2024年高考数学总复习：高中数学考前回归知识全案(下)

*15.等差数列、等比数列

nm

公式法勺=々1+(〃—i)d或勺=〃根+(〃_Md；an或=amq~

*5=1)

已知S〃(即4+%++〃“=/(>?))求%:an=

S„-S„_I,(n>2)°

作差法

14,〃=1)

如数歹!)｛〃〃｝满足+■^■々2+，+^7〃〃=2"+5,求凡(答：4=

T+\n>2

已知4%〃“=/（〃）求。〃如为=1,对所有的〃之2有%=",则/+%=___（答：」）

作商法

16

累加法4+1=4+/(")型

累乘法4+1=，/(〃)型

（构造等差、等比数列）,递推式为。3=如"+0"'（q为常数）时,可以将数列两边同时除以qn+',

构造法得名'-2=1•如已知"1=1，4=3%+2"，求乐（答：a„=5x3"-1-2,,+1）

qq

若a〃+i=ca〃+d(cwO,l,dwO)u>4+]+4=c(a〃+4)。比较系数得出4,转化为等比数列。

n-1

已知数列｛aQ满足ai=l,Kan+i=3an+2,求an。设々用+£=3(%+分,an=2-3-l

a

若n+i=pan+qn+d,an+x+a(〃+l)+Z?=g(a〃+a〃+b)；

待定

已知数列｛aQ中，ai=l,且an+i=3an+2ml(n=l,2,…),求数列｛an｝的通项公式。

系数法

w-1

设4+i+P(〃+l)+0=3(〃“+pn+q),an=2x3-n。

n+i

^an+l=pan+q(pwq),设%+i+回向=p(〃“+勿〃)；

n

已知数列｛%｝满足％=1,an=3+2%(n>2).求an设%+43*=2(%+杼〉

取倒数法已知aLLaang—，求凡(答：

3%+13〃一2

n

等比数列｛an｝的前〃项和Sn=2-1,则①j②人」4上；

公式法n(n+1)nn+\n(n+k)knn+k

11111

端+谒+裙++片=_____（答：4J）；③(二<)^—=一(——-——)；

kk-12k—1k+1

分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将

111/1、111

“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法—-----=-------(<——<)-------=------—;

kk+\(k+l)kk1(k-l)kk-1k

分组法求和.如求：S"=-l+3-5+7-+（-1）”（2〃一1）（答：

公1111

（-1）"-n）如a“=2〃+2",a”—（—1）"〃+2。

n(n1)(〃+2)2n(n+1)(«+l)(n+2)

常如果数列通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项⑤〃」__J_;

用分裂后相关联，常选用裂项相消法求和.裂项形式：

裂项法5+1)!n\5+1)!

求如在数列｛4｝中，a=.\且S。

n@2(\/n+1—yfn)<—j=<2(yfn—y/n—1)♦

\n+vn+1

和yJn

方

⑦。=S-S,(〃22)；

nnn-\''‘

法设数列｛4｝为等比数列，数列｛〃｝是等差数列，则数

错位相⑧cm~x+cm=cm,=^cm=cm-cm~x；

nnn+inn+in'

减法

列｛a„b„｝的前n项和S“求解，均可用错位相减法⑧厂1~~广=—^(日-加)；

y/a+y/ba+b

先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求

通项转1111

⑨-().

换法和法求和。求和：1+」-+」^++-----1-----=

(An+B)(An+C)C-BAn+BAn+C

1+21+2+31+2+3++n

若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列

已知/(%)=1+y，

倒序的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加

相加法法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前〃和1117

则/(D+/(2)+八3)+/(4)+/(-)+/(-)+/(-)=_-

公式的推导方法）.

注：表中外人均为正整数

*16.空间几何体（其中r为半径、/?为高、/为母线等）

有两个面互相平行，其余每相邻两个面的两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；

概念交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。两其余各面叫棱柱的侧面；

底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高两侧面公共边叫棱柱的侧棱；

长方体底面是矩形的直平行六面体是长方体；长方体体对角线4/+6+/.,外接球球='1+/+/与二条

棱

正方体棱长都相等的长方体叫正方体；棱成角cos2a+C0S1B+COS2Y=1,sin2a+sin2+sin2/=2

柱平行六面体底面是平行四边形四棱柱叫平行六面体；

如下列关于四棱柱的四个命题：

概侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；

念

侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则为直棱柱；

直棱柱底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。

底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱；

其中真命题的为—（答：②④）

｛平行六面体｝$｛直平行六面体｝5｛长方体｝5｛正四棱柱｝?｛正方体｝;

