中考数学专项复习：几何变式探究和类比变换综合类问题

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用）

几何变式探究和类比变换综合类问题

【方法指导】

图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形

全等或相似的性质与判定，难度较大.此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行

类比解答.根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等.

解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、

方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形

结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.

【题型剖析】

【类型1】几何类比变换综合题

【例1】（2020•襄阳）在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。在边BC上，DELDAMDE=DA,AE

交边BC于点尸,连接CE.

（1）特例发现：如图1,当AO=A尸时，

①求证：BD=CF；

②推断：NACE=90°；

（2）探究证明：如图2,当AOWAF时，请探究/ACE的度数是否为定值，并说明理由；

EF1

（3）拓展运用：如图3,在（2）的条件下，当不=二时，过点。作AE的垂线，交AE于点尸，交AC

AF3

于点K,若CK=竽，求。产的长.

K

图1图2图3

【分析】（1）①证明△ABDgZXAC尸（A4S）可得结论.

②利用四点共圆的性质解决问题即可.

（2）结论不变.利用四点共圆证明即可.

（3）如图3中，连接EK.首先证明AB=AC=3EC,设EC=a,贝!IAB=AC=3a,在Rt/XKCE中，利

用勾股定理求出。，再求出。P,PF即可解决问题.

【解析】（1）①证明：如图1中,

'：AB=AC,

：.ZB^ZACF,

'：AD=AF,

：.ZADF=ZAFD,

：.ZADB=ZAFC,

:.△ABD注AACF(AAS),

：.BD=CF.

②结论：ZACE=90°.

理由：如图1中，'：DA=DE,ZADE=90°,AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZACD=ZAED=45a,

.,.A,D,E,C四点共圆，

AZADE+ZACE=180°,

；.NACE=90°.

故答案为90.

(2)结论：ZACE=90°.

理由：如图2中，

"：DA=DE,ZAD£=90°,AB=AC,ZBAC=90°,

ZACD=ZAED=45°,

.,.A,D,E,C四点共圆，

ZADE+ZACE=180°,

ZACE=9Q°.

(3)如图3中，连接EK.

VZBAC+ZACE=180°,

：.AB//CE,

ECEF1,16

一=一=一，设nEC=a,则nrAB=AC=3a,AK=3a—与,

ABAF33

,:DA=DE,DKLAE,

：.AP=PE,

；.AK=KE=3a-竽，

V£7C2=C^2+EC2,

(3a-学)2=(—)2+a2,

33

解得。=4或0(舍弃)，

；.EC=4,AB=AC=n,

：.AE=<AC2+EC2=V122+42=4V10,

：.DP=PA=PE=1A£=2A/10,EF=1A£=VlO，

:.PF=EF=VlO,

VZZ)PF=90°,

：.DF=y/DP2+PF2=(2V10)2+(VlO)2=5a.

【变式1-1](2020•黔东南州)如图1,△ABC和△DCE都是等边三角形.

探究发现

(1)△BC。与AACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由.

拓展运用

(2)若B、C、E三点不在一条直线上，ZADC=3Q°,A£)=3,CD=2,求的长.

(3)若8、C、E三点在一条直线上(如图2),且△ABC和△OCE的边长分别为1和2,求△ACD的面

积及A。的长.

【分析】(1)依据等式的性质可证明NBCr)=NACE,然后依据&4s可证明△ACE四△BCD；

(2)由(1)知：BD=AE,利用勾股定理计算AE的长，可得8。的长；

(3)如图2,过A作ABLCZ)于R先根据平角的定义得NACZ)=60°,利用特殊角的三角函数可得

AF的长，由三角形面积公式可得△AC。的面积，最后根据勾股定理可得的长.

【解析】(1)全等，理由是：

•；△ABC和△OCE都是等边三角形,

：.AC=BC,DC=EC,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即ZBCD=ZACE,

在△BCD和△ACE中,

CD=CE

乙BCD=Z-ACE,

BC=AC

AACE^ABCD(SAS)；

(2)如图3,由(1)得：△380/VICE,

：.BD=AEf

「△OCE是等边三角形，

：.ZCDE=60°,CD=DE=2,

VZADC=30°,

AZADE=ZADC+ZCDE=30°+60°=90°,

在RtZXADE中，AD=3fDE=2,

：.AE=yjAD2+DE2=V9T4=g,

：.BD=V13；

(3)如图2,过4作AF_LC£)于尸，

图2

:B、C、E三点在一条直线上,

AZBCA+ZACD+ZDCE=180°,

△ABC和△DCE都是等边三角形，

：.ZBCA=ZDCE=60°,

AZACD=60°,

在RtZXACb中，sinZACF=

AF=ACXsinZACF=1X=苧，

S/\ACD=2xCDxAF=2x2x

1i

CF^ACXcosZACF^lx^=^,

13

FD=CD-3=2—忘=I，

111

在RtAAFD中，AD=AF+FD^（尧+（|）2=3,

：.AD=V3.

