考点02 相交线与平行线（解析版）

考点二相交线与平行线知识点整合知识框架图一、相交线1．三线八角（1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．（2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如图：2．垂直（1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．（2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．3．点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．4．邻补角（1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．（3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．5．对顶角（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．二、平行线1．定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．平行线的判定（1）定义．（2）同位角相等，两直线平行．（3）内错角相等，两直线平行．（4）同旁内角互补，两直线平行．（5）平行于同一直线的两直线互相平行．（6）垂直于同一直线的两直线互相平行．3．平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．4．平行线间的距离（1）定义同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．（2）性质两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．典例引领1．如图，和是对顶角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角是对顶角，据此求解即可．【详解】解：由对顶角的定义可知，只有A选项中的和是对顶角，故选：A．2．风筝是中国古代劳动人民发明于东周春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与构成同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是同位角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截．根据同位角的定义解答即可【详解】解：如图可知，和是同位角，故选：．3．如图，将一款教室护眼灯用两根电线吊在天花板上，A、B是护眼灯上的两个固定点，C、D是天花板上的两个固定点，已知，为保证护眼灯与天花板平行（即），下面添加的条件中，正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行，内错角线段，两直线平行，同位角相等，两直线平行是解题的关键．【详解】解：根据平行线的判定条件可知，当，有，则，故D符合题意；A、B、C中的条件都不能证明，故选：D．4．如图，，，平分，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质，角平分线的性质，垂直的性质，合理作出平行线是解题的关键．如图所示，作交于，作，根据平行线的性质可求出的度数，根据垂直的性质可求出的度数，最后根据即可求解．【详解】解：如图所示，作交于，作，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴．二、填空题5．如图，若被所截，则与是内错角．

【答案】【分析】本题考查内错角定义．根据两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角进行分析解答即可．【详解】解：若被所截，则与是内错角，故答案为：．6．如图，已知：，平分，如果，那么．【答案】【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键．由可得，则；根据角平分线的性质可得，然后代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴．故答案为：．7．如图，在一片高新技术经济开发区的旁边修了一条公路，已知公路的第一个拐角，第二个拐角，第三个拐角记为，如果公路段与公路段恰好平行，那么的度数为．【答案】/150度【分析】本题考查了平行线的性质定理及三角形的外角性质，先延长，交于点，根据平行线的性质，得出，再根据，可得，根据进行计算即可，熟练掌握性质定理是解题的关键．【详解】解：如图，延长，交于点，根据题意，，∴，∵，∴，∴，故答案为：．变式拓展8．如图，已知，，垂足分别为D、F，．试说明：，在下列解答中，在横线填空（理由或数学式）．解：∵，（），∴（）∴（）∴（）又∵（），∴（）∴（）∴（）【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，同角的补角相等．根据相关知识点逐一判断填空即可．【详解】解：∵，（已知），∴（垂直的定义）∴（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同旁内角互补）又∵（已知），∴（同角的补角相等）∴（内错角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同位角相等）9．、相交于点O，平分，

(1)如图1，若，求的度数．(2)若于点O，射线在的内部，并将分成两个部分，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了对顶角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．（1）由对顶角相等，得出，进而得到，再由角平分线的定义，得到，即可求出的度数．（2）设，，进而得到，，再由角平分线的定义，得出，求出的值，即可得出的度数．【详解】（1）解：，且，，，平分，，；（2）解：，，射线在的内部，并将分成两个部分，设，，，，平分，，，，．10．探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作．

(1)填空：如图1，过点作．∴（①__________），∵，，∴（②__________），∴，∴（③__________），即．(2)在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明．(3)善思小组提出：①如图3，已知，则角，，之间的数量关系为__________．（直接填空）②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为__________．（直接填空）【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；③等式的性质；(2)，理由见解析(3)①；②【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过“拐点”作辅助线构造平行线是解题关键．（1）根据推理过程即可求解；（2）过点作，根据、即可求解；（3）①过点作．根据，即可求解；②过点作，过点作，根据以上推理过程可得,，据此即可求解．【详解】（1）解：如图1，过点作．∴（①两直线平行，内错角相等），∵，，∴（②平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴，∴（③等式的性质），即．故答案为：①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；③等式的性质；（2）解：，理由如下：过点作．

∴，∵，，∴∴，∴即（3）解：①过点作．

∴，∵，，∴∴，∴即,故答案为：②过点作，过点作

∴，∵，，∴∴，∴即,同理可得：∵，分别平分，∴∴故答案为：11．观察下面表格，并阅读相关文字：示意图

…相交情况1条直线与2条直线相交1条直线与3条直线相交1条直线与4条直线相交…同位角对数（）对（）对（）对…内错角对数（）对（）对（）对…同旁内角对数（）对（）对（）对…则由上述规律可知：(1)1条直线与6条直线相交产生___________对同位角，___________对内错角；(2)1条直线与n条直线相交产生___________对同位角，___________对内错角；(3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（）A．12对

B．8对

C．6对

D．4对【答案】(1)；(2)(3)A．【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角问题中的规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力．（1）根据表格数据即可求解；（2）根据表格数据即可确定一般规律；（3）当条直线两两相交时，产生对同位角，据此即可求解．【详解】（1）解：从表中的规律可知1条直线与6条直线产生：对同位角，对内错角；故答案为：；（2）解：1条直线与n条直线相交产生：对同位角，对内错角；故答案为：（3）解：根据第（2）问的结论可知，当条直线两两相交时，产生对同位角，故当时，即：，产生对同位角．故选：A．12．如图，已知，，垂足分别为点、，．求证：．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据垂直于同一直线的两直线平行得到，则，根据同旁内角互补，两直线平行得到，则，据此即可证明．【详解】证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．13．如图，已知，，，求（请填空）解：∵，∴________（________________）又∵，∴（________________）∴________（________________________）∴________（________________________）∵，∴________（____________）【答案】，两直线平行，同位角相等；等量代换；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；，补角的定义．【分析】此题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的判定与性质即可，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定及其应用．【详解】∵，∴（两直线平行，同位角相等）又∵，∴（等量代换）∴（内错角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同旁内角