一孙必一力）.

结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

（2）若.=（无,y）,则Xy）；

结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

2、向量平行坐标表示：已知〉=（/%）工=（%，＞2），则向量111片6）共线的充要条件是西卜2-三%=0

3、向量数量积的坐标表示

已知非零向量a=（七,乂），〃=（%,%），a与b的夹角为，

结论几何表示坐标表示

模a|=a=+

II

cos^=X^+Y2

夹角cos0-;

m\b\

。，力的充要条件

a-b=0xm+X%=0

rrrr石马+%%＜Ja；+才）（君+及）

a-b与a•b的关系融羽刷

X重点突破・塞分•必将

重难点01平面向量最值或范围问题

1、定义法：①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；②运用基本不等式求其

最值问题；③得出结论。

2、坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；③运

用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。

3、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不

等式的思想、三角函数等得出结论；

4、几何意义法：①结合条件进行向量关系推导；②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；③结

合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。

类型1数量积的最值或范围

【典例1】（2024•四川成都三模）在矩形ABCD中，A3=5,AD=4,点E满足2左=3丽，在平面ABCD

中，动点P满足丽.丽=0，则丽的最大值为（）

A.741+4B.V41-6C.2713+4D.2而-6

冗7T

【典例2】（2024•江西鹰潭•二模）在Rt^ABC中，角AB,C所对应的边为a,》,c,A=：,C=-,c=2,P

62

是AABC外接圆上一点，则无•（西+丽）的最大值是（）

A.4B.2+710C.3D.1+V10

类型2模长的最值或范围

【典例1】（2024•陕西西安・模拟预测）已知向量Z=（租，机），石=（0,2）,则忖+方|的最小值为.

【典例2】（2024•江苏泰州•模拟预测）在平行四边形ABCD中4=45。,42=1,4£>=血，若

Q=+x莅（xeR）,贝的最小值为（）

A.!B.变C.1D.J2

22

类型3向量夹角的最值或范围

【典例1】（2024•广东江门.二模）设向量函=（l,x）,两=（2,x）,则cos〈及，历〉的最小值为.

【典例2］（23-24高三上•山东荷泽•阶段练习）已知向量乙B，满足忖=1,同=4,若对任意模为2的向量入

均有"d+怛同<201,则向量以行的夹角的取值范围为.

类型4线性系数的最值或范围

【典例1】（2024.山西晋中.模拟预测）（多选）在44BC中，。为边AC上一点且满足AQ=］DC,若尸为边

BD上一点,且满足Q=/l湿+〃/，2,〃为正实数，则下列结论正确的是（）

A.M的最小值为1B.由的最大值为1

12

c.；+的最大值为12D.；+的最小值为4

【典例2］（23-24高三下•安徽•阶段练习）已知正方形ABC。的边长为2,中心为。，四个半圆的圆心均为

正方形ABCD各边的中点（如图），若尸在3。上，且衣=4通+〃正，则丸+4的最大值为.

B,

重难点02运用向量表示三角形的重心、垂心、外心、内心

1、常见重心向量式：设。是A4BC的重心，P为平面内任意一点

@OA+~OB+OC^0

②同=|（PX+PB+PC）

③若获=%（屈+就）或加=而+4屈+前），Ae[0,+oo）,则P一定经过三角形的重心

④若方=，（昼+焉）或加=就+2（禹+肃）2e[0,+8）则p一定经过三角形的重心

2、常见垂心向量式：。是A4BC的垂心，则有以下结论：

①初-OB=OB-OC^OC-OA

②|西之+|西2=丽『+।函2=।西2+।函2

③动点尸满足而=+。+|二。J，46（0,+8）,则动点P的轨迹一定通过44BC的垂心

\\AB\cosB\AC\cosCJ

3、常用外心向量式：。是2L4BC的外心，

①I西=\OB\=|oc|^OA2=~OB2=OC2

②画+OB）-AB=（OB+OC）-BC=（OA+OC）-AC=0

③动点P满足加="匹+“1」^口+I4。）,4e（0,+8）,则动点P的轨迹一定通过A4BC的外心.

