2024-2025学年沪教版八年级数学上册：二次根式（9大核心考点）解析版

二次根式（考点卷）

考点一二次根式有无意义的条件（共5题）

1.（23-24八年级下•广西梧州•期中）若式子万7+X-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x<2B.x<2C.x<2且"0D.X<2且HO

【答案】D

【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件、负整数指数暴有意义的条件等知识点，根据题意正确列出

不等式组成为解题的关键.

根据二次根式中被开方数大于等于0、负整数褰的底数不等于零即可解答.

【详解】解：•••式子行二1+犷2在实数范围内有意义，

・•・2-xNO且

・•.xW2且w0.

故选D.

2.（2023・云南•模拟预测）要使无巨有意义，贝”的取值范围是（）

x—2

A.且xw2B.x>1C.x>l且xw2D.x<1

【答案】A

【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0和二次根

式的被开方数的非负性是解题关键.根据分式的分母不能为0和二次根式的被开方数的非负性求解即可得.

【详解】解：由分式的分母不能为0和二次根式的被开方数的非负性得：x-120且X-2H0,

解得且xw2,

故选：A.

3.（23-24八年级下•江苏淮安・期末）若式子岳工1在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

【答案】

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是根据“二次根式有意义的条件即被开方数不小于零”

列出不等式求解即可.

【详解】解：•••式子岳工I在实数范围内有意义，

/.2x+1>0,

解得：x"g，

・•.X的取值范围是

故答案为：x>-1.

4.（23-24八年级下•黑龙江佳木斯•期中）要使式子正I有意义，则m的取值范围是.

m-2

【答案】加之一1且冽。2

【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件.熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键.

由题意得，m+1>0,机-2w0,求解作答即可.

【详解】解：•••式子也亘有意义，

m—2

/.m+1>0,加一2w0,

解得，冽2一1且相。2,

故答案为：加2-1且加二2.

5.（23-24八年级下•广东广州•期中）已知。，，为实数，且满足°=赤石+61+2.

（1）°=_，b=_；

⑵求疝•也?的值.

a+b

【答案】（1）。=2,b=5；

（2）2710.

【分析】（1）由二次根式的性质，得6-520,5-620,即可得出6=5,然后代入即可求出。的值;

（2）把。、6的值代入即可求解；

本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质求出。、6的值是解题的关键.

【详解】（1）解：+1+2,

••・/?—520,5—

Z?—5,

6Z—25

（2）当Q=2,6=5时，

原式=^^三出=2痴.

2+5

考点二利用二次根式的性质化简（共5题）

1.（23-24八年级下•山东德州•阶段练习）实数0,6在数轴上的位置如图所示，则化简77_后_/5-

的结果是（）

ab

-101

A.-2bB.-2aC.2b-2aD.0

【答案】A

【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，二次根式化简，要求学生正确根据数在数轴上的位

置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断.

由数轴可知0<b<l,所以。一6<0,化简即可解答.

【详解】解：由数轴可知一1<。<0,0<6<1,

:.a-b<0,

•*J-Jb~~J（a-6）2-—a-b+（a-b）——a-b+a-b——2b.

故选：A.

2.（23-24八年级下•江苏无锡•阶段练习）已知-1<。<4,则简化川+2a+a2_J/_8a+i6的结果是（）

A.-3B.3C.2a-3D.3-2a

【答案】C

【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的特点是解题的关键.

先把被开方数分解因式，再化简求值.

【详解】解：

a+1>0,q—4<0,

Jl+2Q+/—J。2—8〃+16

=|tz+11一|ci_41

=a+l+a—4

=2a—3f

故选：C.

3.（23-24八年级下•浙江宁波•阶段练习）若而了-（万二则。的取值范围是.

【答案】a<l/l>a

【分析】根据开平方和一个数的平方的性质将式子进行化简，利用负数的绝对值等于它的相反数即可求出。

的取值范围.本题考查了二次根式以及绝对值化简，解题的关键在于一个未知数开方的结果要带绝对值，

一个带根号的未知数的平方等于原来的数.

