高考数学一轮复习：函数的概念及其表示

专题3.1函数的概念及其表示

【核心素养】

L以常见函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养.

2.考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养.

3.与不等式、方程等相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心

素养.

</

知坎概要/

知识点一函数的概念

函数

两个集合设A,8是两个

A,B非空数集

对应关系如果按照某种确定的对应关系力使对于集合4中的任意一个数x,

在集合B中都有唯一确定的数/U)和它对应

知识点二函数的定义域、值域

(1)在函数y=Ax),尤GA中，了叫做自变量，X的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫

做函数值，函数值的集合［6尤)IxGA｝叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.

知识点三］函数的表示方法

1.函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法.同一个函数可以用不同的方法表示.

2.【易混辨析】

(1)判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同.

(2)从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.

知识点四分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段

函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几

个部分组成，但它表示的是一个函数.

知识点五区间的概念

1.一般区间的表示.

设a,bGR,且a<6,规定如下：

定义名称符号数轴表示

{x\a<x<b}闭区间[a,b]——1---1——.

。b

{x\a<x<b}开区间(。，b)

半开半

[x\a<x<b][a,b)

闭区间

半开半

——i---1——.

{x\a<x<b}(〃，b]ab

闭区间

2.特殊区间的表示.

定义R{x\x>a}{x\x>a}{x\x<a}{x\x<a}

符号(—00,+oo)[a,+oo)(。，+oo)(-oo,a](-oo,a)

3.特别提醒：

(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在

区间内的端点.

(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆.

(3)正确理解“00”：“00”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势.以“一00”和“+oo”为区间的一端

时，这一端点必须用小括号.

Y串”常专题曳刘析/

题型一：函数的概念

【典例分析】

例1-1.(2022秋•上海浦东新•高三上海市川沙中学校考阶段练习)下列四组函数中，表示相同函数的一组是

()

A.，(x)，x|,g(x)=G'

B./(%)=正,g(x)=(A/%)2

C./(x)=--^,g(x)=x+l

x-1

D./(x)=Jx+2•>/x-2,g(x)=-4

例1-2.(2023・全国•校联考模拟预测)映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为

美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用.例如，在新高考中，不同选考科

目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分.下面是某省选

考科目的赋分规则：

等级原始分占比赋分区间

A3%[91,100]

B+79%[81,90]

B16%[71,80]

C+24%[61,70]

C24%[51,60]

D+16%[41,50]

D7%[31,40]

E3%[21,30]

Y-YT-T

转换对应赋分T的公式：入7=容7

其中，Y1,Y2,分别表示原始分y对应等级的原始分区间下限和上限；T1,T2,分别表示原始分对应等级的

赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数）

若小华选考政治的原始分为82,对应等级4且等级A的原始分区间为[81,87],则小华的政治成绩对应的

赋分为（）

A.91B.92C.93D.94

例13（2023・全国•高三专题练习）已知"X）二人’则

〃1）+〃2）+〃3）+L+k2°22）+/出+/（/+L+.熊＞

【规律方法】

函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同.因此判断两个函数是否相同，只需判断定

义域、对应关系是否分别相同.

【变式训练】

变式1-1.【多选题】（2023•全国•高三专题练习）在下列四组函数中，与g（x）不表示同一函数的是（）

A./(x)=x-l,g(x)=--

X+1

I.fx+l,x>-l

B./(x)=x+l,g(x)={

11[-X-1,X<-1

c.”x)=l,g(x)=(x+l)°

D./(x)=x,g(x)=(6)2

变式L2.某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数X与收款数y之间的函数关系，分别

用列表法、图象法、解析法表示出来.

变式1-3./(%)=------a,x£R.

1+X

⑴计算/■5)+/•(1)的值；

⑵计算/(1)+/(2)+/(1)+/(3)+/(1)+/(4)+/(1)的值.

题型二：求函数的定义域

例27(2023・全国•高三专题练习)己知函数y=〃x)的定义域为则函数g(x)=7,：｝)的定义域

o\9

A.--lu(-2,0]B.[-8,-2)U(-2,l]C.(^o,-2)U(-2,3]D.--,-2

例2-2.(2022•北京高考真题)函数/(x)=L+Vi=7的定义域是.

X

例2-3.(2022秋•河南驻马店.高三期中)己知5)的定义域为[2,6],则/(x+1)的定义域为.