2\|i4B|cosB\AC\cosCJ

④若@+确•版=（OB+OC）-BC=（OC+OA）-CA0,贝!]。是A4BC的外心.

4、常见内心向量式：P是AABC的内心，

①廊同+\BC\PA+\CA\PB=0（或痴+bPB+cPC=0）

其中a,b,c分另！J是A4BC的三边BC、AC,AB的长，

②布=4（儡+裾）4[0,+8）,贝i]P一定经过三角形的内心。

•CAD______1KR/DA

【典例l】（2024•四川南充三模）已知点P在“BC所在平面内，若可=而-=）=0,

\AC\\AB\\BC\\BA\

则点P是AABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

【典例2]（23-24高三上•全国•专题练习）已知G,O,”在1BC所在平面内，满足G4+SS+玄=。,

|（M|=|OB|=|OCbAHBH=BHCH=CHAH，则点G,O,H依次为AABC的（）

A.重心，外心，内心B.重心、内心,外心

C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

重难点03奔驰定理及其应用

1、奔驰定理：。是AA8C内的一点，且x,瓦5+y,岳+z•方=6,

则SABOC：SACOA：SAAOB=x:y:Z

2、证明过程：已知。是AA3C内的一点，ABOC,△C04,440B的面积分别为2，SB,Sc,

求证：SA-OA+SB,OB+Sc-OC=0.

延长。4与8c边相交于点D,A

BD

m\\—SA-BD_SABOD_S^ABD-SRBOD_也\

SSSS

DCS^ACDLCODLACD-LCODBQJ\

OD—OB+—OC~^0B+~^0C,

BCBCSB+SCSB+SC，_______L_____

Bn(

・.OD_S—OD_SCOD_SBOD+S—OD_SaU

0ASS+

BOAScOABOA^COASB+SC_-T-

丽=一建;市,

--^-OA=-^-OB+-^-OC,)

SB+SCSB+SCSB+SC

所以邑•瓦？+SB,4+SC,反=6.j

(3)奔驰定理推论：x-~0A+y-~0B+z-~0C贝I

①SABOC：SACOA：SAAOB=lXl:\y\-\z\

⑨S—BOC_IxIS“oc_IyISA-OB_IzI

SRABClx+y+zl1SAABCIx+y+zl?SRABCIx+y+zl'

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.

(4)对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向

量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。

【典例1](23-24高三上•江西新余•期末)(多选)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向

量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具

体内容是：已知M是AA5c内一点，ABMC,AAMC,AAWB的面积分别为臬，SB,Sc,且

A.若L:品：Sc=1：1：1,则M为AABC的重心

B.若〃为&4BC的内心，贝l|2C•凉+AC•砺+42.而=0

C.若M为AABC的垂心，3MA+4MB+5MC=Q，则tanNB4C:tanNABC:tanN3C4=3:4:5

D.若4c=45。，ZABC=60°,M为^ABC的外心，则&:=g：2:1

【典例2］（23-24高三上.河北保定•阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为

这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是AABC

内一点，BOC,AAOC,"16®的面积分别为最，SB，SC,贝•醇+SB•砺+Sc•元=0.设。是AABC

内一点，AABC的三个内角分别为A,B,C,^BOC,LAOC,AAOB的面积分别为%,SB,,若

30A+40B+50C=0，则以下命题正确的有（）

A.SA:SB:SC=3:4:5

B.。有可能是AABC的重心

C.若。为AABC的外心，贝!|sinA:sing：sinC=3:4:5

D.若。为"IBC的内心，则AABC为直角三角形

重难点04极化恒等式及其应用

1、极化恒等式：7石=；［.+年一（£_叫

2、平行四边形模式：平行四边形ABC。，。是对角线交点.则显•布=%|AC|2—

3、三角形模式：在△ABC中，设。为BC的中点，则屈=|4。|2-|2。匕

【典例1］（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形

的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，而配。，我们称为极化恒等式.