【变式1-2］（2020•鞍山）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE,过点B作BFA.AE于点

G,交直线8于点?

AD

图1图2图3

(1)当矩形ABC。是正方形时，以点尸为直角顶点在正方形ABC。的外部作等腰直角三角形CPH,连

接EH.

①如图1,若点E在线段8C上，则线段AE与EH之间的数量关系是^位置关系是垂直；

②如图2,若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，

请说明理由；

(2)如图3,若点E在线段BC上，以BE和为邻边作平行四边形BEHRM是2"中点，连接GM,

A8=3,BC=2,求GM的最小值.

【分析】(1)①证明AABE空△8CF,得至ljBE=CF,AE=BF,再证明四边形8EH尸为平行四边形，从

而可得结果；

②根据(1)中同样的证明方法求证即可；

(2)说明C、E、G、尸四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设证明△ABEs

△BCF,得到CF,再利用勾股定理表示出£尸=居口二4x^4,求出最值即可得到GM的最小值.

【解析】(1)①•••四边形ABC。为正方形，

：.AB=BC,ZABC=ZBC£)=90°,ZBAE+ZAEB=90°,

'：AE±BF,

：.ZCBF+ZAEB=90°,

：.ZCBF=ZBAE,又AB=BC,NABE=NBCF=9Q°,

:.AABE出ABCF(A5A),

:.BE=CF,AE=BF,

,/丛FCH为等腰直角三角形，

：.FC=FH=BE,FH±FC,而CDLBC,

：.FH//BC,

四边形BEES为平行四边形，

:.BF〃EH且BF=EH,

:.AE=EH,AE.LEH,

故答案为：相等；垂直；

②成立，理由是：

当点E在线段BC的延长线上时，

同理可得：AABE咨ABCF(ASA),

：.BE=CF,AE=BF,

'：AFCH为等腰直角三角形，

：.FC=FH=BE,FH±FC,而CDJ_BC,

：.FH//BC,

二四边形BE族为平行四边形，

；.BF〃EH且BF=EH,

：.AE=EH,AELEH-,

(2)'：ZEGF=ZBCD=90°,

：.C、E、G、F四点共圆，

:四边形BEH尸是平行四边形，M为①/中点,

也是EF中点，

M是四边形GECF外接圆圆心，

则GM的最小值为圆M半径的最小值，

"：AB=3,BC=2,

设则C£=2-x,

同(1)可得：/CBF=/BAE,

又・・・NA3E=N3C/=90°,

・•・△AB—△sc—

ABBE3X

--=---,即-=—,

BCCF2CF

2x

：.CF=

：.EF=yJCE2+CF2=22—4x+4,

设y=-g-x2—4%+4,

当x=正时，y取最小值不,

工。13

4V13

的最小值为不一

故GM的最小值为等.

【变式1-3］（2020•赤峰）如图，矩形ABC。中，点尸为对角线AC所在直线上的一个动点，连接尸£）,过

点尸作PELP。，交直线A8于点E,过点交直线C£）于点M,交直线于点N.AB=

4V3,AD=4.

（1）如图1,①当点尸在线段AC上时，和NEPN的数量关系为：ZPDM=ZEPN；

DP_

②而的值是一百一；

(2)如图2,当点尸在C4延长线上时，(1)中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明

理由；

(3)如图3,以线段产。，PE为邻边作矩形PEED.设PM的长为x,矩形的面积为y.请直接写

出y与x之间的函数关系式及y的最小值.

【分析】(1)①利用等角的余角相等证明即可.

②证明NCAB=30°,推出NPOE=NCA2=30°即可.

(2)结论成立.证明方法类似②.

(3)利用相似三角形的性质求出DM,利用勾股定理求出PD,再利用(2)中结论.求出PE,即可解

决问题.

