山东省威海市示范名校2025届高二上数学期末学业质量监测试题含解析

山东省威海市示范名校2025届高二上数学期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.2．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（）A. B.C. D.3．函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或4．已知椭圆C：（）的长轴的长为4，焦距为2，则C的方程为（）A B.C. D.5．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A. B.C. D.6．“且”是“方程表示椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则公比()A. B.2C.2或 D.48．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（）A. B.C. D.9．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有人，到过井冈山研学旅行的人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A. B.C. D.10．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（）A. B.C. D.11．已知a，b是互不重合直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则12．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中所有项的系数和为_________14．已知，，则___________.15．过直线上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______16．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）证明：；（2）已知：，，且，求证：.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值19．（12分）已知函数，若函数处取得极值（1）求，的值；（2）求函数在上的最大值和最小值20．（12分）已知数列的首项，，，.（1）证明：为等比数列；（2）求数列的前项和21．（12分）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别，，求证：为定值.22．（10分）有三个条件：①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列，②，③，，中，从中任选一个，补充在下面横线上，并回答问题已知数列的前n项和为，______，求数列的通项公式和前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】函数既有极大值又有极小值转化为导函数在定义域上有两个不同的零点.【详解】因为既有极大值又有极小值，且，所以有两个不等的正实数解，所以，且，解得，且.故选:B.2、C【解析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案.【详解】由函数的图象可知,在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时,;当x∈(0,2)时,.因为可化为或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集为.故选:C3、A【解析】构造函数，结合已知条件可得恒成立，可得为上的减函数，再由，从而将不等式转换为，根据单调性即可求解.【详解】构造函数，因为，所以为上的增函数又因为，所以原不等式转化为，即，解得.所以原不等式的解集为，故选：A.4、D【解析】由题设可得求出椭圆参数，即可得方程.【详解】由题设，知：，可得，则，∴C的方程为.故选：D.5、C【解析】当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性6、B【解析】根据充分条件、必要条件的定义和椭圆的标椎方程，判断可得出结论.【详解】解：充分性：当，方程表示圆，充分性不成立；必要性：若方程表示椭圆，则，必有且，必要性成立，因此，“且”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.7、B【解析】由两式相除即可求公比.【详解】设等比数列的公比为q，∵其各项均为正数，故q＞0，∵，∴，又∵，∴=4，则q＝2.故选：B.8、B【解析】根据抛物线定义，结合三角形相似以及已知条件，求得，则问题得解.【详解】根据题意，过作垂直于准线，垂足为，过作垂直于准线，垂足为，如下所示：因为，又//，，则，故可得，又△△，则，即，解得，故抛物线方程为：.故选：.9、B【解析】作出韦恩图，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为，根据题意求出的值，由此可得出该学校到过中共一大会址研学旅行的学生人数.【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为，由题意可得，解的，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为.故选：B.【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了利用分层抽样求样本容量，考查计算能力，属于基础题.10、B【解析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】记另3名同学分别为a，b，c，所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，综上，小王和小张都没有挑出的概率为故选：B.11、B【解析】根据线线，线面，面面位置关系的判定方法即可逐项判断.【详解】A：若，，则或a，故A错误；B：若，，则a⊥β，又，则a⊥b，故B正确；C：若，，则或α与β相交，故C错误；D：若，，，则不能判断α与β是否垂直，故D错误.故选：B.12、A【解析】由定义证明函数的单调性，再由函数不等式恒能成立的性质得出，从而得出实数的取值范围.【详解】任取，，即函数在上单调递减，若，使得，则即故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：(1)，，使得成立等价于(2)，，不等式恒成立等价于(3)，，使得成立等价于(4)，，使得成立等价于二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##0.015625【解析】赋值法求解二项式展开式中所有项的系数和.【详解】令得：，即为展开式中所有项的系数和.故答案为：14、5【解析】根据空间向量的数量积运算的坐标表示运算求解即可.【详解】解：因为，，所以.故答案为：15、【解析】当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可.【详解】解：根据题意可知：当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.圆心到直线的距离为四边形面积的最小值为故答案为：16、±1【解析】由题意得＝≠，∴a＝－4且c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，由两平行线间的距离公式，得＝，解得c＝2或c＝－6，∴＝±1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用分析法证明即可；（2）将与相乘，展开后利用基本不等式可证明所证不等式成立.【详解】（1）要证成立，即证，即证，即证，而显然成立，故成立；（2）已知，，且，则，当且仅当时，等号成立，故.18、（1）（2）【解析】【小问1详解】由,得.两边同乘,即.由,得曲线的直角坐标方程为【小问2详解】将代入,得,设A,B对应的参数分别为则所以.由参数的几何意义得19、（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】（1）求出导函数，由即可解得；（2）求出函数的单调区间，进而可以求出函数的最值.【详解】解：（1）由题意，可得，得.（2），令，得或（舍去）当变化时，与变化如下递增递减所以函数在上的最大值为，最小值为.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用等比数列的定义即可证明.（2）利用错位相减法即可求解.【小问1详解】当时，，所以：数列是公比为3的等比数列；【小问2详解】由（1）知，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，所以：，所以：，，所以，①所以，②①②可得.21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）将点代入抛物线方程即可求解；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理即可求出的值;当直线AB的斜率不存在时，由过点即可求出点和点的坐标,即可求出的值.【小问1详解】将点代入得，，∴抛物线的标准方程为.【小问2详解】当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，，将联立得，，由韦达定理得：，，，当直线AB的斜率不存在时，由直线过点,则，，，，综上所述可知，为定值为.22、；【解析】选①，由数列为常数列可得，由此可求，根据任意相邻两项均不相等可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选②由取可求，再取与原式相减可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选③由取与