已知在AABC中，M是BC中点，AM=3,BC=10,则荏.衣=（）

【典例2】（2024高三.全国•专题练习）四边形ABC。中，M是A3上的点，MA=MB=MC=MD=1,

如=90。,若N是线段CO上的动点，丽.福的取值范围是.

法技巧・1g蔡学霸

一、解决向量概念问题的关键点

1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量.

4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.

aaa

5、非零向量"与同的关系：同是〃方向上的单位向量,因此单位向量同与〃方向相同.

6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能.但向量的模是非负实数，可以比较大小.

7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向

量是否也满足条件.

【典例1】（2023•湖南长沙•一模）（多选）下列说法不正确的是（）

A.若a//b，则Z与B的方向相同或者相反

ab

B.若石为非零向量，且同=同，则Z与3共线

C.若al1b，则存在唯一的实数几使得a=Ab

D.若一」是两个单位向量,且国-可=1,则,+q=3

【典例2】（2023高三•全国・专题练习）（多选）下列命题正确的是（）

A.若Z）都是单位向量，则£=九

B.响叫”是“2=的必要不充分条件

C.若0万都为非零向量，则使3+=6成立的条件是Z与否反向共线

\a\\b\

D.若a=B④=c,则H

二、平面向量共线定理的应用

1、证明向量共线：若存在实数%,使1花,贝丘与非零向量B共线；

2、证明三点共线：若存在实数入，使。=4而，旗与:W有公共点A,则A,B,C三点共线；

3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值

【典例1】（2024•浙江.模拟预测）己知向量号,a是平面上两个不共线的单位向量，且荏=a+22,

BC=-3el+2e2,万1=3号一6可，则（）

A.A、B、C三点共线B.A、B、。三点共线

C.A、C、。三点共线D.B、C、。三点共线

【典例2】（2024高三・全国・专题练习）在“IBC中，M,N分别是边BC,AC的中点，线段AM,8N交于点

AD

。，则笔的值为（）

三、平面向量基本定理的实质及解题思路

1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决.

【典例1】（2024•山西吕梁•三模）已知等边"RC的边长为1,点2E分别为的中点，若而=3丽，

贝尼=（）

1—.5—►1—.3—►

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

1―►―►1uua3

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【典例2］（23-24高三下.黑龙江大庆.阶段练习）四边形ABCZ）中，AB=tDC，且丽=4正+〃而，若

四、平面向量数量积的求解方法

1、定义法求平面向量的数量积

（1）方法依据：当已知向量的模和夹角。时，可利用定义法求解，即;力=|：帆COS。

（2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。

2、基底法求平面向量的数量积

（1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表

示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解。

（2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采

用“基底法”求解。

3、坐标法求平面向量的数量积

（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，

1111

即若。=（七,乂），b=（x2,y2）>则。0=%龙2+%%；

（2）适用范围：①己知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面

直角坐标系，使用坐标法求数量积。

【典例1］（2024•云南曲靖•模拟预测）已知向量商=+7,B=2f+3亍，（7,了分别为正交单位向量），则必坂=

（）

A.-1B.1C.6D.-5

【典例2】（2024•安徽芜湖.模拟预测）已知边长为1的正方形ABCD,点E,尸分别是BC,的中点，则

AEEF=（）

五、解决有关垂直问题

两个非零向量垂直的充要条件：@aLba-b=0；②若0=（石,乂），b=（x2,y2），则

11

a_LZ?ox{x2+yry2=0-

【典例1】（2024•全国•高考真题）已知向量商=（0,1）,5=（2,刈,若人方—4M）,则％=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【典例2】（2024•西藏・模拟预测）已知向量£=cos"》in"T]

（2〃+B）_L（a+xB）,则实数％的值是（）

A.—2B.—C.:D.2

22

六、求向量模的常用方法

1、定义法：利用4=扃及层犷』『±2；..+沪把向量的模的运算转化为数量积运算；

2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；

3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余

弦定理等方法求解.

