北师大版2024年秋季九年级上册第一次月考数学试卷（含答案）

九年级上学期第一次月考检测卷试卷（北师大版）

（范围：特殊平行四边形一元二次方程）

（满分140分，时间120分钟）

考试须知：

答题前，考生务必在答题纸指定位置上用钢笔或圆珠笔清楚填写相关信息.答题纸与试卷在

试题编号

上是一一对应的，答题时应特别注意，请勿错位.

一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分.每小题只有一个选项符合题意）

1.下列是一元二次方程的是（）

A.2x+l=0B.x1+y-\C.x2+2x+1=0D.x2+—=1

x

2.在四边形ABC。中，.下列说法能使四边形A3CD为矩形的是（）

A.AB//CDB.AD=BCC.ZA=ZBD.NA=/D

3.用配方法解方程炉—4x—i=o时，配方后正确的是（）

A.（x+2）2=3B.（x+2）2=17C.（x-2—5D.（x-2）2=17

4.如图，在平行四边形A3CD中，AB=4,BC=6,将线段A3水平向右平移。个单位长度得到线段

ER,若四边形ECDR为菱形时，则。的值为（）

5.下列命题中，真命题是（）

A.顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形

B.顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形

C.顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形

D.顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形

6.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程必一10》+根=。的两个实数根，且其面积为

11,则该菱形的边长为（

第1页/共6页

A.V3B.2A/3C.714D.2714

7.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的

两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方

程是（）

A.x2+6x+5=0B.X2-7X+10=0

C.X2-5X+2=0D.X2-6X-10=0

8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9,0）,点C的坐标为（0,3）,以OA,OC为边作矩形

OABC.动点E,尸分别从点O,B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿。4,向终点A,C移

二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）

9.方程/=4尤的解

10.如图，正方形A5CD的对角线AC,BD交于点、O,P为边BC上一点、,且5P=。3,则NCOP的度

数为__________.

11.关于尤的一元二次方程（瓶-2）必+4%+2=0有两个实数根，则相的取值范围是.

12.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率

为.

13.如图，矩形A3CD的对角线AC、3。相交于点。，过点。作，AC交AD于点£,若A5=6,

3C=8,则AE=.

第2页/共6页

14.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知NA5C=60。，则阴影部分的面积是.

,11c

15.若关于x的一元二次方程/+2》+夕=0两根为毛、9，且一+—=3,则0的值为.

石X2

16.如图，在RtaABC中，NA4c=90°,且A3=6,AC=8,点。是斜边BC上的一个动点，过点。

分别作DMSAB于点M,DN上AC于点、N,连接MN,点。为MN的中点，则线段A。的最小值为

三、解答题(本大题共9小题，共64分，解答时应写出文字说明或演算步骤.)

17.解方程:

(1)x(x+2)=2+x；

⑵3X2-6X-1=0.

18.如图，在平行四边形A3CD中，E为线段CD的中点，连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,

连接DR,ZACF=90°.

(1)求证：四边形ACED是矩形；

(2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积.

第3页/共6页

19.已知关于x的一元二次方程d-(m+2)x+m-l=0.

(1)求证：无论加取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两个实数根为和％2，且X：+考=9,求机的值.

20.如图，矩形A3CD中，点。是对角线AC的中点，过点。的直线分别交A。、BC边于点

E、F,AF=AE.

(1)求证：四边形AFCE是菱形；

(2)若3c=8,A3=6,求EF的长.

21.某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取

了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天

可多售出2件.

(1)若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？

(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

22.如图，平行四边形A3CD中，AE.CT分别是ZBA。、N3CD的平分线，且E、R分别在边

BC、A。上，AE=AF.

(1)求证：四边形AECE是菱形；

(2)若NA5C=60。，口43后的面积等于46，求平行线A3与OC间的距离.