【解析】(1)①如图1中，

•••四边形ABCD是矩形,

.,.AB//CD,

'：NM±AB,

C.NMLCD,

•：DP_LPE,

：.ZPMD=ZPNE=ZDPE=90°,

：・NPDM+NDPM=90°,ZDPM+ZEPN=90°,

：.ZPDM=ZEPN.

故答案为=.

②连接。石・・・•四边形ABC。是矩形,

：.ZDAE=ZB=90°,AD=BC=4.

・•・+tanz/_…CAn_=BC

.•.ZCAB=30°,

VZDAE+ZZ)PE=180°,

・・・A,D,P,E四点共圆，

：.ZEDP=ZPAB=30°,

PEV3

—=tan30°

PD百'

PD

PE

(2)如图2中，结论成立.

理由：连接

*：ZDPE=ZDAE=90°,

・・・A,D,E,尸四点共圆,

；・/PDE=/EAP=/CAB=30°,

DP1

/.—=----------=y/3r.

PEtan30°

(3)如图3中，由题意PA/=x,MN=4-x,

•:/PDM=NEPN,ZDMP=ZPNE=90°,

：・/\DMPs丛PNE,

DMPMPD

PN~ENPE

DMX

4-x~EN

F5

：.DM=V3(4-x),EN=TX,

：.PD=y/DM2+PM2=[V3(4-x)]2+x2=2V%2-6x+12,

PE=gpD=空75-6x+12,

：.y=PD'PE=竽(x2-6x+12)=竽/-8百x+16百(x>0),

•.•尸竽(尤-3)2+4V3,

4V3

"?一>0,

3

.•.当x=3时，y有最小值，最小值为4g.

【类型2】几何旋转变换综合题

V2

【例2】(2020•锦州)己知△AOB和△MON都是等腰直角三角形JOA<OM=ON),NAOB=NMON

90°.

(1)如图1：连AM,BN,求证：丛AOMq工BON；

(2)若将△MON绕点。顺时针旋转，

①如图2,当点N恰好在AB边上时，求证：B吕士人萍=20a；

②当点A,M,N在同一条直线上时，若。8=4,ON=3,请直接写出线段8N的长.

【分析】(1)根据SAS证明三角形全等即可.

(2)②连接AM,证明AM=8N,ZMAN=90°,利用勾股定理解决问题即可.

②分两种情形分别画出图形求解即可.

【解析】(1)证明：如图1中,

图1

VZAOB^ZMON^90°,

：.ZAOM=ZBON,

"：AO=BO,OM=ON,

：./\AOM^^BON(SAS).

(2)①证明：如图2中，连接AM.

图2

同法可证△AOMg/kBON,

：.AM=BN,ZOAM=ZB=45°,

'：ZOAB=ZB=45°,

：.NMAN=ZOAM+ZOAB=9Q°,

.•.AW2=A/V2+AM2,

：△MON是等腰直角三角形,

.,.加炉=20解，

:.N，+A心■MZON'1.

②如图3-1中，设。4交BN于J,过点。作O〃_LMN于H.

：.AM=BN,ZOAM=ZOBN,

,//AJN=ZBJO,

:.NANJ=NJOB=9Q°,

•：OM=ON=3,NMON=90°,OH±MN,

:.MN=3近,MH=HN-OH=登,

：.AH^VOX2-OH2=J42-（苧尸=孚,

：.BN=AM=MH+AH=闻;③鱼

如图3-2中，同法可证AM=BN=同7..

B

N

图3-2

【变式2-1](2020•沈阳)在△ABC中，AB=AC,N8AC=a，点尸为线段CA延长线上一动点，连接尸8,

将线段P8绕点尸逆时针旋转，旋转角为a,得到线段尸连接。8,DC.

(1)如图1,当a=60°时，

①求证：PA=DC-,

②求的度数；

(2)如图2,当a=120°时，请直接写出B4和。C的数量关系.

/QH/O

(3)当a=120°时，若AB=6,BP=V31;请直接写出点。到C尸的距离为一或——.

-2-2―

【分析】(1)①证明△PA4也△OBC(5AS)可得结论.

②利用全等三角形的性质解决问题即可.

(2)证明△CBDs/vigp,可得安=—=«解决问题.

PAAB

(3)分两种情形，解直角三角形求出CO即可解决问题.

【解析】(1)①证明：如图1中,

・・,将线段尸8绕点尸逆时针旋转，旋转角为a,得到线段尸Q,

：・PB=PD,

*：AB=AC,PB=PD,ZBAC=ZBPD=60°,

/.AABC,△PBD是等边三角形,

ZABC=ZPBD=60°,

：.ZPBA=ZDBC,

•:BP=BD,BA=BC,

:ZBAQ4DBC(SAS),

：.PA=DC.