【详解】解：

_1|一（2-〃）=-1,

—1|—2+〃+1=0,

「Ja-+a-1=0,

「JQ—1|=一（〃—1）,

Q—1W0,

:.a<\.

故答案为：«<1.

4.（23-24八年级下•辽宁铁岭•阶段练习）已知0<x<l,且x+^=ll,则4-十的值为.

Xyjx

【答案】-3

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算，完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是

解题的关键.先把已知条件式两边同时平方得到［6-=x+--2,贝116-3=±3,再求解即可.

*/0<%<1,

故答案为：-3

5.(23-24八年级下•广西玉林•期中)(1)已知。，，为实数，且2H工=/-8,求。，，的值.

(2)已知实数加满足|2023-向+Ym-2024=m,求加-2023?的值.

【答案】(1)a=2,b=±242；(2)2024

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键.

(1)根据二次根式有意义的条件可得出。的值，再根据非负数的和为0得出△的值即可；

(2)根据二次根式有意义的条件可得用的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为而隔=2023,

两边平方即可.

【详解】解：(1)j4-2a和Ja-2均有意义,

4—2。20且Q—220,

即且

..〃二2,

当。=2时，j4-2a+2V^I=/-8,

可得8=0

・"2=8,即b=±2A/2，

二.Q=2,b-±2A/2;

(2)Jm-2024有意义,

m>2024,

|2023-m|=m-2023,

因此|2023-司+J加-2024=m,可变为加一2023+J加-2024=加,

即J加-2024=2023，

.5-2024=20232,

BP.-.m-20232=2024,

.•.加一20232的值是2024.

考点三复合二次根式的化简（共5题）

1.（2024八年级下•全国•专题练习）己知a、b为有理数，且满足a+6G=J12-，则

等于（）

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把而Z7T化简为3-a.

先把J12.66化简为3-石,然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值.

［详解］解：•••J12-=，（3-6『=3-6,

又,*>a+J12-6百，

*0eQ+—3-y/3，

a=3,b=—1f

Q—6=3—(—1)=3+1=4,

故选：D.

2.（23-24八年级下•黑龙江鹤岗•期末）把（m-l）J'中根号前的（m—l）移到根号内得（

V1-m

A.y/m-1B.y/l-mC.—y/m-1D.-y/l-m

【答案】D

【分析】先判断出冽-1的符号，然后解答即可.

【详解】•••被开方数;20,分母

1-m

1—m>0,/.m-1<0.

2

•,•原式=—(1—加)---—m)—--二—y/1—m.

1-m

故选D.

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：77=同.也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘

法.

3.(23-24八年级下•浙江湖州•期末)观察下列各式：

5+276=(2+3)+2A/2^3=(V2)2+(V3)2+2A/2XV3=(V2+V3)2,

8+2V7=(l+7)+2>/1^7=l2+(V7)2+2xlxV7=(1+V7)2,……请运用以上的方法化简内刀石=_

【答案】V5+V2/V2+V5

【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可.

【详解】解：布+2回=J5+2+2厢

=J(后+诋2+2〉氐亚

=V(V5+V2)2

=#)+V2；

故答案为：V5+V2.

4.(23-24八年级上•四川•阶段练习)完成下列各题，

(1)若3=9,那么叵的值是_____.

abVb

(2)化简：722-6V13=.

【答案】|VToV13-3

【分析】(1)先对二次根式进行适当的变形，然后由3=:得3=：,进而代值求解即可;

(2)利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可.

2a+b

【详解】解：(1)原式=

b

2_4

ab

Q_3

~b~4

原式=、2*+l,

=-Vio；

2

⑵也2-6出，

=722-2x3^/13，

=722-2713^9，

=713+9-2713x9，

="旧『-2jl3x9+32,

=A/T3—3,

故答案为：!Vio；VB-3.