23.Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC=6,动点尸从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速

度向点C作匀速运动，到达点C停止运动.设运动时间为，秒

第4页/共6页

B\Bi

CCQ

图1

7

(1)如图1,过点尸作PDLAC,交于。，若△P8C与△及⑦的面积和是△A3C的面积的一，求f的

9

值;

(2)点。在射线PC上，且PQ=2AP,以线段PQ为边向上作正方形PQNM.在运动过程中，若设正方

形尸QW与△A3C重叠部分的面积为8,求f的值.

24.如图，AC是正方形ABCO的对角线，AD=8,E是AC的中点，动点尸从点A出发，沿AB方向以每

秒1个单位的速度向终点2运动，同时动点。从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点

C,再沿CD方向向终点。运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF,设点尸运动的时间为f秒(0<t

<8)

(1)当f=l时，试求PE的长；

(2)当点尸恰好落在线段上时，求2月的长；

(3)在整个运动过程中，当口PEQ尸为菱形时，求f的值.

25.探究

AOB

图4

(1)发现：如图1,在平面内，已知□A的半径为r,且AB=a,尸为DA上一动点，连接PB,易得PB

的最大值为,最小值为;(用含/•的代数式表示)

第5页/共6页

(2)应用：①如图2,在矩形A5CD中，AB=6,AD=4,E为边中点，尸为A3边上一动点，沿

EF将△AER翻折得到△「环，连接尸3,则PB的最小值为；

②如图3,点P为线段AB外一动点，分别以P4PB为直角边,作等腰RtZVLPC和等腰连

接BC、AD.若AB=7,AP=372＞求AO的最大值；

(3)拓展：如图4,已知以AB为直径的半圆。，C为弧A3上一点，S.ZABC=60°,P为弧BC上任

意一点，COJLCP交AP于D若A3=6,则5。的最小值为.

第6页/共6页

九年级2024-2025上学期第一次月考检测卷试卷（北师大版）

（范围：特殊平行四边形一元二次方程）

（满分140分，时间120分钟）

考试须知：

答题前，考生务必在答题纸指定位置上用钢笔或圆珠笔清楚填写相关信息.答题纸与试卷在

试题编号

上是一一对应的，答题时应特别注意，请勿错位.

一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分.每小题只有一个选项符合题意）

1.下列是一元二次方程的是（）

A.2x+l=0B.x2+y=lC.x2+2x+l=0D.x2+—=1

x

【答案】C

【解析】

【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此

逐项判断即可.

【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意；

B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；

C中方程是一元二次方程，符合题意；

D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键.

2.在四边形A3CD中，AD//BC,AB=CD.下列说法能使四边形A3CD为矩形的是（）

A.AB//CDB.AD=BCC.ZA=ZBD.ZA=ZD

【答案】C

【解析】

【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可.

【详解】A：•••AB〃CD,AD//BC,AB=CD

・・.A3CD为平行四边形而非矩形

故A不符合题意

B：•e•AD=BC,AD//BC,AB=CD

...A3CD为平行四边形而非矩形

第1页/共29页

故B不符合题意

C：•••AD//BC

:.ZA+ZB=18Q°

ZA=ZB

：.NA=ZB=90°

•/AB=CD

：.AB//CD

，四边形A3CD为矩形

故C符合题意

D：•••AD//BC

:.ZA+ZB=180°

VZA=ZD

ZD+4=180°

，A3CD不是平行四边形也不是矩形

故D不符合题意

故选：C.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识

并灵活运用是解题的关键.

3.用配方法解方程Y—4x-1=0时，配方后正确的是()

A.(x+2)2=3B.(x+2)2=17C.(x-2尸=5D.(x-2)2=17

【答案】C

【解析】

【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上4,即可求解.

【详解】解：X2-4X-1=0

移项得，x2-4x=1

两边同时加上4,BPx2-4x+4=5

(x—=5,

故选：C.

第2页/共29页

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键.

4.如图，在平行四边形A3CD中，AB=4,BC=6,将线段A3水平向右平移。个单位长度得到线段

EF,若四边形ECDE为菱形时，则。的值为（）

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据平行四边形的性质得到CD=A3=4,然后根据菱形的性质得到EC=CD=4,然后

求解即可.