【典例1】（2024•山东荷泽,二模）已知向量a=（-2,1）石=（3,%）,且卜+可=卜-日，则x的值是（）

32

A.-6B.——C.-D.6

23

【典例2】（2024.江西宜春.模拟预测）已知向量。，B满足|西=2,出|=3,a-（a-b）=-l,则悔-5］=（）

A.5B.75C.6D.8

七、平面向量的夹角问题

求解两个非零向量之间的夹角的步骤：

第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积；

第二步，分别求出这两个向量的模；

第三步，根据公式cos。求出这两个向量夹角的余弦值，其中a=（七,/）,

1

/?=（%,%）;

第四步，根据两个向量夹角的范围［0,乃］及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角.

【典例1】（2024.江苏泰州.模拟预测）若£=（2,0）,忖=1,卜一»=返，则乙与乙一行的夹角为（）

【典例2】（2024•河北•模拟预测）平面四边形ABC。中，点E、尸分别为"》,BC的中点,

|cr）|=2|AB|=8,|EF|=5,则cos（而，呵=（）

八、投影向量及其应用

11IL

r人)7r

a^

uuuu11uuunrrr匕

设向量是向量a在向量％上的投影向量，则有A4=\a\cos<a,b>-。ff

人

。

【典例1】（2024山东青岛.二模）已知向量2=（-1,2）,5=（-3,1）,则G在B上的投影向量为（）

311「西、

A.(-1,-)B.(--,1)］也正3M

c,一，一D.10，石,

【典例21（2024.山东荷泽・模拟预测）在平面直角坐标系中，丽=（1,迅），点5在直线1+若y-2=0上,

则而在函上的投影向量为（）

A.(1,73)B.(1,3)

混笏错•联券壮镀

易错点1平面向量的概念模糊，尤其是零向量

点拨：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反

向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。

【典例1]（23-24高三上•全国•专题练习）（多选）下列说法中正确的是（）

A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.单位向量是模为1的向量D.方向相反的两个非零向量必不相等

易错点2忽视两个向量成为基底的条件

点拨：如果£、B是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量之，有且只有一对实数4,

%,使在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习

这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。

【典例1】（2024•上海浦东新•三模）给定平面上的一组向量4、工,则以下四组向量中不能构成平面向量的

基底的是（）

A.2q+e2和q-e?B.q+3e?和e2+3q

C.3q-e,和2e2-6qD.q和q+e?

【典例2]（23-24高三上.福建•阶段练习）（多选）下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是

（）

A.e1=（1,1）,4=（1,2）B.e1=（-1,1）,e2=（-2,2）

C.ex=（1,-2）,e2=（3,6）D.ex=（1,2）,e2=（-3,-4）

易错点3错误使用向量平行的等价条件

点拨：对于2=（玉b=（x2,y2）,a//b\y2-x2yx=0,若是使用。〃石=一,容易忽略o

"~"X2%

这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性。

【典例1】（2024•青海海西•模拟预测）已知向量商=。,-2）,b=（t,\-t）,若％〃九则£=（）

A.-2B.-1C.0D.2

【典例2】（2024•陕西渭南二模）已知向量Z=（-3,-l）,B=（2J）,则“f=2”是“2〃3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

易错点4混淆向量数量积运算和数乘运算的结果

点拨：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开。尤其使用数量积的

运算时不可约公因式。

【典例1］（23-24高三上•江苏扬州•阶段练习）（多选）下列关于向量心b，忑的运算，一定成立的有（）

A.^a+b^-c=a-c+b-cB.^a-b^-c=a-（b-（^

C.无同啊D.|a-Z^l＜|a|+|z）|

【典例2】（2024高三.全国・专题练习）（多选）设日石忑是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命

题中的真命题是（）

A.（日。）1—（不万）b=0B.|—|b1^1＜z—Z?|

c.（珂万一（加5不与e垂直D.（31+2硬3万一