【点睛】本题主要考查二次根式的性质及完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质及完全平方公式是解题

的关键.

5.（23-24八年级下•山东临沂•期中）阅读与思考

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.

标题：双层二次根式的化简

内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是

根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号.

例如：要化简,3+24，可以先思考（1+8）2=12+2x1x8+（夜『=3+2夜，所以

13+20=/2+2义1义0+（行『='（1+后『=1+后.通过计算，我还发现设

1a+b6=+=m+77V2（其中加，"，a,b都为正整数），则有a+=加°+2〃2+2"?〃血，

a=m2+2n2，b=.

这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法.

任务：

⑴文中的6=.

(2)化简：&+26-

(3)已知八+4妍=》+y小,其中a,x,y均为正整数，求。的值.

⑷化简：j4°-8犷1+^4。+8而1=.(直接写出答案)

【答案】(1)2加〃

⑵

(3)7或13

(4)当l4p<2时，^4p-Sy]p-l+^Ap+S-Jp-l=4,当IP±2时，^4p-8^p-l+^4p+Sy/p-1-4-^/?-1

【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简：

(1)根据题目所给信息即可得到答案；

(2)根据加+2人=55+2石+1结合完全平方公式求解即可;

(3)根据a+4指=X?+3/+2盯g,得出。=》2+3/，4=2xy,根据x,y为正整数，求出x=2,y=1

或x=l,y=2,最后求出。的值即可.

(4)根据历二诉7+”^口7不^=版『+拒乒帝『进行化简求解即可.

【详解】(1)解：a+by/2=m2+2n2+2mn4^<

■'-a=m2+2n2>b=2mn.

故答案为：2mn；

(2)解：J6+2行

=75+2行+1

+2xlxV5+l2

故答案为：V5+1:

(3)解：由题意得”+4AA=—+3/+2盯g,

.'.a=x2+3y2,4=2xy,

,・x，y为正整数，

.•・％=2,y=l或x=l,y=2,

(2=22+3xl2=7或。=F+3x2?=13.

"TF31—2,27^7+2,

当2J夕一1一2N0,即夕22时，则原式=2d=一1一2+2,〃一1+2=4dp—1；

当2yJ1-1-2v0,即IV2<2时，则原式=2-2J<-1+2J,—1+2=4；

综上所述，当14p<2时，J4P-8^^T+J4P+8jp-l=4,当时,

J4P-8yJp-I+小4P+8yjp_[=4Jp-1.

考点四二次根式中的参数问题（共5题）

1.（23-24八年级下•河北邯郸・期中）若岳用是最简二次根式，且可与痴合并，则。的值是（）

A.—B.-C.-D.3

222

【答案】D

【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式

叫做同类二次根式.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的

因数或因式.

【详解】解：712=273,

••・j2a-3是最简二次根式,且可与2道合并,

2。-3=3,

a=3,

故选D.

【点睛】本题考查同类二次根式以及最简二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式以及最简二次根

式，本题属于基础题型.

2.（22-23八年级下•河北邢台・阶段练习）若最简二次根式飙+2023与国（。为有理数）可以合并，则

m的值为（）

A.2021B.-2021C.2025D.-2025

【答案】B

【分析】最简二次根式后前方与行。可以合并，则dm+2023与历是同类二次根式,即被开方数相同,

即机+2023=2,求解即可.

【详解】解：•••最简二次根式胃加+2023与小可以合并,

+2023与血是同类二次根式，

m+2023=2.

解得力=—2021.

故选：B.

【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

3.（23-24九年级上•甘肃天水•阶段练习）计算：如果7^与+万工=0,那么。+6=；

J1—x+Jx-1+x2-2=•

【答案】5-1

【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即国aW0"0.