【详解】：四边形A3CD是平行四边形，

CD=AB=4,

•.•四边形ECDE为菱形，

EC=CD=4,

5c=6,

BE=BC-CE=2,

a=2.

故选：B.

【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

5.下列命题中，真命题是（）

A.顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形

B.顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形

C.顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形

D.顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可.

【详解】解：如图：

第3页/共29页

观察图形：E,£G,H分别为AC,AB,BD,C。的中点，根据中位线定理：

EF//BC,GH//BC,EF=GH=-BC,EH//AD,GF//AD,EH=FG=-AD,

22

四边形EFGH是平行四边形；

A、顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形，原命题为假命题，不符合题意；

B、..•等腰梯形的对角线相等，即：当AD=3C时，

EF=FG,

.••四边形ERGH为菱形；

顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为真命题，符合题意；

C、当AD上3c时，贝U：EFLFG,

NERG=90°,

.••四边形ERG”为矩形；

.••顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形，原命题为假命题，不符合题意；

D、当AD=3C时，则：EF=FG,

.••四边形EEG”为菱形；

...顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为假命题，不符合题意.

故答案选：B.

【点睛】本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关

键.

6.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程必一10》+根=。的两个实数根，且其面积为

11,则该菱形的边长为（

第4页/共29页

A.V3B.2A/3C.714D.2V14

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到。+人=10,根据菱形的面积得到。。=22,利用勾股

定理以及完全平方公式计算可得答案.

【详解】解：设方程10x+根=0的两根分别为a,b,

a+b=lQ,

■：a,b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11,

—ab=11,即ab=22,

2

:菱形对角线垂直且互相平分，

•••该菱形的边长为+Z?)2-2ab

-V102-2x22=V14,故C正确.

2

故选：C.

【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出

。+6=10是解题的关键.

7.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的

两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方

程是（）

A.r+6x+5=0B.X2-7X+10=0

C.X2-5X+2=0D.%2—6X-10=0

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中玉+为=7,玉%=10,逐项

分析判断，即可求解.

【详解】解：：小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1；

X]+%2=6+1=7,

又•.•小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5.

第5页/共29页

/.%1%2=10

A.%2+6%+5=0中，%1+x2=-6,西无2=5，故该选项不符合题意；

B.必一7%+10=0中，玉+%=7,再々=10,故该选项符合题意；

C.12一5》+2=0中，%+%2=5,西马=2,故该选项不符合题意；

D.――6%-10=0中，玉+九2=6,=-10,故该选项不符合题意；

故选：B.

8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9,0）,点C的坐标为（0,3）,以OA,OC为边作矩形

OABC.动点E,尸分别从点O,B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿。4,5c向终点A,C移

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，得出E（4,0）,厂（5,3）,勾股定理求得环=而，AC=3710-即可求解.

本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得瓦口的坐标是解题的关键.

•.•点A的坐标为（9,0）,点C的坐标为（0,3）,以。4,OC为边作矩形。4BC.

OA=BC=9,OC=AB=3,

B（9,3）,AC=V32+92=3A/10,

依题意，OE=4x1=4,BF=4x1=4,

第6页/共29页

AE=9-4=5,则E（4,0）,

：.CF=BC-BF=9-4=5,

；•EF=^（5-4）2+（3-0）2=V10，

AACEF=3710x710=30.

故选：A.

二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）

9.方程3=4x的解

【答案】尸0或尸4

【解析】

【分析】先移项，使方程右边为0,再提公因式x,然后根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为

0.”进行求解.

【详解】解：原方程变为

x2-4x=0

x（x-4）=0

解得xi=0,X2=4,

故答案为：x=0或x=4.

【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键.

10.如图，正方形A3CD的对角线AC,BD交于点、0,尸为边5c上一点，且5P=05,则NCOP的度

数为.