②解：如图1中，设交尸c于点o.

VAPBA^ADBC,

・•・NBFA=NBDC,

■:/BOP=/COD,

：.ZOBP=ZOCD=60°,即NOCP=60°.

(2)解：结论：CD=WPA.

理由：如图2中,

D

图2

'：AB=AC,PB=PD,ZBAC=ZBPD=120°,

：.BC=2-AB-cos30°=V3BA,BD=2BP«cos30°=WBP,

BCBD

：.—=—=Vr3,

BABP

VZABC=ZPBD=3Q°,

：.NABP=NCBD,

：.4CBDs丛ABP,

.CDBC

"PA~AB

：.CD=V3E4.

(3)过点。作。M_LPC于过点8作BALLCP交CP的延长线于N.

如图3-1中，当是钝角三角形时，

图3-1

在RtZXABN中，,:NN=90°,AB=6,ZBAN=60°,

：.AN=AB'cos60°=3,BN=AB«sin60°=3百,

,:PN=7PB2—BN?=V31-27=2,

：.PA=3-2=1,

由（2）可知，CD=V3M=V3,

■:/BPA=/BDC,

：.ZDCA=ZPBD=30°,

：.DM=%D=孚

如图3-2中，当△A8尸是锐角三角形时，同法可得以=2+3=5,CD=5V3,DM=^CD=

图3-2

综上所述，满足条件的。M的值为©或旦夕.

22

故答案为F或零.

22

【变式2-2］（2020•葫芦岛）在等腰△AOC和等腰△8EC中，ZADC=ZBEC=9Qa,BC<CD,将△BEC

绕点C逆时针旋转，连接48,点。为线段A8的中点，连接。O,EO.

（1）如图1,当点B旋转到C。边上时，请直接写出线段。。与E。的位置关系和数量关系；

（2）如图2,当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，

请说明理由；

（3）若BC=4,CD=2巡,在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当/ACB=60°时，请直接写出线

段OD的长.

【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出OE=OA=3B,进而得出NBOE=2N

BAE,同理得出。方=04=%2,ZDOE=2ZBAD,即可得出结论;

（2）先判断出△AOM丝△BOE（SAS）,得出/M4O=/EB。，MA=EB,再判断出/DCE,

进而判断出△MAD注△£r€»,即可得出结论;

（3）分点3在AC左侧和右侧两种情况，类似（2）的方法判断出OD=OE,即可得出结论.