【详解】解：•••V^z3+V2^=0,V^3>0,V2^>0,

Q_3=0,2—b=0,

：.a=3,b=2,

••・a+6=5；

1—x>0,x-1>0,

x-1,

■■-71^1+77^!+^2-2=12-2=-1；

故答案为：5,-1.

【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知20）20是解题的关键.

4.（22-23八年级上•全国・单元测试）若、些是整数，则整数〃的所有可能的值为

Vn

【答案】1,4,9,36

【分析】J二是整数，则々20,且々是完全平方数,即可求出n的值.

Vnnn

【详解】解：J出是整数，

Vn

•••—>0,且非是完全平方数，

nn

.・・①一=1,即〃=36；

n

QA

②一=4,即〃=9；

n

2A

③一=9,即“=4.

n

（4）—=36,即〃=1；

n

综上所述，整数”的所有可能的值为1,4,9,36.

故答案是：1,4,9,36.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解、悭是整数的条件是解题的关键.

Vn

5.（23-24八年级•全国•假期作业）（1）已知小三是整数，求自然数n所有可能的值;

（2）已知村是整数，求正整数n的最小值.

【答案】（1）自然数n的值为2,9,14,17,18；（2）正整数n的最小值为6.

【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；

（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可.

【详解】（1）•.•可:是整数,

[18-"=0,18-/?=1,18-"=4,18-〃=9,18-/?=16,

解得：«=18,n=17,n—14,n—9,n—2,

则自然数”的值为2,9,14,17,18；

（2）•.•血布=2用是整数，”为正整数，

・•・正整数〃的最小值为6.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键.

考点五二次根式的混合计算(共10题)

1.(23-24八年级下•河南驻马店•期末)计算：

(1)724-^-76xVio+Vs

【答案】(1)2

⑵一4-4月

【分析】本题主耍考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键.

(1)根据二次根式的性质和混合运算法则计算即可得到答案；

(2)根据二次根式的混合运算法则计算即可得到答案；

【详解】(1)解：幅+娓-2&W+a

2/s

=2a十几--^-xW+20

=2-2A/2+2A/2

二2；

(2)(V5+V2)(V5-V2)-(A/3+2)2

=(A/5)2-(V2)2-(3+4+4>/3)

=5-2-3-4-4>/3

=-4-473.

2.(23-24八年级下•广东惠州•期末)计算.

⑴厂1厂+2痘-屈；

V?V3-V2

⑵(272+1)(272.

【答案】⑴5囱-2啦;

(2)473.

【分析】(1)利用二次根式的性质和运算法则计算即可求解;

(2)利用平方差公式、完全平方公式展开再合并即可求解；

本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键.

【详解】(1)解：原式=6+后+2x2>/J-30

=73+72+473-372

=573-272；

(2)解:原式=8—1-(3-4-+4)

=7-7+473

=4y/3■

3.(23-24八年级下•黑龙江齐齐哈尔•期末)计算:

(1)A/27—y/6)

⑵(26+V5)(2V3-V5)-(V6-V3)2

【答案】(1)&+4

(2)672-2

【分析】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除混合运算的法则及二次

根式的性质是解题的关键.

(1)先根据二次根式的乘除计算，再利用二次根式的性质化简，最后运用二次根式的加减法法则计算，即

得答案；

(2)先根据平方差公式和完全平方公式计算，再运用二次根式的加减法法则计算，即得答案.

【详解】(1)解：V274-^^-+2^(^/1-2-^6)

=-j27^|-+2^|xVi2-2^1X76

=30+4-2加

=V2+4;

(2)解：(2V3+V5)(2A/3-V5)-(V6-V3)2

=(2A/3)2-(V5)2-(6-6V2+3)

=12-5-9+672

=60-2.

4.(北京市西城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题)计算:

(l)V3xV6+V50；

(2)(2V7+1)(2V7-1).

【答案】(1)80

(2)27

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的化简方法.

