2024年高二数学期末考试模拟试题一（含答案新高考地区）

新高考地区高二期末考试模拟试题一

第I卷(选择题)

一、单选题

1.直线Gx+3y+4=0的倾斜角为()

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】A

【分析】求出斜率，进而可得倾斜角

V34

【详解】由直线&+3>+4=0得尸--------X——

33

故直线的斜率为-又倾斜角范围为［0,180°),

所以倾斜角为150。.

故选：A.

22

2.以椭圆二+2=1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是()

259

A.y2=16xB.y2=-8xC.y2=-16xD.x2=-16y

【答案】C

【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.

22_______

【详解】由椭圆二+匕=1可得C=^=4,

259

所以左焦点坐标为(-4,0),

所以以(-4,0)为焦点的抛物线的标准方程为/=T6x,

故选：C.

3.记S“为等差数列｛%｝的前"项和.若电=-1，%+%=2,贝|Sg=()

A.-54B.-18C.18D.36

【答案】C

【分析】首先通过等差数列的通项公式，计算出等差数列基本量为和d，然后根据等差数列前“项和公式求

解E即可.

q+d=-1d=1

【详解】•・・。2=-1，a+a=2,,解得

352%+6d=2Q]=-2

9x8

=9aj+—<Z=9x(-2)+36=18.

故选：c

4.已知成等差数列，-3,4也也，-12成等比数列，则%（2-2%）等于（）

A.-6B.6C.-12D.-6或6

【答案】A

【分析】根据等差和等比数列通项公式可求得公差d和公比9的平方，由此可得4,出,&，代入即可得到结

果.

【详解】设-I,%,外，-构成的等差数列公差为d,-34也也,-12构成的等比数列公比为,

/.d=7；I=-2,q4==4,即/=2,

2

ax=—\+d=—3,a2=-1+Id=—5,b2=—3^=-6,

b],(%—2。])=-6x(—5+6)=—6.

故选：A.

5.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中:

①2”与平行

②）BM与CE垂直

④CN与5M所成角为60°

以上四个命题中，正确命题的序号是（）

F

C.②④D.③④

【答案】C

【分析】根据展开图还原正方体，设其棱长为1,建立空间直角坐标系，即可判断异面直线的位置关系，计

算出夹角，以及CE与平面所成角的正弦值，进而求出正切值.

【详解】解：根据平面展开图，还原正方体，并建立空间直角坐标系，如下图所示,

设正方体棱长为1,则3(0,0,0),C(1,0,0),M(1,0,1),£(0,1,1),F(0,0,1),,

①3M与平行，由图可看出3M与ED不平行，错误；

②3M与CE垂直，vW=(1,0,1),C£=(-1,1,1)

，就•近=一1+0+1=0，即3M-LCE,正确；

@CE与平面ABCD所成角的正切值为辛，

由图可知BF为平面ABCD的一个法向量，且沛=(0,0,1),

设CE与平面48。所成的角为6,

\CEBF\lo+o+ll6

贝Usin0=।1|——g-=j=-----=—

|国网V3.13

cos8=1-1

息

tan0=-y=-=,错误；

④CN与3/所成角为60°,

设CN与瓦所成角为

■,-5M=(1,0,1),函=(0,1,1),

CN-BM|0+0+1|_1

cosa=^=^,,___.

CN\\BMV2-V2~2

.e.a=60J正确；

故选：C.

6.已知圆（x-lj+r=：的一条切线尸质与双曲线<=l（a>o力>0）有两个交点，则双曲线C的

离心率的取值范围是（）

A.[1,73）B.（4,+00）C.（V3,+oo）D.（2,+co）

【答案】D

【分析】由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得切线斜率左，由此可得切线方程根据直线与双曲线交

点个数可得2>G,根据e=、点E可求得离心率的取值范围.

aVa2

【详解】错解：

/\_\k\Ji

选B,圆心（1,0）到切线的距离4=沫%=方-解得：k=±V3，

•••切线方程为y=±6%；

・.・y=±&与双曲线C有两个交点，百;./=1+与>4.

aa

错因：

求离心率时忘记开方，注意双曲线中e

正解:

由圆的方程知：圆心（1,0）,半径;•=1,

则圆心（1,0）到切线的距离d==一，解得:k=+V3,

y/1+k'2

切线方程为y=±V3x；

•.•>=±百》与双曲线C有两个交点，石，.*=11+与>2,

'aya*

即双曲线C的离心率的取值范围为（2,+co）.

