人教版九年级数学上册思维特训（十七） 分类讨论思想在圆中的应用

思维特训（十七）分类讨论思想在圆中的应用

方法点津•

分类讨论的数学思想：当面临的问题存在一些不确定因素，解答方法或结论不能给予统

一表述的数学问题.我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决.

具体步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体范围；其次要确定分类标准,

正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类别逐步进行

讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳，综合得出结论.

典题精练•

类型一由点的位置的不确定性引起的分类讨论

当题中给出的某个点的位置不确定时，要考虑到这个点的所有可能位置，进而画出符合

题意的图形并求解.

1.已知。0的半径为5,直线1上有一点P满足P0=5,则直线1与。0的位置关系是

（）

A.相切B.相禺

C.相离或相切D.相切或相交

2.已知点P到。0上的点的最大距离是7cm,最小距离是1cm,则。0的半径是（）

A.4cmB.3cm

C.4cm或3cmD.6cm

3.如图17—1,AB,AC分别与。。相切于点B,C,/A=50°,P是圆上异于B,C的一

动点，则NBPC的度数是（）

图17-1

A.65°B.115°

C.65°或115°D.130°或50°

4.2019•潍坊A,C是半径为3的圆周上两点,B为的中点，以线段BA,BC为邻边作菱

形ABCD,顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）

A.小或2/B.小或2小C.乖或2小D.乖或2小

5.2019•荆州如图17—2,A,B,C是。O上的三点，且四边形OABC是菱形.若D是。

0上异于A,B,C的另一点，则NADC的度数是.

图17-2

6.如图17—3,已知AB是。O的弦，半径OA=2cm,/AOB=120°,点P在。O上(不

与点A,B重合)，当S4POA=S^AOB时，求的长.

图17-3

7.如图17—4,在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是(1,0),(7,0).

对于坐标平面内的一点P.给出如下定义：如果NAPB=45°,则称点P为线段AB的

”等角点”.显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A,B,P三点共圆.

(1)设A,B,P三点所在圆的圆心为C,直接写出点C的坐标和。C的半径.

(2)在y轴的正半轴上是否存在线段AB的“等角点”？如果存在，求出“等角点”的坐

标；如果不存在，请说明理由.

图17-4

类型二由圆的对称性引起的分类讨论

当圆中给出两条弦的长度，但是没有给出图形时，通常根据圆的对称性分两弦在圆心的

同侧和两弦在圆心的两侧两种情况进行讨论.

8.已知。O的直径AB=13,C为。O上的一点，已知CD_LAB,垂足为D,并且CD=

6,求AD的长.

9.在直径为50的。。中，有两条弦AB和CD,AB〃CD,且AB为40.弦CD为48,求

AB与CD之间距离.

类型三由外心与三角形的形状的关系引起的分类讨论

锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心

在斜边的中点处.

10.若点。是AABC的外心，且/BOC=70°,则NBAC的度数为()

A.35°B.110°

C.35°或145°D.35°或140°

11.若点0是等腰三角形ABC的外心，且NBOC=60°,底边BC=2,求^ABC的面

积.

类型四由图形的运动引起的分类讨论

图形的运动问题，要抓住在图形变化过程中几种特殊静态位置的关键要素，从而进行逐

一讨论.

12.[2019•烟台]如图17—5,RtZViBC的斜边AB与量角器的零刻度线恰好重合，点

B与零刻度线的一端重合，ZABC=40°,射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D.若

射线CD将AABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是()

A.40°B.70°C.70°或80°D.80°或140°

图17-5图17-6

13.如图17-6,已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2—3x+3上运动.若。P的半径为

1,点P的坐标为(m,n),当。P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是.

14.如图17-7,平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线AB分别与x轴、y轴相交于

B,A两点.若OA=6厘米，NABO=30°,点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以

点C为圆心作半径为1厘米的。C.点P以2厘米/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P

作直线l〃x轴.若点C与点P同时从点B、点。开始运动.设运动时间为t秒，则在整个

运动过程中直线1与。C相切时t的值为.