【解析】（1）DOLEO,DO=EO；

理由：当点8旋转到。边上时，点E必在边AC上,

AZAEB=ZCEB=90°,

在中，点。是A8的中点,

JOE=OA=

：・/BOE=2NBAE,

在RtZkA50中，点。是A3的中点,

：.OD=OA=^AB,

:・/DOE=2/BAD,

：.OD=OE,

•・•等腰△AOC,且NADC=90°,

：.ZDAC=45°,

AZDOE=ZBOE+ZDOE=2ZBAE+2ZBAD=2(ZBAE+ZDAE)=2ZDAC=90°,

JOD±OE；

(2)仍然成立，

理由：如图2,延长E0到点使得OM=OE,连接AM,DM,DE,

TO是A3的中点，

；.OA=OB,

丁ZAOM=ZBOEf

：.AAOM^ABOE(SAS),

:・/MAO=/EBO,MA=EB,

••.△AC。和△C5E是等腰三角形，ZADC=ZCEB=90°,

AZCAD=ZACD=ZEBC=ZBCE=45°,

VZOBE=180°-ZEBC=135°,

・・・NMAO=135°,

・•・ZMAD=ZMAO-ZZ)AC=90°,

VZDCE=ZDCA+ZBCE=90°,

NMAD=/DCE,

•：MA=EB,EB=EC,

：.MA=EC,

*：AD=DC,

:.MD=ED,ZADM=ZCDE,

*：ZCDE^-ZADE=90°,

AZADM+ZADE=90°,

AZMDE=90°,

■:MO=EO,MD=DE,

1

：.OD=^ME,ODLME,

1

*：OE=^ME,

：.OD=OE,OD±OE；

(3)①当点5在AC左侧时，如图3,

延长EO到点M,使得OM=OE,连接AM,DM,DE,

同(2)的方法得，LOBE咨LOAM(SAS),

：.ZOBE=ZOAM,OM=OE,BE=AM,

•：BE=CE,

：.AM=CE,

在四边形ABECD中，NADC+/DCE+/BEC+NOBE+/BAD=540°,

VZADC=ZBEC=90°,

：.ZDCE=540°-90°-90°-ZOBE-ZBAD=360°-ZOBE=360°-ZOAM-ABAD,

VZDAM+ZOAM+ZBAD=360°,

：.ZDAM=36Q°-ZOAM-ABAD,

；・NDAM=/DCE,

*：AD=CD,

：.ADAM^/\DCE(SAS),

:.DM=DE,ZADM=ZCDE,

：.ZEDM=ZADM+ZADE=ZCDE+ZADE=NAQC=90°,

・：OM=OE,

AOD=OE=^ME,ZDOE=W°,

在RtZXBCE中，CE=^BC=2

过点E作EHLDC交DC的延长线于H,

在RtZkCHE中，ZECH=180°-ZACD-ZACB-ZBCE=180°-45°-60°-45°=30°

：.EH=^CE=V2,

根据勾股定理得，CH=V3EW=V6,

：.DH=CD+CH=346,

在RtADHE中，根据勾股定理得，DE=y/EH2+DH2=2V14,

：.OD=^DE=2V7,

②当点8在AC右侧时，如图4,

同①的方法得，OD=OE,ZDOE=9Q°,

连接OE,过点E作即，CD于8,

在RtZXEHC中，ZECH=30°

：.EH=^CE=V2,

根据勾股定理得，CH=V6,

：.DH=CD-CH=V6,

在RtZWHE中，根据勾股定理得，DE=2®

/o

：.OD=^DE=2,

即：线段0D的长为2或2位.

图3

M

4、

【变式2-3】（2020•潍坊）如图1,在△ABC中，ZA=90°,AB=AC=&+1,点。，E分别在边48,AC

上，且AZ）=AE=1,连接。E.现将△&£>£1绕点A顺时针方向旋转，旋转角为a（0°<a<360°）,如

图2,连接CE,BD,CD.

（1）当0°<a<180°时，求证：CE=BD；

（2）如图3,当a=90°时，延长CE交2。于点R求证：CF垂直平分BZ）；

（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角a的度数.

【分析】（1）利用“SAS”证得△ACEgAW。即可得到结论;

（2）利用“SAS”证得推出NACE=NABD,计算得出CD=BC=&+2,利用等腰

三角形“三线合一”的性质即可得到结论；

（3）观察图形，当点。在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，利用等腰直角三角

形的性质结合三角形面积公式即可求解.

【解析】（1）证明：如图2中，根据题意：AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZEAD=90°,

VZCAE+ZBAE=ZBAD+ZBAE=90°,

:./CAE=/BAD,

在AACE1和△A3。中,

AC=AB

Z-CAE=Z-BADJ

AE=AD

：.AACE^AABD(SAS),

：.CE=BD；

(2)证明：如图3中，根据题意：AB=AC,AD=AE9ZCAB=ZEAD=90°,

在AACE■和△ABO中，

AC=AB

Z-CAE=Z-BAD，

AE=AD

：.AACE^AABD(SAS),

JZACE=/ABD,

VZACE+ZAEC=90°,且NAEC=NbE8,

；・NABD+NFEB=90°,

：.ZEFB=9Q°,

：.CF±BD,

VAB=AC=V2+1,AD=AE=1,ZCAB=ZEAD=90°,

・•・BC=V2AB=V2+2,CD=AC+AD=V2+2,

:・BC=CD,

VCFXBZ),

：.CF是线段BD的垂直平分线；

(3)解：△BCD中，边的长是定值，则边上的高取最大值时△5CZ)的面积有最大值,

，当点。在线段8c的垂直平分线上时，△8C。的面积取得最大值，如图4中:

图4

V2+1,AD=AE=1,ZCAB=ZEAD=9Q°,DGLBC^G,

：.AG=^BC=^2,ZGAB=45°,

：.DG=AG+AD^^2+1=ZZ)AB=180°-45°=135°,

»—，11rV2+43V2+5

:ABCD的面积的最大值为：-BC-DG=-(V2+2)(0—)=---,

旋转角a=135°.

【变式24](2020•鄂尔多斯)⑴【操作发现】

如图1,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上.

①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°,点8的对应点为点方，点C的对应点为点

C.连接;

②在①中所画图形中，ZAB'B=45°.