【规律方法】

1.已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取

值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.

2.抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数/'(x)的定义域为[a,b\,则复合函数/1(g(x))的定义域由aWg(x)W6求出.

(2)若已知函数F(g(x))的定义域为[a,b],则/'(x)的定义域为g(x)在xd[a,3时的值域.

3.求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解

法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要

用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达.

【变式训练】

变式2-1.(2023・北京•高三统考学业考试)已知函数〃=若y=的图象经过原点，则的

定义域为(

A.[0,+co)B.[-oo,0)

C.[l,+oo)D.[-8,1)

变式22(2023•上海普陀•统考二模)函数y'3--的定义域为

X

变式2-3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数y=/(1+71^)的定义域为｛.X|0<%<1｝,则函数y=/(x)的

定义域为

题型三：求函数的解析式

【典例分析】

例3-1.(2023・广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习)写出一个满足：〃彳+封=〃耳+〃村+2个的

函数解析式为.

例32(2023・辽宁大连•统考三模)已知函数〃力的定义域为R,值域为(0,+少)，且

=r⑺,/&)=2,函数g(x)=/(x)+〃-x)的最小值为2,则二/("!]=()

A.12B.24C.42D.126

例3-3.(2023•全国•高三专题练习)已知二次函数/(x)=o?+区+C5,及ceR)满足：对任意实数了,都有

/(x)>x,〃-2)=0且当xe(l,3)时，有/(无)W：(x+2)2成立.

O

⑴证明：门2)=2；

⑵设g(x)=/(x)X,尤e[0,+8),若g(x)图象上的点都位于直线>="的上方，求实数"2的取值范围.

【规律方法】

1.已知函数类型，用待定系数法求解析式.

2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示.

3.已知/(%)求/[g(x)],或已知/[g(x)]求/(x),用代入法、换元法或配凑法.

4.若/(%)与/(-)或/(-%)满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解.

X

5.应用题求解析式可用待定系数法求解.

【变式训练】

变式3-1.(2023•辽宁•校联考一模)若函数满足“力―x=2〃2—x),则〃3)=()

A.—1B.—C.—D.1

33

变式3-2.(2023•全国•高三专题练习)已知了[-£|=/+*,则函数/(x)=,/(3)=.

变式3-3.(2023・全国•模拟预测)已知/(3")=F，贝U/*■卜.

题型四：求函数的值域

【典例分析】

例4-1.(2023・全国•高三专题练习)y=x+-2x-l的值域为

例42(2023•全国•高三专题练习)函数y=6+的值域为

例4-3.(2023春•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)函数y=0三的最大值为_____.

八5

【规律方法】

函数值域的常见求法：

（1）配方法

配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如网尤）=a［/（x）］2+须x）+c（a#））的函数的值域问题，均可

使用配方法.

（2）数形结合法

若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法.

（3）基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”.（可见上一专题）

（4）利用函数的单调性

①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，

即

若>=段）在［a,句上单调递增，贝仃最小=仙），y最大=加）；

若y=式尤）在［a,句上单调递减，则y最小=/S）,y最大=尬）.

②形如y=ax+b+、dx+c的函数,若ad>0,则用单调性求值域；若ad<0,则用换元法.

③形如尸x+“>0）的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x>0时，函数y=x+5（左

>0）的单调减区间为（0,炳,单调增区间为［#,+oo）.一般地，把函数y=x+&左>0,x>0）叫做对勾函数，

其图象的转折点为（#,2#）,至于尤<0的情况，可根据函数的奇偶性解决.

*（5）导数法

利用导函数求出最值，从而确定值域.

【变式训练】

变式4-1.（2023.宁夏银川・银川一中校考二模）下列函数中，定义域和值域不相同的是（）

、［x-y=m+l

变式42（2023・全国•高三专题练习）已知r=f-2x+4,无，y满足<.、,且—则t的取

［x+y=3/77+3

值范围是.

变式4-3.（2023•全国•高三专题练习）已知函数="—.