故选：D.

22

7.已知？是椭圆C：?+与=1上的动点，且与C的四个顶点不重合，耳，鸟分别是椭圆的左、右焦点，若

9o

点〃在/耳尸月的平分线上，且砺•症=0,则10M的取值范围是（）

A.（0,2）B.（0,2及）C.（0,3-2V2）D.（0,1）

【答案】D

【分析】作出辅助线，得到=求出内M的取值范围，从而求出的取值范围.

【详解】如图，直线耳河与直线即相交于点N,

由于尸M是/耳尸鸟的平分线，且丽.而^=0,BPPM1F.N,

所以三角形与PN是等腰三角形，

所以尸耳=PN,点”为片N中点，

因为。为耳匕的中点，

所以（W是三角形耳&N的中位线，

所以10M=g|BM，

其中内时=|期H尸图=2|尸耳|一2"=2|尸周一6,

22

因为P与C的四个顶点不重合，设尸（见"），则帆e（o,3）,。+2_=1

98

22

贝U|尸片|=^（m+1）+n=’（加+1『+9-：加2=1|OT+9|,

所以|尸耳性（2,4）,又优N|>0,

所以|gN|e（O,2）,|。叫=；怩时€（0,1）

力。W的取值范围是（0,1）.

故选：D.

8.数列｛。“｝满足。用=，卜也修〃eN*,则数列｛4｝的前80项和为（）

A.1640B.1680C.2100D.2120

【答案】A

【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.

【详解】设〃")=2sin丁-1,因为sin差的周期为万一二

227

Yljr

所以〃〃)=2$出了-1的周期为7=2.

又了⑴=1,〃2)=-1,所以当“为奇数时，/(«)=1,

所以当〃为偶数时，/(«)=-1.

又见+1=/(〃)。“+"，所以。2=%+1，%=-&+2=-%+1,

%=%+3=—%+4,于是得到%+出+%+%=6,同理可求出

。5+。6+。7+。8=14,%+%0+%1+%2=22

设2=&“一3+&“一2+&”.1+g”，则数列｛4｝是以6为首项,8为

公差的等差数列，所以数列｛%｝的前80项和为数列｛"｝的前20项和

70x19x8

20x6+"=1640.故B,C,D错误.

2

故选：A.

二、多选题

9.已知圆C：x2+y2-6x=0,则下述正确的是()

A.圆C截直线小歹="所得的弦长为3亚

B.过点(1,1)的圆C的最长弦所在的直线方程为：2x-y-l=0

C.直线4：x+6y+3=0与圆C相切

D.圆E：(x+以+/=49与圆C相交

【答案】AC

【分析】根据弦长公式可判断A,根据圆的性质可判断B,根据点到直线的距离可判断C,根据两圆的圆心

距可判断D.

【详解】由圆C：X2+/-6X=0,可得(X-3)2+/=9,圆心为C(3,0),半径为3,

所以圆C截直线4：V=x所得的弦长为2』9=3后，故A正确;

由圆的性质可知过点（1,1）的圆C的最长弦过圆心,

1-0

故所在的直线方程即X+2k3=0,故B错误;

因为圆心C（3,0）到直线x+gy+3=0的距离为^^=3,

所以直线4：x+6y+3=0与圆C相切，故C正确；

由圆E：（土+1『+-=49可知圆心石（一1,0）,半径为7,

所以忸C|=4=7-3,故圆E：（x+l『+/=49与圆C相内切，故D错误.

故选：AC.