(2)【问题解决】

如图2,在Rt^ABC中，BC=1,NC=90°,延长CA到。，使CD=1,将斜边A2绕点A顺时针旋转

90°至UAE,连接。E,求NADE的度数.

(3)【拓展延伸】

如图3,在四边形ABC。中，AELBC,垂足为E,ZBAE=AADC,BE=CE=\,CD=3,AD=kAB(k

为常数)，求8。的长(用含左的式子表示).

【分析】(1)①根据旋转角，旋转方向画出图形即可.

②只要证明△ABB'是等腰直角三角形即可.

(2)如图2,过点E作E7九LCD交的延长线于H.证明△ABC丝△£4H(44S)即可解决问题.

(3)如图3中，由AE_LBC,BE=EC,推出48=AC,将绕点A逆时针旋转得到AACG,连接

DG.则BD=CG,只要证明/GDC=90°,可得CG='DG2+CD?,由此即可解决问题.

【解析】(1)①如图1中，AAB'C'即为所求.

图1

②由作图可知，AABB，是等腰直角三角形,

ZAB'8=45°,

故答案为45.

(2)如图2中，过点E作由，CO交CO的延长线于

B

图2

•；NC=NBAE=NH=90°,

：.ZB^ZCAB=90°,ZCAB+ZEAH=90°,

・•・NB=NEAH,

VAB=AE,

AAABC^AEAH(AAS),

:・BC=AH,EH=AC,

•：BC=CD,

：.CD=AH,

：.DH=AC=EH,

:・/EDH=45°,

AZAZ)E=135°.

(3)如图3中，连接AC,

VAEXBC,BE=EC,

：.AB=AC,

将△ABO绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接。G.则BQ=CG,

G

ZBAD=ZCAG,

：.ZBAC=ZDAG,

VAB=AC,AD=AG,

：.ZABC=ZACB=ZADG=ZAGD.

：.△ABCs—

9：AD=kAB,

:,DG=kBC=2k,

9：ZBAE+ZABC=90°,NBAE=NADC,

：.ZADG^-ZADC=90°,

：.ZGDC=90°,

JCG=<DG2+CD2=V4/c2+9.

：.BD=CG=V4k2+9.

【类型3］几何翻折变换综合题

【例3】（2020•南通）矩形A3C。中，AB=8,AD=12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为。£

AD

（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP,求二的值；

（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交于点凡求8尸的长.

【分析】（1）如图①中,取DE的中点M,连接PM.证明△POMs^nCP,利用相似三角形的性质求

解即可.

（2）如图②中，过点P作GH〃2C交于G,交CD于H.设EG=尤，则BG=4-x.证明△EGPs

EGPGEP41

△PHD,推出——=—=——推出PG=2EG=3x,DH^AG^4+x,在RtAPHD中，由

PHDHPD123

PH2+Dfi2=Pb1,可得（3x）2+（4+无）2=122,求出x,再证明△EGPSAEBR利用相似三角形的性质

求解即可.

【解析】（1）如图①中，取DE的中点M,连接PW.

•.•四边形ABCO是矩形,

：.ZBAD=ZC=90°,

由翻折可知，AO=OP,AP1DE,Z2=Z3,ZDAE=ZDPE=90°,

在RtZ\EPD中，:EM=MD,

：.PM=EM=DM,

：./3=ZMPD,

：.Zl=Z3+ZMPD=2Z3,

ZADP=2Z3,

：.Zl=ZADP,

\'AD//BC,

：.ZADP=NOPC,

：.Z1=ZDPC,

*：ZMOP=ZC=90°,

；・/\POMs/\DCP,

・poCD82

-f

PM~PD~123

・AP2P02

.•DE~2PM_3,

4PAB2

解法二：证明AAB尸和△DAE相似，一=—=一.

DEDA3

(2)如图②中，过点尸作GH〃3C交A3于G,交CD于H.则四边形AGHO是矩形，设EG=x,则

BG=4-x

VZA=ZEPD=90°,ZEGP=ZDHP=90°,

AZEPG+ZZ)PH=90°,NDPH+NPDH=90°,

:・/EPG=/PDH,

:•△EGPs^PHD,

.EGPGEP41

・'PH~DH~PD~12~3

:・PH=3EG=3x,DH=AG=4+x,

,122

在RtzXPHD中，\PH+DH=PDf

/.(3x)2+(4+x)2=122,

解得了=善(负值已经舍弃)，

•,-BG=4-¥=1

___________12

在RtAEGP中，GP=>JEP2-EG2=

9：GH//BC,

:•△EGPs^EBF,

.EGGP

••—,

EBBF

1612

・_5_____5_

••一,

4BF

:.BF=3.

