考点20 与圆有关的位置关系及计算（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（原卷版）

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。解题技巧：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解。3：三角形的外接圆与内切圆（☆☆☆）1）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。2）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。3）三角形的外心：三角形三边中垂线的交点，叫该三角形的外心。4）三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，叫该三角形的内心。5）常见结论（1）三角形内切圆半径：，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长；（2）直角三角形内切圆半径：，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。【易错点归纳】1.由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解。2.一个三角形有且只有一个内切圆和一个外接圆，而一个圆有无数个外切三角形和内接三角形。【核心考点】核心考点1.点、直线与圆的位置关系类

典例1：（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（

）

A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内变式1．（2023·浙江·模拟预测）已知的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与的位置关系是（

）A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定变式2．（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（

）A．2 B．5 C．6 D．8变式3．（2024·山东·统考模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（

）A． B． C． D．例2：（2023·广东广州·统考二模）的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程的两根和与两根积，则直线l与的位置关系是．变式1．（2023·浙江杭州·统考二模）已知的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定变式2．（2023年江苏省镇江市中考数学真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为．变式3．（2023·陕西西安·校考一模）在中，，，．若与相离，则半径为r满足（

）A． B． C． D．例3：（2023·上海·校考一模）已知与两圆外切，，的半径为3，那么的半径为．变式1．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（

）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离变式2．（2023·山东·统考一模）已知在中，，，那么以边长的倍为半径的圆A与以为直径的圆的位置关系是（

）A．外切 B．相交 C．内切 D．内含变式3．（2023·上海崇明·统考二模）已知在中，，，如果以A为圆心r为半径的和以为直径的相交，那么r的取值范围（

）A． B． C． D．核心考点2.切线的性质与判定例4：（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．变式1.（2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学真题）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．变式2.（2023年重庆市中考数学真题（B卷））如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．例5：（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（）

A． B． C． D．变式1．（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（

）

A． B． C． D．变式2．（2023年北京市中考数学真题）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为．

例6：（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则．

变式1．（2023·山东菏泽·校联考一模）如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（）A．10 B．18 C．20 D．22变式2．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）如图，中，，与相切于D，与的延长线分别相切于E、F，则的半径为

例7：（2023年江苏省扬州市中考数学真题）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若的半径为3，求的长．

变式1.（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E．(1)求证：与相切．(2)若，，求的长．

变式2.（2023年江苏省盐城市中考数学真题）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径长．

变式3．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)已知，求的值．

考点三三角形的外接圆与内切圆例8：（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3变式1．（2023·浙江杭州·校考二模）如图，O为等腰三角形的外心，，连接，记，，则满足的关系式为（）

A． B． C． D．变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在中，，是的外接圆，是的直径，点在上，连接交于点，连接，若，则的度数为（）

A． B． C． D．变式3．（2023·湖北襄阳·校考二模）已知两边长分别是和，则它的外接圆的半径是．例9：（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，是的内切圆，，则的大小为（）

A． B． C． D．变式1．（2023·湖南永州·统考二模）如图，在中，，点I是内心，则的大小为（

）A． B． C． D．变式2．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为．

例10：（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．变式1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）图，是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则的值是（

）A． B． C． D．变式2．（2023·河北邢台·统考模拟预测）如图，在⊙O中，，BC＝6，AC．I是△ABC的内心，则线段OI的值为（）A．1 B． C． D．例11：（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（

）A． B． C． D．变式1.（2023年江苏省镇江市中考数学真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15