10.己知数列｛4｝满足/=鼻，。向=/］（"€"），则下列结论正确的是（）

A.为等比数列

0〃一1

B.｛%｝的通项公式为％=直］

C.｛%｝为递减数列

D.」一的前〃项和北=2"+1—2-"

【答案】AB

2a,,1、1,1、、

【分析】由可推得——2=彳（一-2）,从而可判断ABC,由分组求和可判断D.

2a“+1an+l2an

2a*

【详解】因为见+i=二:（"eN）,由题意显然见N04+产0,

11+2&11,1、1,1、、

变形得=----=-x—+1,所以-----2=~（----2）,

a

%肛Zn-2an

又因为'-2=1/0,

ax

所以：-2是以1为首项,g为公比的等比数列，A正确；

,,12"T

因为:-2=（：严，所以""一2+（J_）"-i-2"+1，B正确；

1a-1

因为$）1递减，所以"-2+d）'i递增，即｛%｝为递增数列，C错误；

因为所以，=（；严+2,

%2an2

所以北=（1+；+；+…+击）+2〃=2-止+2”,所以D错误.

故选：AB.

11.过抛物线C：r=4x的焦点尸作直线交抛物线C于4,2两点，则（）

A.|/切的最小值为4B.以线段42为直径的圆与y轴相切

C.=1D.当萧=3而时，直线48的斜率为±6

\FA\\FB\

【答案】ACD

【分析】设直线方程为工=处+1并联立抛物线方程，应用韦达定理，结合抛物线的定义及性质判断各项的正

误.

【详解】由题设尸。,0）,由焦点厂作直线交抛物线C于48两点，设直线方程为x=@+l,

x=ky+1

所以贝1]歹2-4@-4=0,ffi]A=16(^2+l)>0,

y2=4x

2

所以”+%=4左，yAyB=-4,故乙+XB=左("+.%)+2=4左2+2,XAXB=kyAyB+k{yA++1=1,

因为|48|=X/+XB+0=4左？+4,故当上=0时|48|min=4,A正确;

以线段为直径的圆，圆心为（乙产，竺产），即（2左2+1,2肩，半径为2r+2,

显然该圆与抛物线准线x=-l相切，与》轴相交，B错误；

,1111x.+24左2+4,.

由।f1I/O।=7-17=7~~77i7=1，故C正确；

|FA||FB|xA+lxB+1xAxB+xA+xB+\4k+4

[\—x=3x-3

由万=3而，即（1一乙,一外）二3（乙一1,九），故|"J,

则3小?4,可得/q或

所以

当出=1时，显然左=丽不合题意；当演=；时，如图知：2《，一专），g卡）,

8

所以直线的斜率为左=伞=6,根据对称性易知：左=-6也满足，D正确.

O

3

12.已知正方体/3C。-4月。。1中，48=4P为正方体表面及内部一点，且万=x^+y而，其中

xe[0,1],”[0,1],则（）

2

A.当％=]时，三棱锥尸-BG。的体积为定值

B.当y=g时，直线2。与/尸所成角正弦值的最小值为千

C.当x+y=l时，尸4+P。的最小值为2遍

D.当2x+〉=l时，不存在点尸，使得平面P8C1平面尸8cl

【答案】AD

【分析】根据正方体建立合适的空间直角坐标系，选项A,B,D按照空间向量的坐标关系计算即可判断;

选项C根据轨迹问题，确定距离和的最小值，按几何分析即可计算判断.