X—X+1

⑴求函数"X）的值域；

⑵证明：卜=={x|〃x）=x}；

题型五：分段函数及其应用

【典例分析】

IC若9种3,则”

例5-1.（2021•浙江.统考高考真题）已知。eR,函数/（元）=，

一尤~+2,无W1,/

则市

例5-2.（2022•浙江•统考高考真题）已知函数〃%）=<1,।若当

X-----1,X>1,1

X

时，1</（%）<3,贝峰一。的最大值是

例5-3.（2023■全国•模拟预测）已知函数"X）=max{-x2+2x,-x+i,x-2}.

⑴求〃x）的最小值;

（2）若1对任意xeR恒成立，求上的取值范围.

【总结提升】

1.分段函数求值的解题思路

求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））

的形式时，应从内到外依次求值.

2.解分段函数与方程或不等式问题的策略

求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式.应根据每一段的解析式分别求

解.若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相

应的解析式求解.解得值（范围）后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围.

3.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；

4.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.

【变式训练】

变式5-1.（2023・四川成都・成都七中统考模拟预测）己知函数/（尤）=、。，则/（/（-4））=（）

[X-3x-4,x>0'/

A.-6B.0C.4D.6

变式52（2023・全国•高三专题练习）函数的定义域为R,满足/（x）=2〃x-l）,且当x«0,l]时,

〃力=%（1-%）.若对任意彳€1»,”?],都有不，则加的最大值是（）

A.口B.匕C.

5515

2X-5X>0

变式5-3.（2020.山东・统考高考真题）已知函数/（尤）=9

X2+2x,x<0

⑴求了"⑴]的值；

（2）求川。-1|）<3,求实数。的取值范围.

题型六：根据定义域、值域（最值）求参数

【典例分析】

尤2—〃？（2尤一1）+，/,了42,

例6-1.（2023・湖北十堰•统考二模）已知函数了（元）=当x=2时，/（X）取得最小值,

2H，尤>2,

则机的取值范围为（）.

A.[1,4]B.[2,4]C.[-1,2]D.[-1,1]

-ax+1,x<a,

例62（2022.北京.统考高考真题）设函数〃x）=/.若Ax）存在最小值，则。的一个取值为

（x-2）2,x>a.

;a的最大值为.

例6-3.（2022.河南郑州•郑州外国语学校统考一模）已知函数〃x）=2x,g（x）=^-2左+2（左>0）,若存在

玉e0,1及使得/（石）=8伉）成立,则上的取值范围为.

【规律方法】

已知函数的定义域（值域）求参数问题的解题步骤

（1）调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域、值域（最值）问题转化为方程或不等式的解集问题;

（2）根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围.

【变式训练】

变式6-1.（2023•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学）已知函数〃x）=3x-l的定义域4={2,5同，值域3={14,41,可，

则（）.

A.{2,5}B.{5,14}C.{2,14}D.{1,2}

变式6-2.（2021•全国高一课时练习）已知则函数於）=N+|x-a|的最小值是（）

3

A.1B.CL~\---

4

11

C.a-—D.a-一

24

变式6-3.（2023・北京•高三专题练习）已知函数y=«^工1的定义域为A,且-3eA,则。的取值范围是

一、单选题

1.(2023春•贵州黔东南•高三校考阶段练习)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B=卜|丁=——，则=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0}

2.(2023•广西南宁•南宁三中校考一模)已知函数〃x)=/工》>0，那么-1))=()

A.7B.6C.5D.4

3.(2023春・北京海淀•高三清华附中校考阶段练习)已知函数/(尤)=丁+1,对于任意的xeR,总有()

A.f(x)+f(-尤)=1B./(%)+/(-%)=2

C./(%)-/(-%)=1D./(%)-/(-%)=2

4.(2023・全国•高三专题练习)若函数无)=2的部分图象如图所示,则〃5)=()

ax-T-I-c

5.(2023映西商洛・统考一模)若函数/(可满足：,,6€1<3/1—3-)=2〃4)+〃6),且〃1)=1,/(4)=10,

则4985)=()

A.2953B.2956C.2957D.2960

二、多选题

6.(2022・海南•校联考模拟预测)已知定义在R上的函数，(无)不恒等于零，同时满足/(x+y)=/(x)/(y),

且当尤>0时，/(x)>2022,那么当x<0时，下列结论不正确的为()

A.-1</(x)<0B./(%)<-1

C.f(x)>lD.。<小)〈去

三、填空题

/x+2]>0

7.(2023•山东枣庄•统考模拟预测)已知函数〃》)=2'，则/=.