【变式3-1］（2020•无锡）如图，在矩形中，AB=2,AD=1,点E为边C£＞上的一点（与C、。不

重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME,延长ME交于点P,记四边形

的面积为S.

（1）若。E=字，求S的值；

（2）设。E=x,求S关于尤的函数表达式.

B

【分析】（1）根据三角函数的定义得到NAED=60°,根据平行线的性质得到NBAE=60°,根据折叠

的性质得到NAEC=NAEM,推出为等边三角形，于是得到结论；

（2）过E作E/tLAB于R由（1）可知，ZA£P=ZA£D=ZPAE,求得AP=PE,设AP=PE=a,AF

=ED=x,贝i]PP=a-x,EF=AD=1,根据勾股定理列方程得到a=曾，于是得到结论.

【解析】⑴：在矩形ABC。中，/。=90。，AD=1,DE=与,

：.AE=VXD2+DE2=孥，

/.tanAAED==V3,

ZAED=6Q°,

\9AB//CD,

：.ZBAE=60°,

•・•四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME,

：.ZAEC=ZAEM,

•；NPEC=NDEM,

：.ZAEP=ZAED=60°,

•••△APE为等边三角形,

12>/3V3J3

S=5X(-----+—)X1=

2332

(2)过E作ERL48于凡

由(1)可知，ZAEP=ZAED=APAE,

：.AP=PE,

设AP=P£=a,AF=ED=x,

贝|PP=a-x,EF=AD=1,

在RtZXPEP中，(a-x)2+1=/,解得：°=M±1,

【变式3-2］（2020•深圳）如图，矩形纸片ABC。中，A2=6,BC=12.将纸片折叠，使点2落在边AD的

延长线上的点G处，折痕为EF,点E、F分别在边AD和边8c上.连接BG,交。于点K,FG交CD

于点给出以下结论：

®EF±BG；

②GE=GF；

@/\GDK和△GKH的面积相等；

④当点尸与点C重合时，ZDEF=75°,

其中正确的结论共有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】连接BE，设EF与BG交于点0,由折叠的性质可得所垂直平分2G,可判断①；由“ASA”

可证△BO尸丝△GOE,可得BF=EG=GF,可判断②；通过证明四边形8EGF是菱形，可得/BEF=/

GEF,由锐角三角函数可求NAEB=30°,可得/£＞所=75°,可判断④，由题意无法证明△GDK和4

GK4的面积相等，即可求解.

【解析】如图，连接BE,设E尸与BG交于点O,

•••将纸片折叠，使点2落在边的延长线上的点G处,

...所垂直平分BG,

J.EFLBG,BO=GO,BE=EG,BF=FG,故①正确，

".'AD//BC,

:.NEGO=NFBO,

又,：/EOG=/BOF,

:.△BOF出AGOE(ASA),

：.BF=EG,

：.BF=EG=GF,故②正确,

•:BE=EG=BF=FG,

・・・四边形BEG尸是菱形,

:・/BEF=/GEF,

当点方与点。重合时，贝1]8b=3。=8£=12,

VsinZAEB=普=七=2，

AZAEB=30°,

：.ZDEF=15°,故④正确，

•・・3G平分NEGR

:・DG丰GH,

DGDK

由角平分线定理，—，

GHKH

:・DK#KH,

SAGDK羊SAGKH,

故③错误；

故选：C.

【变式3-3］（2020•广东）如图，在正方形ABC。中，AB=3,点、E,尸分别在边AB,CD上，ZEFD=60°.若

将四边形E3CB沿斯折叠，点"恰好落在边上，则8E的长度为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【分析】由正方形的性质得出NEED=N8E尸=60°,由折叠的性质得出在方=60°,BE=

BE设则AE=3-x,由直角三角形的性质可得：2(3-x)=x,解方程求出x即可得

出答案.

【解析】,・•四边形A3C。是正方形，

：.AB//CD,ZA=90°,

：.ZEFD=ZBEF=60°,

•・•将四边形防C尸沿跖折叠，点8恰好落在AO边上，

：.ZBEF=ZFEB'=60°,BE=B，E,

・・・NAE3'=180°-ZBEF-AFEB'=^°,

：.B,E=2AE,

BE=x,贝ijHEfAE=3-xf

：.2(3-x)=x,

解得x=2.