【详解】解：根据正方体，如图，以A为原点，国,3,阴为三%z轴建立空间直角坐标系

则4（0,0,0）,8（4,0,0）,C（4,4,0）,£＞（0,4,0）,4（0,0,4）,耳（4,0,4）,G（4,4,4）,。（0,4,4）,

由于后=xAB+yADt,所以⑸,力,z?）=x（4,0,0）+y（0,4,4）=（4x,4翦4y）,即尸（4x,4y,4v）

选项A：当x=g时，所以p11,4y,4。，则丽=]-24%4（|,又丽=（-4,4,0）,南=（0,4,4）,

4C=（4,4,-4）

则近.丽=（4,4,-4＞（-4,4,0）=-16+16+0=0,而%=（4,4,-4）・（0,4,4）=0+16-16=0,

___IDO_A-T\------F16jv_16jpr—

即4c是平面的法向量，则点尸到平面BCQ的距离为巴二___________=生色为定值，故

丽I-473"9

三棱锥尸的体积为定值，故A正确;

选项B：当〉=；时，点尸（4x,2,2）,所以万=（4x,2,2）,丽=（-4,4,0）,

|存•丽|_|-16x+8|_|-2x+l|

贝小os万闻则

网.郎V16x2+8x472V8X2+4

2t112

“2，+9=卡一厂兄

9

其中t+?一2£[4,8],,设直线AD与/P所成角为。0,；则

cosOe0,1,即Me,正弦值sin夕的取值范围为乎,1,故直线与/P所成角正弦值的最小值

为也，故B错误；

2

选项C：当x+y=l时，点尸的轨迹在线段BA上,

将面8，/与面8DQ铺平展开，P4+P。最小值为4。长度，

sinAA{D[B=4Q=2x4x如二^,故C错误;

V3333

选项D：当2x+y=l时，贝！]歹=1一2%,所以尸（4%,4-8几4一8x）

设平面P8C的法向量为方=（%，4«）,

n-BC=O〔(4-8x)4=0/、

则—="/cA°,所以访=2x-l,0,x-l

n-BP=O[(4x-4)q+(4-8x)4+(4-8x)q=0

设平面尸与G的法向量为成=(%也,。2)，

万•西=01(4-8x)2=。/、

则n“二2所以丽=2无,0,无一1

万.4尸=0[(4X-4)6Z2+(4-8X)/J2+(-8X)C2=0

若平面PBCI平面尸4G，贝。万•丽=(2X-1,0,X-1>(2X,0,X-1)=5X2-4X+1=0,

A=16-20=-4<0,故方程无解，即不存在点尸，使得平面尸BC1平面尸8|G，故D正确.

故选：AD.

第II卷(非选择题)

三、填空题

13.记S,为等比数列a｝的前"项和.若邑=4,5=6,贝监6=.

【答案】£##7.5

【分析】利用等比数列求和公式列方程求解即可.

【详解】设等比数列｛%｝公比为9,

41

当g时，4「,彳q=i

导，

4=8

Ii-q

企心JO_i5

,0---8*1]6.2

故答案为：—

14.设厂为抛物线必=4x的焦点,42,c为该抛物线上不同的三点，若点尸是V/3C的重心，则

\AF\+\BF\+|CF|=__________.

【答案】6

【分析】由尸点为三角形的重心，用重心坐标公式可得三点横坐标之和，再利用抛物线的定义即可求得

M司+忸司+|。川的值.

【详解】因为尸为抛物线/=4x的焦点，则网1,0),准线方程为x=-l,设/(占,%),8U,%),。(%,%),如

图所示，

因为尸为三角形的重心，则重心坐标为(网即弋+也=1,所以%+%+退=3,

33。

因为42,C为该抛物线上不同的三点，分别过42,C作准线的垂线，垂足分别为为E,2G,则由抛物线的

定义可得,

\AF\=\AE\=xx+i,\BF\=\BD\=x2+1,|CF|=|CG|=x3+1,所以|//|+忸同+|。/|=再+迎+退+3=6.

故答案为：6

【点睛】在抛物线中与焦半径有关的题目，都可以利用定义转换为点到准线的距离，从而简化运算.

15.过双曲线二-4=l(a>0,6>0)的左焦点为-60)作圆了2+y=屋的切线，切点为£,延长FE交抛物线

ab

俨=4cx于点尸，。为坐标原点，若OE=^{OF+OP\则双曲线的离心率为.