【答案】22.5°##22.5度

【解析】

【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形A3CD是正方形，可得NBOC=90°,ZOBC=45°,再

根据5尸=05,即可求出NCOP的度数.

【详解】解：1•四边形A3CD是正方形，

第7页/共29页

ZBOC=90°,Z<9BC=45°,

­.•BP=OB,

ZBOP=ZBPO,

ZBOP=ZBPO=（180°-45°）+2=67.5°,

ZCOP=90°-67.5°=22.5°.

故答案为：22.5°.

11.关于X的一元二次方程（m-2）必+4》+2=0有两个实数根，则根的取值范围是.

【答案】m〈4且根W2

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程ak+^x+cuO（。*0,a,b,c为常数）的定义以及根的判别式

A=〃—4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当A〉0时，方程有两个不相等的实

数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当八＜0时，方程没有实数根.

根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程（根—2卜2+4%+2=0有实数根

A=Z?2-4ac=42-4x（加一2）x220且加一2w0,

解得根44且根w2,

故答案为：加W4且小w2.

12.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率

为.

【答案】25%

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为％,根据原价每盒48元，经过两次降

价后每盒27元，列出方程进行求解即可.

【详解】解：设每次降价的百分率为工,

由题意，得：48（1—X）2=27,

17

解得：%[=—=25%,%2=—（舍去）；

44

故答案为：25%.

13.如图，矩形A3CD的对角线AC、3。相交于点。，过点。作，AC交AD于点E,若A5=6,

第8页/共29页

BC=8,则AE二___________________

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关

性质及定理是解题的关键.连接CE,由矩形的性质可得NCDE=90°,AD^BC=8,

AB=DC=6,AO^OC,由OELAC,AO=OC,可知OE垂直平分AC,则可得AE=CE；设

DE=x,则AE=CE=8—X,在中，由勾股定理得关于x的方程，求解即可.

【详解】解：连接CE,如图：

在矩形A3CD中，AB=6,8C=8,

.­.ZCDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=6,AO-OC,

OE1AC,

AE=CE,

设。E=x,则AE=CE=8—x,

在RtACDE中，由勾股定理得：DE-+DC2=CE-，

x=(8

生

4

解得：X=

生

故答案为:4

14.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知NABC=60。，则阴影部分的面积是.

B,

第9页/共29页

【答案】66

【解析】

【分析】首先过点2作3ELA。于点E,BFLCD于点F,由题意可得四边形A3CD是平行四边形,

继而求得=的长，判定四边形A3CD是菱形，则可求得答案.

【详解】过点B作BE工AD于点E,BF1CD于点、F,

根据题意得：AD//BC,AB//CD,BE=BF=3,

.••四边形A5CD是平行四边形，

ZABC=ZADC=60°,

ZABE=ZCBF=30°,

/.AB=2AE,BC=2CF,

AB2=AE2+BE2,BE=3,

•*-AB=25

同理：BC=273)

:.AB=BC,

・・・四边形ABCD是菱形，

•*-AO=26，

S菱形ABCD=AOxBE=6A/3.

故答案为：6G-

【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的

性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线.

若关于的一元二次方程好+两根为、且则°的值为.

15.x21+2=0dx2,J+}=3,

【答案】—

3

【解析】

第10页/共29页

【分析】本题考查了一元二次方程依2+法+。=0(a。())根与系数的关系：若方程的两实数根为％],々，则

bc

再+%2=-------，=一

aa

根据一元二次方程"2+bx+c=0(a*0)根与系数的关系得到西+4=-2,Xl-x2=p,然后通分,

11%,+x—2

—+—=」~9~,从而得到关于〃的方程，解方程即可.

%x2再％2P

2

【详解】解：二,玉+%2=—I=—2,%],%2=P，

1।1_x+x_-2

।=i2—

%X2玉％2P

2

,•P~—，

3

故答案为：—.