IX,X&U

8.(2019•江苏高考真题)函数y=,7+6光一丁的定义域是.

9.(2023・全国•高三专题练习)已知k|+5=x,函数y=—%2-2%的值域为

10.(江苏高考真题)已知实数函数/(%)=〈,若/(I—〃)=/(l+a),则。的值为

-x-2a,x>l

\x+2,x<a

11.(2023春・上海•高三校联考阶段练习)已知函数/(%)=21、，若对任意实数b，总存在实数%,

［x-x-\,x>a

使得了(%)=6,则实数。的取值范围是—.

四、解答题

12.(2023・全国•高三专题练习)已知函数丁=/(尤)是定义在R上的周期函数，周期7=5,函数y=/(x)

(TWxWl)是奇函数.又已知y=/(x)在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x=2时函数取

得最小值-5.

⑴证明：/(1)+/(4)=0；

⑵求丁=/5)6€口,4］的解析式；

⑶求y=/(x)在［4,9］上的解析式.

专题3.1函数的概念及其表示

【核心素养】

1.以常见函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养.

2.考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心

素养.

3.与不等式、方程等相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数

学运算的核心素养.

〈一•一•一•一•一•一・r

\痕/知双概要,

知识g一函数的概念

函数

两个集合设A,B是两个

A,B非空数集

对应关系如果按照某种确定的对应关系力使对于集合A中的任意一个数x,

/：AT在集合B中都有唯一确定的数仆:)和它对应

知识点二函数的定义域、值域

(1)在函数xdA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相

对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛心"xGA｝叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.

知识点三函数的表示方法

1.函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法.同一个函数可以用不同的方法

表示.

2.【易混辨析】

(1)判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则

是否相同.

(2)从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.

知识点四分段函数

I」

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这

种函数称为分段函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，

分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

知识点五］区间的概念

1.一般区间的表示.

设a,bGR,且规定如下：

定义名称符号数轴表示

闭区间——l---1——.

{x\a<x<b}[a,b]4b

{x\a<x<b}开区间(a,b)

半开半

[x\a<x<b][a,b)

闭区间

半开半

——1---1——.

[x\a<x<b](a,b]ab

闭区间

2.特殊区间的表示.

定义R[x\x>a][x\x>a]{x\x<a]{x\x<a]

符号(—8,+oo)[a,+oo)(a,+oo)(-oo,a](-co,a)

3.特别提醒：

(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心

圈表示不包括在区间内的端点.

(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆.

(3)正确理解“00”：“00”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势.以“一8”和“十

oo”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.

《一.一・一■一・一■一•一■一■一“一・一・1

询0常考题壑如析;

题型一：函数的概念

【典例分析】

例1-1.(2022秋•上海浦东新•高三上海市川沙中学校考阶段练习)下列四组函数中，表示相

同函数的一组是()

A.f{x)^x\,g{x}=4^

B./(x)=7?,g(x)=(A/X)2

C.f(x)=^-^,g(x)=x+l

x-1

D-f(x)—yJx+2-y/x—2,g(x)—yjx2—4

【答案】A

【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.

【详解】对于A,•."⑺与g(x)定义域均为R,4^=\x\，\/(X)与g(x)为相等函数，A

正确；

对于B,•.•/(X)定义域为R,8(可定义域为[0,+动，\/⑴与g(x)不是相等函数,B错

误；

对于C,•,"(%)定义域为卜|31},g(x)定义域为R,\〃尤)与g(无)不是相等函数，C错

误；

对于D,•."(X)定义域为[2,+8),8(”定义域为(-8,一2]11[2,笆)，\/⑴与g(x)不是相

等函数，D错误.

故选：A.

例1-2.(2023•全国•校联考模拟预测)映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基

础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用.例

如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换

成对应的赋分后再计入总分.下面是某省选考科目的赋分规则：

等级原始分占比赋分区间

A3%[91,100]

B+79%[81,90]

B16%[71,80]

C+24%[61,70]

C24%[51,60]

D+16%[41,50]

D7%[31,40]

E3%[21,30]

Y-YT-T

转换对应赋分T的公式：；T

Y_卜11-71

其中，Y1,%,分别表示原始分y对应等级的原始分区间下限和上限；Ti,T2,分别表示原

始分对应等级的赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数）

若小华选考政治的原始分为82,对应等级A,且等级A的原始分区间为［81,87］,则小华的

政治成绩对应的赋分为（）

A.91B.92C.93D.94

【答案】C

【分析】根据赋分公式，分别代入数据等级A赋分区间［91,100］及原始分区间［81,87］的端点

即可得出结果.