【答案】赵上1

2

【分析】由向量的运算法则知E是尸尸中点，由此得|。刊=|。刊=。，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,

因此利用中位线性得|PG|=2a,从而由抛物线的可表示出尸的点横坐标，从而得纵坐标，作轴，垂

足为H,在△OW中由勾股定理得出的方程，变形后可求得离心率e.

【详解】如图，双曲线的右焦点G也是抛物线的焦点，OE=^(OF+OP),则E是尸尸中点，

又。是FG中点，所以OE//PG,|PG卜2|0同=2°,

设尸(x,y),

过尸作抛物线的准线的垂线尸〃，〃■是垂足，]Jl!||PM=x+c=|PG|=2a,x=2a-c,

尸在抛物线上，所以/=4xc=4x(2a-c),

£是切点，OELFP,所以|。尸|=|。可=/

作轴，垂足为a,

由|尸/邪+\OH[=|OP|2得(2a-c)2+4c(2a-c)=c2,整理得4c2-4ac-4a2=0,

所以e2-e-l=0,e=叱后(负值舍去).

2

故答案为：匕且

16.如图，在棱长为2的正方体/BCD-4片GA中，。为正方形N2CD的中心，尸为棱上的中点则正

方体表面到P点距离为2的轨迹的总长度为

【答案】g+可万

【分析】确定点P为球心，半径为2的球在正方体每个面上的截面图形，求出轨迹的长度即可.

【详解】如下图所示，在侧面上，

G

4B】

AHB

设以点尸为球心，半径为2的球分别交/8、4耳于点打、G,则尸G=2=24尸，

TTTT7T

所以，NAHP=N4GP=—,从而/4PH=/&PG=—,故4GPH=-,

633

故在平面上的轨迹是以P为圆心，2为半径，圆心角为2的一段圆弧，同理可得在平面上的

TT

轨迹是以尸为圆心，2为半径，圆心角为§的一段圆弧，

设以尸为球心，2为半径的球截平面/3CD所得圆的半径为「，

贝"=6-/尸2=也<AB=AD，

JT

故以尸为球心，2为半径的球在平面/BCD上的轨迹是以百为半径，圆心角为,的一段圆弧，同理可得以尸

—7T

为球心，2为半径的球在平面上的轨迹是以6为半径，圆心角为，的一段圆弧，

以尸为球心，2为半径的球与平面BCG4相切，

因此，轨迹的总长度为

故答案为：+gj%.

四、解答题

17.在①3q+%+%,②S3=13这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答.

已知等差数列｛4｝的各项均为正数，%=3,且电，%+1，%+3成等比数列.

（1）求数列｛%｝的首项％和公差4；

⑵已知正项等比数列｛2｝的前〃项和为S,,…,，求S”.（注如果选择两个条件并分别作答,

只按第一个解答计分.）

【答案】（1）%=1,2

3"-1

⑵S“=

2

【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式得到关于q,d的方程组，解之即可求得所求;

(2)选择①，利用等比数列的通项公式即可求得9,从而由等比数列前，项和公式求得司；

选择②，利用前〃项和的定义得到42+4-12=0,解之得9,进而可求得S),.

【详解】(1)依题意，设正项等差数列｛%｝的公差为d(">0),

因为〃2=3,且a2M3+1，%+3成等比数列,

所以《q++d2="3人3(%+4"3)'解得"\a=｝=2\或「［。］一=4(舍去),

所以〃〃=1+2(〃-1)=2〃-1,

故q=l,d=2.

(2)选择①：

设正项等比数列也J的公比为,何>0),因为乙=q也=%+电+生，所以々=10=1+3+5=9,

又4=。/,即夕2=9,所以q=3或q=-3(舍去),

所以S”=

\-q~2

选择②：设正项等比数列也｝的公比为夕(9>0),因为4=%=1,5=4+如+32=13,

即q2+g_]2=0,可得0=3或q=-4（舍去）,

q〃3〃一1

所以S”=

1—q2

18.如图,直三棱柱力5C-中，AC=BC=BAB=AA=2,M为棱48的中点，N是4。的中

占

《

(1)证明：MN〃平面BCG。；

(2)求直线4c与平面B\MN所成角的正弦值.