（1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法和加法合并；

（2）先用平方差公式展开，计算二次根式的乘法即可；

【详解】⑴解:原式：V3XV6+V50

=372+572

=872.

（2）原式：（2^7+1）（2^7-1）

=（2仞2一1

=27.

5.（23-24八年级下•河南许昌•阶段练习）计算:

⑵卜灰-6后+4后卜百-4石

【答案】（1）3

(2)2

【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题

的关键：

(1)先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算；

(2)先化简二次根式，然后进行除法运算，再合并同类二次根式即可.

【详解】⑴解：原式=4-2+啦-啦+1=3;

(2)原式=仅0百-184+4呵+道-4石

=2+46-4后

=2.

6.(23-24八年级下•江苏扬州•期末)计算：

(1)VTs+13—Vs|—；

(2)[V6-1)2-(3+V5)(3-A/5).

【答案】⑴正

(2)3-276

【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等

知识.熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键.

(1)利用二次根式的性质进行化简，化简绝对值，然后进行加减运算即可；

(2)利用平方差公式，完全平方公式计算二次根式的乘法，然后合并同类项即可.

【详解】(1)解：M+卜一闽一

=30+3-2亚-3

=y[2；

(2)解：(V6-l)2-(3+V5)(3-V5)

=6-276+1-(9-5)

3-2巫.

7.（23-24八年级下•天津西青・期末）（1）计算：475-732-（745-472）；

（2）计算：（2V3+V7）（2A/3-V7）.

【答案】（1）V5；（2）5

【分析】本题考查的知识点是二次根式的加减混合运算、二次根式的乘法、平方差公式，解题关键是熟练

掌握二次根式的相关运算.

（1）根据二次根式的加减混合运算法则即可得解；

（2）根据二次根式的乘法、平方差公式即可求解.

【详解】解：（1）原式=4囱-4次-3出+4夜

=yjh；

（2）原式

=12-7

=5.

8.（23-24八年级下•江苏扬州•期末）计算

⑴［瓦一岳+浦X2G；

（2）（6-1）+^2+V5^2—A/5j.

【答案】（1）7遥-12

(2)-2A/3+3

【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解答的关键.

（1）先利用二次根式的性质化简各数，再根据二次根式的乘法运算法则，结合乘法分配律去掉括号，再加

减运算即可求解；

（2）先利用乘法公式运算各式，然后加减运算即可.

【详解】（1）解：^718-712+^x273

（石、

=3V2-2V3+—义2公

2

=6娓-(2国+娓

=776-12；

(2)解:(若一1『+(2+百)(2-石)

=3-273+1+4-5

=-2^3+3.

9.(23-24八年级下•江苏镇江•期末)计算:

(1)V18-V32+|l-V2|;

(2)(75-V3)2+(2+73)(2-®

【答案】(1)-1

(2)9-2715

【分析】本题考查了二次根式的混合运算；

(1)先根据二次根式的性质，绝对值的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解;

(2)根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解.

【详解】(1)解：V18-V32+|l-V2|

=3收-4后+收-1

=-1；

(2)解：(V5-V3)2+(2+V3)(2-V3)

=8-2而+4-3

=9-2715-

10.(23-24八年级下•天津蓟州•期末)计算：

(1)2712+-V27；

(2)^y/2+1j—V48-=--\/6.

【答案】(1)26

(2)3

【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算：

（1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可；

（2）先根据完全平方公式去括号，然后计算二次根式除法，最后计算加减法即可.

【详解】（1）解：2而+3卜后

=4V3+V3-3V3

=2V3;

(2)解：(V2+1)2-V48-A/6

=2+272+1-78

=2+2V2+l-2V2

=3.

考点六分母有理化（共5题）

1.（23-24八年级上•上海徐汇•阶段练习）已知加=北^，下列各式为负值的是（

).

A.—B.2-（V3+m）C.m-1D.1-V3m

【答案】C

【分析】本题主要考查了分母有理数、二次根式的混合运算等知识点，掌握分母有理化的方法成为解题关

键.