概念有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥;

如果一个棱锥底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样棱锥叫正棱锥；

正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等;

正棱锥的相对的棱互相垂直；

棱锥①侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）0顶点在底上射影为底面外心；

棱②侧棱两两垂直（两对对棱垂直）0顶点在底上射影为底面垂心；

锥

_________③斜高长相等且顶点在底上在底面内O顶点在底上射影为底面内心.

全面积S=&2；体积丫=正心对棱间的距离公正a

122

空正日面外接球半径尺_而0;内切球「而。

间体412

几正四面体内任一点到各面距离之和为/；=

何表面积arccos^、6'-a

体棱柱$全=%+25底丫=染4亍

丫=乎底.%

棱锥s全=s恻+S底

表

面表面积即

7

棱台s全=s侧+S上底+S下底V=-(S'+4sS+S)hTs=S'

积空间几何

31

和体暴露在K=-(S'+V5,5+S)/Z

圆柱S全=2万户+271rhV=7rr2h

体外的所有

12

积圆锥S全=先r+jirl面的面积V——7trhlS'-二0

3

之和。=S»h

22

圆台S^=7r(r'2+r2+r'l+rl)V=^^(r'+r'r+r)h

4,

球S球=4次

棱柱：体积=底面积x高，或体积V=直截面面积x侧棱长，特别地，直棱柱的体积=底面积x侧棱长；

三棱柱的体积心兴（其中S为三棱柱一个侧面的面积，d为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。

棱锥：体积底面积高。注意：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体）

求=gxX

体

i补形：三棱锥二＞三棱柱；正四面体n正方体n球；

积

ii分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是和等积变换法（平行换点、换面）和比例（性质转换）法等

（1）四面体/一时中，/俏盼BC=AD=yf2i,AB=CD=4,则四面体/一比。外接球的面积为

（2）已知出，PB,PC两两互相垂直，且△B4B、APAC,△P8C的面积分别为1.5加2,2cm2,6cm2,则过P,A,B,

C四点的外接球的表面积为cm2.答案：26K.(答：56

(3)三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O,P到三个面的距离分别为3、4、5,则0P的长为_

*17.空间点、直线、平面位置关系(大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面):

公理1AGl,Bel,Aea,BeB=lua0判断直线在平面内。

公理2A,3,C不共线nA3,C确定平面a。确定平面。

用途确定两平面的交线

公理3Pea,Pe(3,a/3=1=Pel

两直线平行

公理4a\\c,b\\ca\\b

线线共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。

置点线面Awl,B&I；Aea.Bo

关线面l\%/|〃=A/uo.。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。

面面a\\B,aB=lo分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。

判定定理：如果__一条直线和一条性质定理：如果一直线和一个平面平行,经过这直线

直线平行，那么这条直线和这个平面平行.平面和这个平面相交，那么这条直线和

a(Za,bua.a//b=>a//a平行.a\\a9au(3,a\0=b=a11b

平线面—殳

行

关

系

空

间

点判定定理：如果一个平面内的两条直性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相

、

直线平行于另一平面，那么这两个平面平行.交，那么它们的交线-

线

、

平

面

的

位

置

关

系

判定定理：如果一条直线和一个平面内的

性质定理：垂直于同一平面的平行，垂直于

两条_____直线都垂直，那么这条直线和这

同一条直线的____平行.

个平面垂直.

mua,nua,mn-Pa-La

。llb

a-Lm,a-Lnb-La

平面和平面垂直：两个平面垂直的判定定

两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,

理：如果一个平面经过另一个平面

那么在一个平面内直线垂直于另一个平面.

的——,那么两个平面互相垂直.

aL/3,a0=l,aua,a11=a10

*18.直线与圆的方程

定义法：已知直线的倾斜角为a,且a，90。，则斜率《=tana.；与X轴平行或重合时倾斜角为0°

倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线/,如果把X轴绕着交点按逆时针方向转到和直线/

重合时所转的最小正角记为&,那么蟆就叫做直线的倾斜角。

倾斜角为戊，倾斜角不是90°的直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率左，即左=tancr（tz#

90°）;倾斜角为90°的直线没有斜率；

概

直线的倾斜角a的范

念

直线方程法：ax+by+c=0的斜率k=~—

bo围是。万）

斜率

直线的方面回重法：4=（1,心若小（勿，Z7）为直线方向向量，则斜率

m

过两点（4%）%,%）的直线的斜率左=上%；

x-X]AL

2I

点差法：如1+（=1中，以尸（后,%）为中点弦斜率左=-"求导数；

abay0

点斜式已知直线过点（X。,%）斜率为k,则直线方程为y-%=Kx-X.）,它不包括垂直于X轴的直线.