【答案】（1）证明过程见解析

【分析】（1）作出辅助线，证明出CM,ME,2初两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平

面2CG用的法向量碗=（2,1,0）,从而得到痂，嬴进而证明出〃平面8CC4；

（2）求出平面用的法向量，从而利用空间向量求解线面角的正弦值.

【详解】（1）连接CM,因为/C=8C=6,M为棱48的中点，

所以CMLAB,

过点“作ME////,

因为三棱柱4BC-4耳。为直三棱柱，

所以人化1平面ABC,

因为血/,CWu平面4BC,

所以Affil8M,ME上CM,

故以Af为坐标原点，MB,MC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

因为45=44=2,所以BM=AM=\,

由勾股定理得：CM=<BC：2-BM?=2,

所以4（T0,2）,2（l,0,0）,C（0,2,0），4（l,0,2）,M（0,0,0）,N，；,l,l1,

则疝设平面BCG用的法向量为五=（°也c）,

in-BC=（a,Z>,c）-（-l,2,0）=-a+2b=0

贝叫一■,、，、，

成/月=（a,6,c〉（O,O,2）=2c=O

解得：c=0,令6=1,则a=2,

故获=（2,1,0）,

所以加橘=（2,1,0）卜g,1,1]=-1+1=0,

所以而7_L而，ACV2平面BCC4，故MN//平面8CG4；

(2)则诟=(0,2,0)—(—1,0,2)=(1,2,—2),函=(1,0,2),

设平面的法向量为〃=（xj,z）,

n-MB{=(%//)•(1,0,2)=x+2z=0

H-AW=(x?1y,z)-|--,1,1|=~—x+y+z=0

令z=1,贝Ux=-2,y=-2,

故几=(—2,—2,1)，

设直线AC与平面片MN所成角为巴

8

则sin0=

国卡「Jl+4+4xj4+4+l9

Q

故直线4c与平面B｛MN所成角的正弦值为1.

19.已知数列｛的｝的前〃项和为M且4S〃=（2〃一1）%+]+1,ai—\.

（1）求数列｛an｝的通项公式;

⑵设“木3

数列｛加｝的前〃项和为乃7,证明（＜g.

【答案】（1）%=2"-1

（2）证明见解析

【分析】（1）由已知可得4%=（2〃-1”“+「（2"-3”“（心2）,从而智=捐,由此能证明数列｛的｝是首

项为1,公差为2的等差数列，即可求出数列｛助｝的通项公式;

7211

（2）由数列｛劭｝的通项公式求出〃，再由4=2"2〃-1）〈五三一五，由此利用裂项相消法即可证明

【详解】（1）因为4s“=（2〃一1”用+1,所以4S,i=（2"-3”“+1（〃22）.

两式相减，得包=（2"-1）（+1=（2〃-3）%（"22）,

即（2〃+1”“=（2"一1）%+1

所以当时，智=要3，

2.n—1

在4S〃=（2〃-1）%+1+1中，令〃=1,得4=3,

所以⑸=&.二.吐…幺=即二1.也二m..3.3.i=2〃_i（"N2）

an_xan_2an_3a2ax2〃-32〃-52〃一731

又％=1满足，所以%=2H-1

所以。,-。"一1=（2??-l）-（2»-3）=2（n>2）,

故数列｛的｝是首项为1,公差为2的等差数列，且%=2〃-1.

_]_]_2211

所以"(2n-1)«2n(2n-l)2n(2n—2)2n—22n'

13

当"=1时'4=不=1<1,

当〃之2时，北<["；一:+：一：+…+贵一]3_J_3

5一万2,

3

所以

20.如图，在四棱锥尸中，底面/BCD为直角梯形，CDHAB,ZABC=90°,

AB=2BC=2CD=4,侧面尸，面A8CZ),PA=PD=2.