【详解】等级A赋分区间［91,100］,原始分区间为［81,87］,

据赋分公式，得累~告=詈＜，解得T=92.5293.

o2—ol7—91

故选：C.

例1-3.（2023•全国•高三专题练习）已知3（引=京,则

〃l）+〃2）+〃3）+L+〃2022）+/（j+“m+L+/京＞

4043

【答案】

2

【分析】根据函数解析式求出/已），进而可得/（x）+/（3=i,由此可得结果.

XX

1

【详解】解：因为〃加土，所以一（31

1+-1+J

X

所以〃x）+/d）=1X

-----+------=1,

Xl+x1+X

所以〃1)+〃2)+〃3)+-+〃2022)+.(』+/]£|+-+/(圭)

"(l)+〃2)+佃+“3)+佃+L+〃2022)+/(金)

14043

=/(1)+2021=-+2021=-^―

故答案为：等4043

【规律方法】

函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同.因此判断两个函数是否相同,

只需判断定义域、对应关系是否分别相同.

【变式训练】

变式1-1.【多选题】(2023.全国.高三专题练习)在下列四组函数中，/⑴与且⑴不表示同

一函数的是()

A./(x)=x-l,g(x)=--

X+1

B./(x)=.x+l,g(x)={.

11[T—I,尤<一]

C./(x)=l,g(x)=(x+l)。

D./(x)=x,g(x)=(«)2

【答案】ACD

【分析】通过函数的定义域，对应法则是否一致进行判断.

【详解】对于A,“X)的定义域为R,而g(尤)的定义域为{x|xw-l},所以不是同一函数;

对于B,因为xN-L时，/(x)=x+l；x<-l时，/(%)=-x-l；所以/(x),g(x)表示同一函

数；

对于C,『⑺的定义域为R,而g(尤)的定义域为{无卜工-1},所以不是同一函数；

对于D,/□)的定义域为R,而g(x)的定义域为卜旧20},所以不是同一函数；

故选：ACD.

变式1-2.某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数尤与收款数y之间的

函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.

【答案】见解析

【解析】(1)列表法：

x(台)12345678910

y(元)30006000900012000150001800021000240002700030000

（2）图象法：如图所示:

30000

(3)解析法:y=3000x,x£{l,2,3,10).

变式1-3.xdR.

-1+x2

⑴计算的值；

⑵计算/⑴+〃2）+错）+/（3）+错）+/（4）+心的值.

【答案】

【解析】思路分析：（1）将函数的自变量代入计算即可，（2）可以分别将

〃1）,〃2）J（；）J（3）J（；）J（4）J，）的函数值算出再相加，也可以根据待求式中数据

的特征，结合（1）中所得结果求解.

2111

详解：⑴由于/（-）=-—所以/•5）+/•（—）=1.

1+aa\+aa

i2i?24

⑵解法一：因为/(1)=h=5,/(2)=K=W，F

1117

所以/■⑴+〃2)+/(e)+〃3)+/(§)+〃4)+/(N=Q.

解法二：因为4)+片)=1,从而〃2)+/(；)=〃3)+/(；)=〃4)+心=1,

111I21

即〃2)+/(5)+/(3)+/(-)+/(4)+/(-)=3,而〃l)=b=2，

1117

所以〃1)+〃2)+/弓)+〃3)+/(§)+/(4)+/(/=].

题型二：求函数的定义域

例2-1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数y=/(x)的定义域为卜8,1],则函数

g(x)=/(2x+l)的定义域()

x+2

「9\「91

A.--,-2U(-2,0]B.[-8,-2)U(-2,l]C.(.,—2)U(—2,3]D.--,-2

【答案】A

【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于尤的不等式组，由此可解得函数g(尤)

的定义域.

【详解】因为函数y=〃x)的定义域为[-8,1],对于函数g(x)=

则有｛cA，解得-彳4*<-2或-2<xW0.

[x+2/02

因此，函数g("的定义域为-q-21(-2,0].