图17-7

15.问题情境：老师给出了这样一道题：如图17—8①，已知4ABC是0O的内接三角

形，且AB=AC,P是劣弧BC上的动点，连接PB并延长到点E,连接PC并延长到点F.鹏鹏

同学发现NFPA=NEPA,理由是NABC=NFPA,NACB=NEPA.又因为AB=AC,所以

NABC=NACB,所以NFPA=NEPA.请你说出鹏鹏运用的是圆周角的哪个性质:

深入探究：爱钻研的程程将动点P放到了劣弧AC上，连接CP并延长到点F,如图②所

示，其他条件不变.请你判断NFPA与NEPA之间还相等吗？并证明.

拓展提高：当点P与点C重合，点E与点B重合时，过点P作NFPA=NEPA,如图③

所示，其他条件不变.请你判断射线PF是不是的切线，并说明理由.

图17-8

16.如图17—9,在AABC中,AB=10,AC=8,BC=6,M是AB的中点，点D在线段AC

上，且D是MN的中点,E是AC的中点,NFXAC于点F.设AD=x,MD=y.

⑴求NF；

(2)确定x与y的数量关系;

(3)若。N的半径为AN,那么x取何值时，©N与4ABC的边相切.

图17-9

典题讲评与答案详析

1.D［解析］当P0垂直于直线1时，即圆心0到直线1的距离d=5=r,OO与直线1

相切；

当P0不垂直于直线1时，即圆心0到直线1的距离d<5=r,。。与直线1相交.

故直线1与。O的位置关系是相切或相交.

2.C3.C

4.D［解析］设圆的圆心为O.过点B作。O的直径，连接AC交BO于点E.

为的中点，.-.BD1AC.

(1)如图①.：D恰在该圆直径的三等分点上，

.*.BD=X2X3=2,.*.OD=OB-BD=1.

,四边形ABCD是菱形，；.DE=BD=1,

：.0E=2.

连接0c.

VCE==,

CD=7DE2+CE^=#.

(2)如图②,BD=X2X3=4.

同理可得OD=1,OE=1,DE=2.

连接0C.

VCE==2,

.•.8=。。序+“=2^3

5.60°或120°［解析］如图，连接OB.

,*,四边形OABC是菱形，

・・・AB=OA=OB=BC=OC,

AAAOB,△BOC都是等边三角形，

.\ZA0B=ZB0C=60°,

AZA0C=ZA0B+ZB0C=120°,

・・・NADC=NA0C=60°,NAD，C=180°—NADC=120°.

6.解：VOA=OB,

：.ZOAB=ZOBA.

又・・・NAOB=120°,

：.ZOAB=ZOBA=30°.

如图，延长BO交。O于点Pl.

VOP1=OB,.\SAA0Pl=SAA0B,

,1

此时5尸i=1X（2兀X2）=2兀.

过点Pl作P1P2〃OA交。O于点P2,

此时SAAOP2=SAAOB.

VZA0B=120°,AZAOP1=6O°,

・•・NOP尸2=NAO尸i=60°.

・.,OP1=OP2,•••△0P1P2是等边三角形，

BPZP10P2=60°,

.,.ZB0P2=120°,

.…120X兀义24

=

；•BP2=[so3”-

过点B作BP3〃OA交。O于点P3,此时

SAAOPs=S^AOB-

VZA0B=120°,

：.ZP3BO=60°.

V0P3=0B,

.♦.△0BP3是等边三角形，即NP30B=60°,

综上可得，的长为2口,口或n.

7.解:⑴如图①，在x轴的上方，作以AB为斜边的等腰直角三角形ACB,易知A,B,P

三点在。C上，圆心C的坐标为(4,3),半径为3.

根据对称性可知点C(4,—3)也满足条件.

综上所得，点C的坐标为(4,3)或(4,-3),OC的半径为3.

(2)在y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点”.

如图②所示，当圆心为C(4,3)时，过点C作CDLy轴于点D,则D(0,3),CD=4.

：(DC的半径r=3>4,

OC与y轴相交.

设交点为Pl,P2,此时Pl,P2在y轴的正半轴上，连接CP1,CP2,则CPl=CP2=CA=r

=3.

•・・CD_Ly轴，CD=4,CP1=3,

・・・DP1===DP2,

.\P1(O,3+),P2(0,3-).

即“等角点”的坐标为(0,3+)或(0,3-).

