全国统考2025版高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲二次函数与幂函数1备考试题文含解析

其次章函数概念与基本初等函数Ⅰ第三讲二次函数与幂函数练好题·考点自测1.下列说法正确的个数是()①二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值肯定是4ac②二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不行能是偶函数.③二次函数y=x2+mx+1在[1,+∞)上单调递增的充要条件是m≥-2.④幂函数的图象不行能出现在第四象限.⑤当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.⑥若幂函数y=xn是奇函数,则y=xn是增函数.A.2 B.3 C.4 D.52.[2024浙江,5,4分]若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关图2-3-13.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图2-3-1所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c4.[2024江苏,7,5分]已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x23,则f(-8)的值是5.[2024上海,7,5分]已知α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α拓展变式1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且在x轴上截得的线段长为2,若对随意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=.

2.(1)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“在0≤x≤1时有最小值2”,则实数a的取值范围为.

(2)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“f(x)≤2在[0,1]上恒成立”,则实数a的取值范围为.

(3)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“f(x)≥2在[a,a+1]上恒成立”,则实数a的取值范围为.

3.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],则实数a的值为;

(2)若f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,且对随意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数a的取值范围为.

4.(1)[2024全国卷Ⅱ,10,5分][文]设函数f(x)=x3-1x3,则f(x)(A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减(2)若(2m+1)12>(m2+m-1)12,则实数5.(1)若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(1,4)内存在零点,则实数m的取值范围是.

(2)若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一个根在0和1之间,另一个根在1和2之间,则实数k的取值范围是.

答案其次章函数概念与基本初等函数Ⅰ第三讲二次函数与幂函数1.B因为x的取值有范围限制,所以函数最值不肯定是4ac-b24a,故①错误;当b=0时,二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)为偶函数,故②错误;由-m2≤1得,m≥-2,故③正确;由幂函数的图象与性质可知④⑤正确;当n=-1时,幂函数2.B由题意得f(x)=(x+a2)2-a24+b,分状况探讨:①当0≤-a2≤1时,f(x)min=m=f(-a2)=-a24+b,f(x)max=M=max{f(0),f(1)}=max{b,1+a+b},∴M-m=max{a24,1+a+a24}与a有关,与b无关;②当-a2<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,∴M-m=f(1)-f(0)=1+a与a有关,与b无关;③当-a2>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,∴M-m=f(0)-3.B由幂函数的图象可知,在(0,1)上,幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d,故选B.4.-4由题意可得f(-8)=-f(8)=-823=-(23)25.-1∵α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3},幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴α是奇数,且α<0,∴1.x2-4x+3因为f(2-x)=f(2+x)对随意x∈R恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.2.(1)∅易知函数f(x)=-x2+2ax+1-a(0≤x≤1)的最小值在端点处取得,故f(0)=2,f(0)≤f(2)[-1,2]由题意知f(x)max≤2,由示例2可知,①a<0,1-a≤2,解得-1≤a<0;②0≤综上,a的取值范围是[-1,2].(3)(-∞,-1]∪[2,+∞)由示例2可知f(x)在[a,a+1]上的最小值为f(a+1),由题意知f(x)min≥2,∴f(a+1)≥2.即-(a+1)2+2a(a+1)+1-a≥2,解得a≥2或a≤-1.3.(1)2因为f(x)=x2-2ax+5在(-∞,a]上单调递减,所以f(x)=x2-2ax+5(a>1)在[1,a]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=6-2a=a,f(x)min=f(a)=-a2+5=1,解得a=2.即实数a的值为2.(2)2≤a≤3因为f(x)在(-∞,2]上单调递减,函数f(x)的对称轴为直线x=a,所以a≥2.所以f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,a+1]上单调递增,所以f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max=max{f(1),f(a+1)},又f(1)-f(a+1)=6-2a-(6-a2)=a(a-2)≥0,所以f(x)max=f(1)=6-2a.因为对随意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,所以f(x)max-f(x)min≤4,即6-2a-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,又a≥2,所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.4.(1)A函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=(-x)3-1(-x)3=-x3+1x3=-(x3-1x3)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,解除C,D.因为函数y=x3,y=-1x(2)5-12≤m<2因为函数y=x12的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以不等式等价于2m+1≥0,m2+m-1≥0,2m+1>m2+m-1,解2m+1≥0,得m≥-12;解综上,实数m的取值范围是5-12≤5.(1)(-8,1)二