]

先对比=分母有理化，然后再分别代入各选项计算判断即可.

2+6

12-62-百

..m=2-73>0

【详解】解:2+6(2+@(2一@4-3

•1•A.m]2+6>°,不符合题意；

2+73

B.2-(有+加)=2-(百+2-6)=2-2=0,不符合题意;

C.w-l=2-V3-l=l-V3<0,符合题意;

D.l-V3(2-V3)=l-2V3+3=4-2V3>0,不符合题意.

故选C.

2.（2024八年级•全国・竞赛）己知的整数部分是加，小数部分是"，则机（加+J7"）+加”的值为

（）

A.10B.7C.6D.4

【答案】A

【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出如〃的值，再代

入进行求解即可.

13+近3+V7

【详解】解：二77=（3+⑺（3一行广了，

*/4<7<9,

/.2<小<3,

2

:.m=2,n=§+近—2，

2

‘3+77、"T"

+mn=22+V7X-2+2x

2

故选：A.

3.（23-24八年级下•甘肃平凉•期中）观察以下各式：

—[==V2—1,—r=------r==y/3—V2,­j=-r==~^3

V2+1J3+J2V4+V3

利用以上规律计算：

11-_1^_^(V2024+l)=

---------------1-----------------1------1-/

V3+V2V4+V3

【答案】2023

【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的混合运算，由题意得出规律导工=〃-1,再利用此规

律结合二次根式的混合运算法则计算即可得出答案，得出规律是解此题的关键.

【详解】解：•••焉=亚-1,方士F6一行‘国匕="一5…’

-7==-1,

7n+1

11V2024+V2023^V^+1)

---------------1-----------------F…+

V3+V2V4+V3

+1

=2024-1

=2023，

故答案为：2023.

4.(23-24八年级下•湖北孝感・期末)观察下列等式:

1V2-1

=A/2-1；

©V2+I-(VI+1)(72-1)

V3-V2

1=>/3—V2；

②V3+V2-(V3+V2)(V3-V2)

③("+我("-百「"一6；……

斗街1,1I1,1

x升：I+V2V2+V3V3+2।…J2023+J2024----------

【答案】2闻^-1

【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据平方差公式将二次根式的分母化为1,然后再进行二

次根式的加减运算即可得解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

［详解］陵+石耳+际+…+而fZH

lx(V2-l)1x(百一码1X(2-A/3)1x(72024-72023)

(0一1)(1+码+(6.0)(0+出〉(2一百)(6+2)(72024-V2023)(J2023+J2024)

=V2-l+V3-V2+2-V3+...+V2024-V2023

=V2024-l

=2>/506-1,

故答案为：2西^-1.

5.(23-24八年级下•山东济宁・期中)［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含

二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.

例如：V2xV2=2.(V3+1)X(V3-1)=2,我们称夜和血互为有理化因式，6+1和6-1互为有理化因

式.

（1）石的有理化因式是（写出一个即可），2-6的有理化因式是（写出一个即可）；

[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不

含根号，这种变形叫做分母有理化.

（2）利用分母有理化化简：七+仅上方+石匕+……+V2024+V2023-

[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，

这种变形叫做分子有理化.

(6-夜)(6+a)]

比如:A/3—V2=

V3+V2V3+V2

（3）试利用分子有理化比较说-疗和疗-卡的大小.

【答案】（1）下,2+6；（2）27506-1；（3）V7-A/6>V8-V7

【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是

解题的关键.

（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；

（2）根据所得规律计算即可；

（3）利用分母有理化得到苏，=近+而，a;=凤班,然后比较,：胃，胃|胃大小即可.