3

16.如图，在Rt^ABC中，NA4c=90。，且A3=6,AC=8,点D是斜边3C上的一个动点，过点。

分别作DM工A3于点M,DN上AC于点、N,连接MN,点。为VN的中点，则线段A。的最小值为

【答案】2.4

【解析】

【分析】由勾股定理求出3c的长，再证明四边形OMAN是矩形，可得MN=AD,根据垂线段最短可得

当ADS5C时，AD的值最小，再利用三角形面积求出AD,可得A。，即可解决问题.

【详解】解：如图，连接AD,

第11页/共29页

A

•：DM1AB,DN1AC,

ZDMA=NDNA=ABAC=90°,

...四边形0MAN是矩形，

MN=AD,AO=-AD,

2

・•・当AD工3c时，AD的值最小，

此时，S=-ABAC^-BCAD,

U0ABC22

ABAC6x8

AD==4.8,

BClo-

A。的最小值为2.4,

故答案为：2.4.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对

角线相等.

三、解答题（本大题共9小题，共64分，解答时应写出文字说明或演算步骤.）

17.解方程：

(1)x(x+2)=2+x；

(2)3X2-6X-1=0.

【答案】（1）再=-2,x2=1

【解析】

【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法,

公式法，因式分解法等.

（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；

第12页/共29页

（2）利用公式法解一元二次方程即可.

【小问1详解】

%(X+2)=2+%

%(x+2)-(%+2)—0

(x+2)(x-1)=0

x+2=0或％-1=0

・・%]——2,%2=]；

【小问2详解】

3%2—6%—1=0

〃=3,b=-6,c=-l

A=b2-4ac=(-6)2-4x3x(-l)=48>0

._6±V48_6±473_3±2V3

••x---------------------------------

2x363

18.如图，在平行四边形A3CD中，E为线段CD的中点，连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,

连接DR,ZACF=90°.

（1）求证：四边形ACED是矩形；

（2）若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积.

【答案】（1）见解析（2）45

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质，得AD〃BC,根据平行线的性质，得NDAF=NAFC,

ZADC=ZDCF；再根据E为线段CD的中点，全等三角形的判定，则△ADE三△八;£,根据矩形的判

定，即可；

第13页/共29页

（2）过点E作EGJ_AC于点G,根据勾股定理，求出的长，再根据四边形ABCE的面积等于

+

^LABC^DAEC,即可.

【小问1详解】

•.•四边形ABCD是平行四边形，

AD//BC,

：.NDAF=NAFC,ZADC=ZDCF,

为线段CD的中点，

DE=CE,

：.UADE^FCE（AAS）,

AE=EF,

.••四边形ACFD是平行四边形，

：ZACF=90°,

平行四边形AC”）是矩形.

【小问2详解】

过点石作£6,4。于点G,

•..四边形A3CD是平行四边形,

AD=BC,

•..四边形ACED是矩形，

AD=CF,

：.AD=BC=CF=5,

•：CD=13,

；•DF=7132-52=12，

四边形ABCE的面积等于SaABC+SaAEC,

S=—xACxBC=—x12x5=30,S=—xACxGE,

nLJA/iDRCL22LnJA/iCLCF2

第14页/共29页

:点E是对角线的中心，

GE=-AD=-,

22

S=—xACxGE=—x12x—=15,

anACrFE222

.••四边形ABCE的面积为：30+15=45.

【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形

的判定和性质，全等三角形的判定和性质.

19.已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-l=0.

(1)求证：无论机取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两个实数根为王,々，且X：+考-不々=9,求根的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)吗=1或%=-2.

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程

根的判别式是解题的关键.

(1)根据根的判别式证明A〉0恒成立即可；

(2)由题意可得，苞+%=加+2,x1-x2=m-l,进行变形后代入即可求解.

【小问1详解】

证明：A=[一(m+2)]~-4xlx(m-l)=m2+8,

•.•无论相取何值，m2+8>0，恒成立，

...无论加取何值，方程都有两个不相等的实数根.