P

\D

C

AB

(1)求证：PA工BD；

(2)设平面P4D与平面P8C的交线为/,在/上是否存在点N,使得平面尸CD和平面NCD的夹角的余弦值

为短？若存在，请确定N点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

13

⑵存在点N,N在线段尸〃上，PN=-PM,或者N在线段PM的反向延长线上，PN=-PM

【分析】(1)根据已知条件及两条平行线的性质，再利用勾股定理及余弦定理，结合面面垂直的性质定理

及线面垂直的性质定理即可求解；

(2)根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再求出平面尸CD和平面NCD的法向量，结

合向量的夹角与平面尸。和平面NCD的夹角关系即可求解.

【详解】(1)因为CD///3,ZABC=90°,

所以/BCD=90。，

因为8C=CD=2,

所以BD=NBC?+CD。=2血，NCBD=45。,从而NN5D=45。，

因为48=4,

所以4D?=AB?+BD?-2AB•BDcosNABD=8,

所以//y+Ap?=/笈，从而

因为侧面PAD±面ABCD,侧面PADc面ABCD=AD,ADu面ABCD,

所以M32平面尸4D,

又因为尸Nu面P4D,

所以尸.

(2)延长2。和3C交于点连接则/就是直线PM,为V/8C的中位线，

以B为原点，建立空间直角坐标系2-盯z,如图所示，

则尸(1,3,夜)，0(2,2,。)，M(4,0,0),C(2,0,0),

所以丽=(0,2,0),P5=(l,-1,-V2),

设面PCD的法向量为"=(孙%,句),则

令4=1,则网=0,%=0,取“1=(0,0,1),

设在/上存在点N,满足丽=几闻7(XeR),贝ij

CN=CP+PN=CP+APM=(-1,3,V2)+2(3,-3,-A/2)=(32-1,3(1-2),后(1-2)).

设平面NCZ)的法向量为〃2=(无2，%/2),贝I]

一,.

%•CD=02%=°

%•CN=0[(32-1)X2+3(1-2)J2+V2(1-2)Z2=0

令4=32-1,gx2=-V2(l-A),%=0,=(-72(1-2),0,32-1),

设平面PC。和平面NCD的夹角为0,则

cos0=Icos伍，叫==-j=~=卓,解得2=1^2=-|,

1RH2Ji

'，闷•闷6xjll储-l(U+3955

13

所以在/上存在点N,N在线段PM上，PN=-PM,或者N在线段PM的反向延长线上，PN=~PM.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E:/=2/(p>0)与双曲线?-：=1的一条渐近线交于O,P两点,

且点尸的横坐标为3.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)设直线/过点。(4,0),且与抛物线£交于48两点(/在x轴上方，且忸。)，若V/03的面积为

1672，求的值.

【答案】(l)/=4x

⑵3+2收

【分析】(1)首先根据根据双曲线渐近线方程求出点P坐标，然后将点尸坐标代入抛物线方程中求出P值,

即可求出抛物线标准方程.

(2)首先设/：3=1@-4)(后＞0),工(国,必),B(x2,y2),直线方程与曲线方程联立，借助韦达定理求出国+%

与王马,通过弦长公式和点到直线距离公式表示V/08面积，得到方程求出左值.最后通过求出多与*2的值，

AQ

进而求出言.

227

【详解】(1)因为?-?勺的渐近线方程为尸±[|X,

又点尸的横坐标为3,所以尸(3,±26)，

代入y2=2px,得p=2,

所以抛物线E的标准方程为/=4x.

(2)因为A在x轴上方，且|/。|＞忸0],所以/的斜率存在且大于0,

设/:万后（了一4）（后＞0）,A（xl,y1）,B（x2,y2）.

y2=4x

由V7/八，得左2%2一（8左2+4）%+16左2=0（*），

y=左（工-4）

显然A＞0,贝！|%+马=——,Xj-x2=16.

O到直线AB的距离为d=,

J1+左2

2

因为SJOB=^AB-d=^l+k-|x,_xj阳.+—64=2|斗4噂tl

所以《,=；,又%>0,所以k=J

将4=g代入（*）,得-