【详解】（1）解：••・石X石=5,

・••布的有理化因式是指；

（2-x（2+=4-3=1,

的有理化因式是2+6；

故答案为：,2+V3；

]]]]

⑵率：V2+l+73+V2+V4+V3+....*J2024+J2023

=V2-l+V3-V2+V4-V3+...+V2024-V2023

=-1+V2-V2+AA-V3+V4-...-V2023+A/2024

=72024-1

=2A/506-1；

(3)V7-V6>V8-V7.

理由如下：

___J近+6_/y,[71_次+77_辰:/7

-太)(0+6)'VTTT-pTTTp+VT),

**'y/l+<y/l+VS，

11

:.-----------<-----------

ypl—>/6A/8—y/1

.••V7-V6>A/8-V7.

考点七二次根式的化简求值问题(共5题)

1.(23-24八年级下•福建泉州•阶段练习)若丫=3-同方，则代数式x2-6x+8的值为()

A.2005B.-2005C.2023D.-2023

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式的化简求值和十字相乘法分解因式，能正确根据二次根式的运算法则进行计

算是解此题的关键.根据十字相乘法得出--6x+8=(x-2)(x-4),再代入求出答案即可.

【详解】解：,；x=3-J2024，

'''x2—6x+8

=(x-2)(x-4)

=(l-j2024)(-l-j2024)

=[-j2024『-l

=2024-1

=2023.

故选：C.

2.(23-24八年级下•浙江金华•阶段练习)若x=3-屈Z，则代数式，-6x+9的值是()

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】D

【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题关键.将代数式化为

完全平方式，再代入计算即可.

【详解】解：-.-x=3-72024-

x2-6x+9=(x-3)2=(3-72024-3)'=2024,

故选：D.

3.(23-24九年级上•四川内江・期中)当x="、2022时,多项式4工3-2025x-2022的值为

2

【答案】-1

【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到(2x-巾=2022,进而得到

4X2-4X-2021=0,将多项式转化为X(4X2-4X-2021)+(4X2-4X+1)-2023,再代值计算即可，本题的难

度较大，关键是将已知式子进行变形，转化.

【详解】解：•.•％=1±叵2,

2

•••(2x-l)2=2022,

•­•4X2-4X-2021=0,

...4x3-2025x-2022=x(4x2-4x-2021)+(4x2-4x+l)-2023

=(2X-1)2-2023

=2022-2023

=-l.

故答案为：-1.

4.(22-23八年级下•河北保定•期末)已知>==i+JT7+18,贝！I

(1)无一了=；

(2)4x-y[y-.

【答案】-10-V2

【分析】根据二次根式的性质求得x的值，进而求得了的值，再将值代入计算即可.

【详解】解：由题意得x-820,8-x>0,

解得：x=8,

y=18,

（1）x-j=8-18=-10,

（2）G-&=瓜-屈=2亚-36=-近,

故答案为：-10,-V2.

【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解

题的关键.

5.（23-24八年级下•河南商丘•期中）【阅读材料】在二次根式的计算中，如：

（退+后）（退-后）=L（3+V3）（3-V3）=6,它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因

式.于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中

11x73V3

的根号转化为有理数的过程），例如:

3

1_6-及_B

7F77F（百+扬但④厂7-

【解决问题】

（1）化简芸石的结果为；

⑵已知"Vm公舟行求得一步的值

⑶计算…+后短・

【答案】⑴2+g

(2)4A/3

(3)276-1

【分析】本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的

关键.

（1）利用分母有理化、平方差公式计算；

（2）利用分母有理化化简a,b,利用提公因式法把原式变形，代入算即可；

（3）根据（1）的结论计算即可.

11X（2+6）

【详解】⑴解：］笈二（2一而2+3广+5

故答案为：2+6；

a=广「二,「迎=、=而+2百

（2-）旧-210（713-273）（H713+2^）

,_1______岳_26______=/7T_?/?

一日+20一（屈+2⑹（四-2⑹-'

.1日-加=皿"6）=（而+2后）（而-26）（而+26-而+2⑹=46；

1111

⑶不+京市+忑…*后+2屈

=A/2-1+V3-V2+2-V3+---+2V6-V23

=2-\/6—1.