故选：D.

【达标检测】

1.(2020•包头)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,RtZkABC绕点C按顺时针方向旋

转得到Rt^A'B'C,A'C与AB交于点D

(1)如图1,当A'B'〃AC时，过点B作5E_LA'C,垂足为E,连接AE.

①求证：AD=BD；

②求燮里的值；

SAABE

DN

(2)如图2,当A'CLAB时，过点。作。"〃A'B',交B'C于点N,交AC的延长线于点M,求—

NM

的值.

【分析】(1)①由平行线的性质和旋转性质得A'C=ZA'CA=ZBAC,CD=AD,再证明CD

=80便可得结论；

②证明△2E'CSA4CB得CE与CD的关系，进而得SAACE与S^ADE的关系，由。是的中点得S^ABE

=2SAADE,进而结果；

MNCN

(2)证明CN〃A3得△MCNsZUM。，得一=—,应用面积法求得CQ,进而求得AD,再解直角三

MDAD

角形求得CN,便可求得结果.

【解析】(1)①・・0B'//AC,

:,/B'A'C=ZArCA,

VZB,A'C=ZBAC,

：.ZA1CA=ZBAC,

:・AD=CD,

VZACB=90°,

：.ZBCD=90°-/ACO,

VZABC=900-ABAC,

:・NCBD=/BCD,

：.BD=CD,

：.AD=BD；

@VZACB=90°,BC=2,AC=4,

：.AB=V22+42=2^5,

VBEXCD,

：.ZBEC=ZACB=90°,

・；/BCE=NABC,

:•△BECsXACB,

CEBCCE2

—=-，即—=—尸，

BCAB22V5

.-.CE=|V5,

VZACB=90°,AD=BD,

：.CD=^AB=V5,

2

CE=考CD,

.2

••S^ACE—'^S/\ADEf

9：AD=BD,

SAABE=ZSAADE,

,SbACE1

..------=一;

SLABE3

(2)9：CD±AB,

：.ZADC=90°=ZA'CB',

：.AB//CNf

，丛MCNs丛MAD,

.MN_CN

MD~AD"

11

■:S〉ABC=专AB-CD=^AC-BC,

.,,_AC,BC4x2Vs,

•，CD=FF=

______________o

：.AD=y/AC2-CD2=|V5,

9：DM//A'B'，

：.ZCDN=ZA'=NA,

BC4/-22

/.CN=CD•tanZCDN=CD•tanA=CD•—=x-=r

AC545

.MN|V5i

/，MD=%=7

DN

/.----=3.

NM

2.（2020•吉林）能够完全重合的平行四边形纸片ABC。和AEFG按图①方式摆放，其中AO=AG=5,AB

=9.点。，G分别在边AE,AB上，C。与尸G相交于点凡

【探究】求证：四边形AGEffi）是菱形.

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD,将平行四边形纸片AEBG绕着点A顺时针旋转一定的

角度，使点尸与点C重合，如图②.则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为二^.

【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点8重合,

4

连接。G,CF,如图③，若sin/8AO=5，则四边形DCFG的面积为72

图①图②图③

【分析】【探究】先由平行四边形的性质得AE〃GF,DC//AB,进而得四边形AGHD是平行四边形，再

结合邻边相等，得四边形AGH。是菱形；

【操作一】这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和实际为平行四边形4BCQ和平行四边形AEFG

的周长和，由此求得结果便可；

【操作二】证明△AM。2AIMG得/AMD=/AMG=90°,解Rt/XADM得DM,再证明四边形。CFG

为矩形，由矩形面积公式求得结果.

【解析】【探究】•.•四边形"CD和AEFG都是平行四边形，

：.AE//GF,DC//AB,

：.四边形AGHD是平行四边形,

'：AD=AG,

二四边形AG7TO是菱形；

【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为:

ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF=(ME+AM+AG+EF+NF+GN)+

(AD+BC+DM+MC+AN+BN)=2(AE+AG)+2CAB+AD)=2*(9+5)+2X(9+5)=56,

故答案为：56；

【操作二】由题意知，AD=AG=5,ZDAB=ZBAG,

又AM=AM,

：.AAMD^AAMG(SAS),

：.DM=GM,ZAMD=ZAMG,

VZAMD-^-ZAMG=180°,

AZAMD=ZAMG=90°,

4