斜截式已知直线在y轴上的截距为b和斜率k,则直线方程为y=kx+b,它不包括垂直于x轴直线.

两点式已知直线经过次为,"）、2（%,%）两点,则直线方程为2』=三;L,它不包括垂直于坐标轴直线

%一％X2-Xl

已知直线在X轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为-+^=1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过

截距式ab

原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成—+与+C=O（A,3不同时为0）的形式.

⑴直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）

圆

⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等O直线的斜率为-1或直线过原点；

的直线两截距互为相反数O直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等O直线的斜率为

直

方±1或直线过原点.

线

程提醒⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为

方0.直线两截距相等O直线的斜率为________或直线过________；直线两截距互为相反数O直线的

程

斜率为_______或直线过_________;直线两截距绝对值相等O直线的斜率为__________或直线

过______O

如：已知在aABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离

乘积的最大值是一j过点4（1,4）,且纵横截距的绝对值相等的直线共有一条3

（1）知直线纵截距b,常设其方程为丫=区+人；

（2）知直线横截距飞,常设其方程为x=my+/（它不适用于斜率为o的直线）；

设直线

方程的（3）知直线过点（飞,为），当斜率上存在时，常设其方程为丫=左5—%））+%,当斜率左不存在时，

一些常

用瀛则其方程为x=x0；

（4）与直线/:Ax+互y+C=O平行的直线可表示为Ax+By+G=0;

（5）与直线/:Ax+3y+C=0垂直的直线可表示为Bx—Ay+G=0.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解；

当不重合的两条直线Z,和/2的斜率存在时，lx〃/2O占=&；如果不重合直线和12的斜率都

位不存在，那么它们都与X轴垂直，则（〃4.

置平行

平行。92-4与=0且4c2-B2c产0（在y轴上截距）

关

系已知直线l{:x+ay+6=W2：（。一2）%+3丁+加=0,贝明///2的充要条件是________（a=-l）

当两条直线1]和1的斜率存在时，4_LOK,左2=一1；若两条直线hk中的一条斜率不存在，

垂直2

则另一条斜率为0时，它们垂直.

交点两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。

①过两直线交点的直线系方程可设为4工++G++为,+G)=o；

直线系

②与直线/:Ax+为+C=0平行的直线系方程可设为Av+为+m=0(根wc)；

方程

③与直线/:Ax+为+C=0垂直的直线系方程可设为Ay+〃=O.

*19.直线与圆的方程

点点距6(%，,),£(9,%)两点之间的距离由闾=J(%2—XT+(%—XT。

距点%)到直线Ar+或+C=0距离公式公、产。子

离点线距

…7A2+B2

Ax+By+C.=0^Ax+By+C=0平行线距离是d=」［一,』

线线距2

VA2+B2

AABCA(X，M),B(xfJ,C(x,,y),G(《十；十)，'+g+%).

点重心设三角形三顶点23则重心

点

点A关于直线L对称的点B：1)AB中点在L上；2)AB垂直直线L；

与

点关

于%一)二5

线

的

直线如：点A(4,5)关于直线/的对称点为B(—2,7),则1的方程是____；x0-xA

点

对称已知一束光线通过点A(―3,5),经直线/:3x—4y+4=0反射。如A0+E2±A+C=O

即神22

对果反射光线通过点B(2,15),则反射光线所在直线的方程是一_

称点(〃,万)关于二轴、y轴、原点、直线y=兄的对称点分别是(。，-人)，(一力，(-q-6),S,。).

①点(。))：/(2〃一羽2人一丁)=0；②x轴：/(%,-y)=0；③y轴：f(-x,y)=0；

对称的

曲线方④原点：f(-x,-y)=Q；⑤直线y=x：f(y,x)=0

⑥直线y=-x：/(-y,-x)=0；⑦直线x=a：f(2a-x,y)=0.