【小问2详解】

解：：看,々是方程必一(根+2)x+加-1=0的两个实数根，

，%=加+2,Xj-x2=m-1,

xf+xf-XyX2=(玉+%2)2_3%I%2=(加+2)2=9,

解得：叫=1或加2=-2.

20.如图，矩形ABC。中，点。是对角线AC的中点，过点。的直线分别交A。、BC边于点

第15页/共29页

(1)求证：四边形A尸CE是菱形；

(2)若_8。=8,人_8=6,求EF的长.

【答案】(1)见解析(2)—

2

【解析】

【分析】(1)根据矩形的性质，利用ASA证明AAOE也△COE,得到AE=CT,得到四边形是平行四

边形，再根据AF=AE,即可得证；

(2)勾股定理求出AC的长，设CT=AB=x,则BR=8—X,在RtOABb中，利用勾股定理求出工的值，

再根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可.

【小问1详解】

证明：•••四边形A3CD是矩形，

AD//CF,

ADAC=ZBCA,

是对角线AC的中点，

OA^OC,

又；NAOE=NCOF,

.-.□AOE^OCOF(ASA),

：.AE=CF,

又：AEUCF,

.••四边形AFCE是平行四边形，

又AF=AE,

.•口AECE是菱形；

【小问2详解】

解：•.•四边形A5CD是矩形，

ZB=90°,

第16页/共29页

在RtZXABC中，

AB=6,BC=8,

AC=^AB2+BC2=10，

.-.OA=OC=-AC=5.

2

•..四边形ARCE是菱形

CF=AF,EF1AC,EF=20F

:.ZCOF=90°,

^CF=AF=x,则3R=8-X,

在RtOABE中，

•••AB2+BF2=AF2，

62+（8-x）2=x2,

2525

解得x=」，即CR=上，

44

:.OF=^FC2-OC1=—,

4

:.EF=—.

2

【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。熟练掌握相关

性质和判定，是解题的关键.

21.某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取

了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天

可多售出2件.

（1）若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

【答案】（1）平均每天销售数量为32件

（2）当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元

【解析】

【分析】（1）根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2

件”，列出平均每天销售的数量即可，

（2）设每件商品降价》元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每

天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不

第17页/共29页

少于25元的答案即可.

【小问1详解】

解：根据题意得：

若降价6元，则多售出12件，

平均每天销售数量为：12+20=32（件），

答：平均每天销售数量为32件；

【小问2详解】

解：设每件商品降价%元，

根据题意得：

（40-尤）（20+2x）=1200,

解得：石=10,%=20,

40-10=30>25,（符合题意），

40-20=20<25,（舍去），

答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键.

22.如图，平行四边形A3CD中，AE,CT分别是ZBA。、N5CD的平分线，且E、R分别在边

BC、4。上，AE=AF.

（1）求证：四边形AECE是菱形；

（2）若NA3C=60。，口43£的面积等于4省，求平行线A5与。。间的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵473

【解析】

【分析】（1）先证A£）〃BC,再证AE口尸C,从而四边形AECT是平行四边形，又AE=AP,于是四

边形AECE是菱形；

（2）连接AC,先求得/BAE=/D4E=/ABC=60°,再证

第18页/共29页

ZACB=90°-ZABC=30°=ZEAC,于是有走=丝，^AB=—AC，再证AE=BE

CE,

3AC3

从而根据面积公式即可求得AC=473.

【小问1详解】

证明：•..四边形A3CD是平行四边形，

AD//BC,/BAD=/BCD,

：.NBEA=/DAE,

AE,CT分别是ZBA。、/BCD的平分线，

NBAE=ZDAE=-ZBAD,ZBCF=-/BCD,

22

ZDAE=NBCF=ZBEA,

AEDFC,

：.四边形AECF是平行四边形,

AE=AF,

.••四边形AECT是菱形；

【小问2详解】

解：连接AC,

VAD//BC,ZABC=60°,

/BAD=180°-/ABC=120°,

NBAE=NDAE=ZABC=60°,

:四边形AECT是菱形，

ZEAC=-ZDAE=30°,

2

ZBAC=NBAE+/EAC=90°,

ACLAB,NACB=90°-ZABC=30°=ZEAC,

AE=CE,tan30°=tan/AC3=空即@=四，

AC3AC

第19页/共29页

AB=—AC-

3

/BAE=ZABC,

AE=BE=CE,

•./ABE的面积等于4百，

2

SDABC=-ACAB=-AC—AC=—AC=86,

2236

平行线AB与0c间的距离AC=473.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角

函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等

腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键.