8.解：分两种情况：(1)如图①，当CD靠近点A时，连接OC,则OD===,

135

所以AD=OA—OD=-7—5=4.

(2)如图②，当CD靠近点B时，同理可得OD=,所以AD=OA+OD=+=9.

综上可得,AD的长为4或9.

9.解：分两种情况:(1)如图①所示，当两弦位于圆心的同侧时，过点。作OMLAB于点

M,交CD于点N,连接OB,OC.

VAB//CD,AON±CD.

在RtZXBMO中，OB=25.

由垂径定理，得BM=AB=X40=20,

OM=^/OB2-BM2=AJ252-202=15.

同理可求ON==7,

.*.MN=OM-ON=15-7=8.

(2)如图②所示，当两弦位于圆心的两侧时，同理可得MN=OM+ON=15+7=22.

综上可得,AB与CD之间的距离为8或22.

10.C［解析］⑴当点O在三角形的内部时(如图①所示)，ZBAC=ZBOC=35°；

(2)当点O在三角形的外部时(如图②所示)，

ZBAC=1x(360°-70°)=145°.

综上可得，NBAC的度数为35°或145°.

11.解：如图所示,/

存在两种情况:(1)当4ABC为4A1BC时，连接OB,OC.

:点0是等腰三角形ABC的外心，且/B0C=60°,底边BC=2,OB=OC,

.♦.△OBC为等边三角形，0B=0C=BC=2,0A1XBC,设垂足为D,

；.CD=1,0D==,

.\SAAIBC=|BC-AID=1X2X(2-V3)=2-V3.

(2)当4ABC为4A2BC时，

同理可得OA2=OB=2,OD=,

.,.SAA2BC=|BC-A2D=1X2X(2+V3)=2+V3.

综上可得，AABC的面积为2—或2+.

12.［全品导学号：04402485］D

13.［全品导学号:04402486］3-<m<2或4<m<3+

14.2或或［解析］过点C作CD，x轴于点D.

•.•在Rt^BCD中，ZCBD=30°,.\BC=2CD.

VOA=6,/ABO=30°,

.\AB=12.

在点P向点A运动的过程中，如图①，直线1与。C第一次相切.

由题意，得OP=2t,BC=3t,；.CD=2t—l,

；.3t=2(2t—1),解得t=2.

如图②，当点P到达点A返回点O处时，OC在直线1下方与直线1第二次相切.

由题意，得OP=6—(2t—6)=12—2t,

.\CD=12-2t-l,

.•.3t=2(12-2t-l),

22

解得t=y.

如图③，当点P到达点A返回点O处时，0c在直线1上方与直线1第三次相切.

由题意，得OP=6—(2t—6)=12—2t,BC=3t,

.,.CD=12-2t+l,

；.3t=2(12—2t+l),解得t=.

综上可得，直线1与。C相切时,t的值为2,或.

15.解：问题情境：同弧所对的圆周角相等

深入探究：NFPA与NEPA相等.

证明：在圆内接四边形ABCP中，ZAPC+ZABC=180°,ZAPC+ZFPA=180°,

NABC=/FPA.

,/NABC=ZACB,NACB=ZEPA,

.\ZEPA=ZABC=ZFPA,

即/FPA=/EPA.

拓展提高：射线PF是。O的切线.理由如下：

如图，连接PO并延长，交。O于点D,连接AD.易得NDAP=90°,

；./ADP+NDPA=90°.

VZABC=ZACB,ZACB=ZFPA,ZABC=ZADP,AZFPA=ZADP,

ZFPA+ZDPA=90°,即NDPF=90°.

：DC是。。的直径，射线PF是。。的切线.

16.解：(l)VAB=10,AC=8,BC=6,

；.AB2=AC2+BC2,ZACB=90°.

易得ME是AABC的中位线，

；.ME〃BC,且ME=BC=X6=3,

.\ZAEM=ZACB=90°,AZMEF=90°.

是MN的中点，；.MD=ND.

：NFJ_AC于点F,AZNFE=90°=ZMEF.

在△MED和ANFD中，

/.△MED^ANFD,

；.NF=ME=3.

⑵是AC的中点,AC=8,

；.AE=CE=AC=4,；.DE=x—4.

在