直定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。

线标准方程(x-a)2+(y-bp=，。提醒：只有当斤+后-4尸>0时，方程

22

与x2+y24-Dr+£^+F=0(D2+E2-4AF>0)x+y+Dx+Ey+F=0才表示圆心为

«),半径为；防+七2一4尸的圆

圆一般方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆

22

的oA=C^0,fiB=0,D+E-4AF>0).

圆匕丁,(8为参数)，圆的参数方程主要应用是三角换元：

方

参数方程[y=〃+rsm夕f+>2=—％=rcose,y=rsin6；

程其中圆心为(a,Z?),半径为r

直径方程以A(%,y)、3(九2，%)为直径的圆的方程(x-石)(%-％2)+(丁-乂)(丁一%)=。(AP*BP=0)

过(1,2)总能作出两条直线和已知圆,2+，+.+2〉+遥-15=0相切，求左的取值范围*e(-罕「3)u(2,7)

圆

与

点①(%+(%-力2>，。点尸在圆外；

方

和位置关系

②(尤o—a)?+(%—b)2<r2o点尸在圆内；

程

圆的判断

③(公—4+(%—4=/o点p在圆上.

相交相切相离

线代数法方程组有两组解方程组有一组解方程组无解

与

几何法d<rd-rd>r

圆

圆代数法方程组有两解方程组有一组解方程组无解

与

几何法彳一4<d<r+rd=rx+q或d=卜一目d>rx+q或dvrx.目

圆x2

点户(%,%)在圆V+V=/上,则过点P的切线方程为：xox+=r

圆上一点过圆(%-。)2+(，-32=/上一点尸(%为)切线方程为($_0)(%_〃)+(%_颂、_份=产.

切

的切线方

线

程过圆外一点的切线方程可设为y_%=Mx-X0)，再利用相切条件求k,这时必有两条

切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.

斜率为k的切线方程可设为y=+再利用相切条件求b,必有两条切线.

(x2+>2+、22=0

弦相交弦Dx+E}y+Fi)-(x+yD2x+E2y+F2)

切点弦以点p和圆心为直径构造一个圆，与原来的圆相交，制造相交弦事件

【注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】

*20.圆锥曲线的定义、方程与性质

几何性质

定义标准方程对称

范围顶点焦点离心率

性

平面内与两个定点耳，工的(土a,0)

7+铲-1(±c,0)

距离之和等于常数2a（大于yWZ;(0,土份

4心=2c）的点的轨迹叫

22y|wa(0,土a)椭圆中

做椭圆.匕+土=1(0,±c)a>c

22x\<b(土仇0)

椭lb2=cr—C2,a>blab0<e<l

圆椭圆焦点三角形：

X轴T

2共离心率的椭圆系的方程：方程

S^PFF=^tan—»（。=/耳尸工）；

arrir2222y轴e，

三+==0是大于0的参数，我们坐标a

ii.点M是内心，PA/交耳尸2于22

ab原点

点N,则1PMl=。：称为共离心率椭圆系方程.

\MN\c双曲线

平面内与两个定点片，工的匚匚1%|>6Z（土G。）

(土a,0)a<c

距离之差的绝对值等于常数a2b2-

圆yeRe>l

2a（小于闺闾=2c）的

锥

22

曲(0,±c)

点的轨迹叫做双曲线./y一%厂7i(0,+a)

线双[Z?2=c2—a2]XGR

的曲

渐近线方程y=±”或4-[=0求准线方程双曲线焦点三角形：

定线

aaba2

义，

X=±——Swicotg"NFg

22C

、共渐近线的双曲线系方程：工一”=4（2*0）的渐

方a2b2等轴双曲线：双曲线工2_/=±。2称为等轴双曲线，其渐近线

程22

近线方程为二一二二0

与方程为y=±x（渐近线互相垂直），离心率e=VI

性

质

i公式法；椭圆e='c=1+与，ii方程法：建立关于a,c的齐次;

a

如：已知点尸是双曲线£_口=1（°>0,6>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于X轴的.

a2b2

线与双曲线交于A、B两点,若是直角三角形，则该双曲线的离心率是_________2;

以等边三角形顶点AB为焦点的椭圆经过叫腰的中点，求其离心率：；勺1

焦半径：椭圆：阀|=a+酱质|=。-倏；抛物线焦点弦|A目={+苍+°=三通径空，2p,

弦