新高考2025届高三数学入学调研试题四

PAGE好教化云平台高三入学调研卷第=*2-13页（共=sectionPages2*24页）好教化云平台高三入学调研卷第=page2*24页（共=sectionPages2*24页）PAGE1（新高考）2025届高三数学入学调研试题（四）留意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔干脆答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，集合，则（）A． B． C． D．2．复数满足，其中为虚数单位，则复数（）A． B． C． D．3．已知，则（）A． B． C． D．4．已知向量，向量，若，则实数（）A． B． C． D．5．已知正方体的棱长为1，则直线与直线所成角的余弦值为（）A． B． C． D．6．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间。其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子擅长织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同。已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（）尺．A． B． C． D．8．依据中心关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于供应健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行熬炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以依据不同人的体质，制定不同的健身安排．小明依据Keep记录的2024年1月至2024年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图．依据该折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步里程最小值出现在2月B．月跑步里程逐月增加C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小10．已知函数，下列结论不正确的是（）A．函数图像关于对称B．函数在上单调递增C．若，则D．函数的最小值为11．下列选项中正确的是（）A．不等式恒成立 B．存在实数，使得不等式成立C．若为正实数，则 D．若正实数满足，则12．在空间中，已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（）A．若，且，，则B．若，且，，则C．若与相交，且，，则与相交D．若，且，，则第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在点的切线方程为_________．14．二项式的绽开式中的系数是_________．15．若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是_______．16．已知，则______（用表示）；______．（用整数值表示）．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）从①，②，③这三个条件中任选一个补充到下面问题中．已知等差数列的公差为，前项和为，递减的等比数列的公比为．是方程的两个实数根，且，．（1）求和；（2）若，求证：．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）在中，内角所对的边分别为．已知，．（1）求的值；（2）求的值．19．（12分）如图，四棱锥中，，，，为正三角形，且．（1）证明：直线平面；（2）若四棱锥的体积为，是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．20．（12）设为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（1）求、、的值；（2）求函数的单调递增区间，极大值和微小值，并求函数在上的最大值与最小值．21．（12分）已知椭圆（）的一个焦点为，且该椭圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点、，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．22．（12分）已知6名某疾病病毒亲密接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，须要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康．（1）若从这6名亲密接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者．（i）实行逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；（ii）实行平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望．你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由．PAGE（新高考）2025届高三入学调研试卷数学（四）答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由题意可得，，所以，故选A．2．【答案】C【解析】，故选C．3．【答案】A【解析】，故选A．4．【答案】B【解析】由已知得，，故选B．5．【答案】C【解析】连接，则，可知是正三角形，，故选C．6．【答案】D【解析】由题知双曲线的一条渐近线方程为，则，，，故选D．7．【答案】B【解析】由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为，首项，，可得，解之得，故选B．8．【答案】A【解析】先从4个专家中选2个出来，看成1个专家有种选法，再将捆绑后的专家分别派到3个县区，共有种分法，故总共有种派法．其中甲、乙两位专家派遣至同一县区有种，其概率为，故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．【答案】ACD【解析】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，改变比较平稳，故D正确，故选ACD．10．【答案】BCD【解析】由题意可得，函数图象如下所示：故对称轴为，，故A正确；明显函数在上单调递增，上单调递减，故B错误；当，时函数取得最小值，故D错误；要使，则，则或，或，，所以或，，故C错误，故选BCD．11．【答案】BCD【解析】不等式恒成立的条件是，，故A不正确；当为负数时，不等式成立．故B正确；由基本不等式可知C正确；对于，当且仅当，即，时取等号，故D正确，故选BCD．12．【答案】AC【解析】若，且，，即两平面的法向量平行，则成立，故A正确；若，且，，则与相互平行或相交或异面，故B错误；若相交，且，，即两平面的法向量相交，则相交成立，故C正确；若，且，，则与平行或相交，故D错误，故选AC．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】，，因此切线方程为．14．【答案】【解析】绽开式的第项为，故令，即，所以的系数为．15．【答案】9【解析】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故M点到y轴的距离是9．16．【答案】，【解析】，，故答案为；．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】（1）由方程，解得，所以或，由，解得，当，时，，，，等比数列递增，舍去；当，时，，，，等比数列递减，符合题意，∴，．（2）记，若选①，则，，∴，∴，得证．若选②，，∴，得证．若选③，∴，∴，得证．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即，又因为，得到，，由余弦定理可得．（2）由（1）可得，从而，，故．19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1），且，，又为正三角形，所以，又，，所以，又，，，，所以平面．（2）设点到平面的距离为，则，依题可得，以为原点，直线、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，分别求出各点的坐标和向量，由（1）可知平面，故向量是平面的一个法向量，则向量与向量所成的角或其补角与直线与平面所成的角互余．则，，，，则，设，由，，可得，解得，，即，所以，又由（1）可知，是平面的一个法向量，∴，所以直线与平面所成角的正弦值为．20．【答案】（1），，；（2）见解析．【解析】（1）为奇函数，，即，，的最小值为，，又直线的斜率为，因此，故，，．（2），，列表如下：所以函数的单调递增区间为和，的极大值为，微小值为，又，，所以当时，取得最小值为；当时，取得最大值．21．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）法1：【待定系数法】由题意可得，又因为点在椭圆上，得，联立解得，，所以椭圆的方程为．法2：【定义法】设另一个焦点为，则为直角三角形，由勾股定理得，所以，即，由，得，所以椭圆的方程为．（2）当直线为非轴时，可设直线的方程为，与椭圆联立，整理得．由，设，，定点(且，则由韦达定理可得，．直线与直线恰关于轴对称，等价于，的斜率互为相反数，所以，即得，又，，得，，所以，整理得，从而可得，即，所以当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立；特殊地，当直线为轴时，也符合题意，综上，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称．22．【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析，；（ii）按分2组，，按分3组，．【解析】（1）6名亲密接触者中随机抽取3名共有种方法，抽取3名中有感染者的抽法共有种方法，所以抽到感染者的概率．（2）（i）按逐一化验法，的可能取值是1，2，3，4，5，，，，，，【表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性（即不检验可确定第6个样本为阳性）】分布列如下：所以．（ii）平均分组混合化验，6个样本可按平均分成2组或者按分成3组