23.Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC=6,动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速

度向点C作匀速运动，到达点C停止运动.设运动时间为f秒

一7

（1）如图1,过点尸作尸OLAC,交AB于。，若APBC与△刑。的面积和是AABC的面积的一，求f的

9

值；

（2）点。在射线PC上，且尸。=2AP,以线段尸。为边向上作正方形PQMW.在运动过程中，若设正方

形PQVM与△ABC重叠部分的面积为8,求f的值.

【答案】（1）力=2,念=4；（2）/的值为9近或2逐时，重叠面积为8.

【解析】

【分析】（1）先求出AABC的面积，然后根据题意可得AP=f,CP=6-t,然后再△PBC与△出。的面积

7

和是△ABC的面积的一，列出方程、解方程即可解答；

9

（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.

【详解】（1）；RtA4BC中,ZACB=90°,AC=BC=6,

第20页/共29页

1

SAABC=—X6x6=18,

2

".'AP=t,CP=6-t,

.•.△尸2。与^必£＞的面积和=工户+1.乂6*(67),

22

7

•.•△PBC与△%£)的面积和是aABC的面积的一，

9

1,17

—IT—x6x(6-f)=18x—,

229

解之，得九=2,女=4；

(2)'：AP=t,PQ=2AP,

.".PQ=2t,

17

①如图1,当0WV2时，S=(2力2-—5=一产=8,

22

解得：九=与近，亥=-(不合题意，舍去)，

77

②如图2,当20也3时，S=—x6x6——iP----(6-2%)2=12/-------

2225

..4

解得：九=4（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），

③如图3,当3s"6时，S=-x6x6--好=8,

22

解得：ti=2y[s，t2=-2^/5（不合题意，舍去）,

【点睛】本题考查了三

角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.

24.如图，AC是正方形ABC。的对角线，AD=8,E是AC的中点，动点尸从点A出发，沿AB方向以每

秒1个单位的速度向终点2运动，同时动点。从点2出发，以每秒2个单位的速度先沿3c方向运动到点

第21页/共29页

C,再沿CO方向向终点。运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形尸£。尸，设点p运动的时间为r秒(0<t

<8)

(1)当f=l时，试求尸£的长；

(2)当点尸恰好落在线段4B上时，求的长；

(3)在整个运动过程中，当口PEQP为菱形时，求/的值.

【答案】(1)PE=5

(2)BF=2

⑶2

33

【解析】

【分析】(1)作于跖由正方形的性质和已知条件得出A5=8C=CD=AD=8,证出EM〃BC,得出

是的中位线，由三角形中位线定理得出EM=」BC=4,当仁1时，AP=1,求出尸M=AM-AP=3,

2

再由勾股定理求出PE即可；

(2)由平行四边形的性质得出尸F=EQ,PF//EQ,当点P恰好落在线段A3上时，得出EQLBC,。为

BC的中点，得出EQ是AIBC的中位线，由三角形中位线定理得出EQ=LAB=4,求出尸尸=4,AP=2,即

2

可求出8尸的长；

(3)由菱形的性质得出尸E=PQ,分四种情况：①当0〈区2时，作于跖ENLBC于N；②当2

〈二4时；③当4</6时，作EMLAB于M,ENLBC于N；④当6<二8时；分别由勾股定理得出方程，

解方程即可.

【小问1详解】

作EM±AB于交AB于点M,如图1所示：