考点八二次根式的应用（共5题）

1.（23-24八年级下•云南玉溪•阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形,

则余下部分的面积为（）

A.1276B.1273C.1272D.1876

【答案】A

【分析】本题考查二次根式的应用，解题的关键是求出大正方形的边长.先求出两个小正方形的边长，然

后再求出大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可.

【详解】解：••,积为12的小正方形的边长为：痴=26，

面积为18小正方形的边长为：屈=3叵,

•••大正方形的边长为2g+3后,

二大正方形的面积为（26+3行『=30+12指，

二余下部分的面积为30+12n-12-18=12几.

故选A.

2.（23-24八年级下•广东湛江•期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了

著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为

5=；I现已知“Be的三边长分别为3、4、5,则O8C的面积为（）

A.4sB.2逐C.6D.12

【答案】C

【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答.根据题目

中的面积公式可以求得A/8C的三边长分别为3,4,5的面积，从而可以解答本题.

［详解］解：：S=J'a&_（4±a三人,

V42

.•.△48C的三边长分别为3,4,5,则。的面积为：

s=/轲-不-2土产3］=6,

故选：C

3.（2024八年级下•全国・专题练习）观察下列各式：

r~i~r,11_ir.ir~ir,i

卜平+吩封中+*=1+m，,i+？+不=1+杀，

请利用你所发现的规律,

计算5+(+9+』+*+%+』+%+!+..•J1+击+豆,

其结果为

【答案】2020受20空20

2021

【分析】本题考查了二次根式运算类型的规律探究，根据已知等式将各式分别化简，得到1+工+1+工

1x22x3

M+」+...+l+…1再将等式写成1x2020+1」+工+上…+淅。彳］进行计算得到答

3x42020x202111x22x33x42020x2021）

案；正确分析得到等式的计算规律是解题的关键.

【详解】&1+，++=1+士'

I+/+:=I+』'

...L^-_L-

1+1+F++

F4JVV2020220212

=1+—+1+^—+1+^—+---+1+1

1x22x33x42020x2021

1111、

=1x2020+----1-----1-------1----------

1x22x33x42020x2021

r1111111

=1x2020+1——+------+-------+…+

(2233420202021

=2020+1--------

2021

=2。2。瑞

2020

故答案为：2020

2021

4.(23・24八年级下•广东江门・期末)古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的

a+b+c

三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是mb,c,记尸=

2

那么三角形的面积为S=2-a)(P-c).如图，在△45C中，NB,/C所对的边分别记为

a,b,c,若Q=4,b=5,c=6,则△48C的面积是一

【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解

答.

根据a,b,c的值求得p=£,然后将其代入三角形的面积S=Jp(p-aWp-6)(p-c)求值即可.

【详角窣］解：丁。=4,b=5,c=6,

4+5+615

故答案为：?五.

5.(23-24八年级下•四川达州•期末)阅读以下材料：如果两个正数。、6,即。＞。力＞0,由完全平方式的

非负数性质可得：

v(4a-4b)2＞0(当八=〃即。=6时，取等号)，

a-2y[ab+b>0

:.a+b>2y[ab(当且仅当Q=b时取等号)

结论：对任意两个正数〃都有〃+上述不等式当且仅当Q=6时等号成立.当这两个正数

的积为定值(常数)时，可以利用这个结论求两数。力的和的最小值.

444I~~4/-

例如：当％为正数时，两数％和一均为正数，且%一=4(常数)，则有工+^之2.%・之=2'"=4当且仅当

XXX\X

4

x=—即％=2时取等号

x

4

.•・当、=2时，％+-有最小值，最小值为4.

x

利用以上结论完成下列问题：

(1)已知加为正数，即加＞0,则当m=_时，加+,取到最小值，最小值为一；