故选：A.

例2-2.(2022・北京高考真题)函数/(BML+A/T71的定义域是.

X

【答案】(F,0)5。,

【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；

/、11-----—x20

【详解】解：因为〃无)=—+JT7,所以,解得xVl且xwO,

X|XWU

故函数的定义域为(-®,O)u(O』；

故答案为：(Y,O)5。』

例2-3.(2022秋・河南驻马店•高三期中)已知/(x-5)的定义域为[2,6],则/(x+1)的定义

域为.

【答案】[T0]

【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.

【详解[V2<%<6,A-3<x-5<l,

—3<x+1<1,-4-<无<0.

即〃x+l)的定义域为[TO].

故答案为：[T,0]

【规律方法】

1.已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的

定义域的交集.

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层

函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.

2.抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数/"(X)的定义域为[a,b],则复合函数/'(g(x))的定义域由aWg(x)W6求出.

(2)若已知函数Hg(x))的定义域为[a,b\,则f(x)的定义域为g(x)在xC[a,b\时的值域.

3.求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元

二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函

数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达.

【变式训练】

变式2-1.(2023・北京•高三统考学业考试)已知函数，(尤)=>/^.若>=尤)的图象经过

原点，则的定义域为()

A.[0,+oo)B.[ro,0)

C.[l,+oo)D.[-oo,l)

【答案】A

【分析】利用点在函数的图象上及偶次根式有意义即可求解.

【详解】因为函数〃同=而9的图象经过原点，

所以Jo+a=0,解得a=0,

所以函数f(x)的解析式为=«.

要使/(彳)=«有意义，只需要x»0,

所以“X)的定义域为[0,+8).

故选：A.

变式2-2.(2023•上海普陀・统考二模)函数]]的定义域为.

【答案】(一肛0)U

【分析】求函数y=「[的定义域，保证根号下的式子大于等于0,分母不为0即可.

【详解】y口,

「.<x,x>-^x<0

xw0

所以定义域为：(-%。川

故答案为：(-°°，o)U

变式23(2023•全国•高三专题练习)己知函数y=/(l+A/n)的定义域为{xIOVxVl},则

函数V=/(x)的定义域为

【答案】口，2]

【分析】令"=1+Vi=进行换元，根据已知函数的定义求M的范围即可.

【详解】令M=1+x,由。得：—1<—X<00<1—x<1,

所以=+gpi<«<2,

所以，函数y=/(x)的定义域为[1,2].

故答案为：口，2]

题型三：求函数的解析式

【典例分析】

例3-1.(2023・广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习)写出一个满足：

/(%+y)=/(%)+f(y)+2孙的函数解析式为.

【答案】/(x)=x2

【分析】赋值法得到/'(0)=0,/(x)+/(-x)=2x2,求出函数解析式.

【详解】〃x+y)=/(x)+/(y)+2孙中,令x=y=O,解得“0)=0,

令〉=一%得〃x—x)=/(x)+〃-x)-2x2,故/(%)+/(-。=牙,

不妨设/(x)=f,满足要求.

故答案为：/W=x2

例3-2.(2023・辽宁大连•统考三模)已知函数〃x)的定义域为R,值域为(0,+8),且

/(x-y)/(x+y)=r(x)"g]=2,函数g(x)=/(x)+/(—%)的最小值为2,则=

()

A.12B.24C.42D.126

【答案】D

【分析】方法一：采用赋值法及基本不等式可得/(0)=1,从而结合条件可化简得

方法二：特殊函数法由题意不妨设，(力=4,满足条件，依次求函数值即可.

【详解】解：方法一

令x=0,有/(一y)〃y)=r(O),则满足〃f)〃x)=r(O),

又因为“X)+J(t)N2jf(元)/(一力=2〃0),

所以〃0)=1,

因为〃x-y)/(x+y)=r(x),

〃x+y)“X)

所以

6

所以2+4+8+16+32+64=126

k=\

方法二：抽象出特殊函数/(£)=甲，其满足题目要求，从而快速求得答案

=2+4+8+16+32+64=126,

故选：D

例3-3.(2023・全国•高三专题练习)已知二次函数〃尤)=加+乐+。(。,仇cwR)满足：对任

意实数无，都有〃x)2x,/(-2)=0且当》€(1,3)时:有/(x)