辽宁省北票市第三高级中学2023-2024学年高三5月质量分析联合考试数学试题

辽宁省北票市第三高级中学2023-2024学年高三5月质量分析联合考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．2．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即.若的面积，，，则等于（）A． B． C．或 D．或3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）A． B． C． D．4．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（）A． B． C． D．5．已知若在定义域上恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知复数z=2i1-i，则A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知函数（，）的一个零点是，函数图象的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（）A．（） B．（）C．（） D．（）8．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（）A． B．C． D．9．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是()A．任意，使方程无实根B．任意，使方程有实根C．存在，使方程无实根D．存在，使方程有实根10．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（）A． B． C． D．11．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）种.A．408 B．120 C．156 D．24012．已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.14．定义，已知，，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是________.15．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．16．圆心在曲线上的圆中，存在与直线相切且面积为的圆，则当取最大值时，该圆的标准方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．18．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.19．（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E．（1）求证：四边形ACC1A1为矩形；（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．20．（12分）[选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时的值21．（12分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份)；日平均气温（℃）642网上预约订单数100135150185210（1）经数据分析，一天内平均气温与该出租车公司网约订单数（份）成线性相关关系，试建立关于的回归方程，并预测日平均气温为时,该出租车公司的网约订单数；（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：22．（10分）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.（1）求；（2）若，，求的周长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.2、C【解析】

将，，，代入，解得，再分类讨论，利用余弦弦定理求，再用平方关系求解.【详解】已知，，，代入，得，即，解得，当时，由余弦弦定理得：，.当时，由余弦弦定理得：，.故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.3、C【解析】

利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【详解】设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是.故选：C【点睛】本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.4、D【解析】

以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.【详解】如图建系，则，，，由，易得，则.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5、C【解析】

先解不等式，可得出，求出函数的值域，由题意可知，不等式在定义域上恒成立，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】，先解不等式.①当时，由，得，解得，此时；②当时，由，得.所以，不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时，，则，此时；当时，，此时.综上所述，函数的值域为，由于在定义域上恒成立，则不等式在定义域上恒成立，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.6、C【解析】分析：根据复数的运算，求得复数z，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．详解：由题意，复数z=2i1-i所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1)，位于复平面内的第三象限，故选C．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数z是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7、B【解析】

根据函数的一个零点是，得出，再根据是对称轴，得出，求出的最小值与对应的，写出即可求出其单调增区间.【详解】依题意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值为.因为，所以（）.又，所以，所以，令（），则（）.因此，当取得最小值时，的单调递增区间是（）.故选：B【点睛】此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.8、B【解析】

由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.【详解】函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，当时，；当时，；当时，.时，，时，，当或时，；当时，.故选：【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.9、A【解析】

只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是“任意，使方程无实根”.故选：A【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.10、C【解析】

由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.11、A【解析】

利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；【详解】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种），当“乐”排在第一节有（种），当“射”和“御”两门课程相邻时有（种），当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种），则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种），故选：．【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题．12、B【解析】

根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线与的渐近线相同，且焦点在轴上，∴可设双曲线的方程为，一个焦点为，∴，∴，故的标准方程为.故选：B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8.【解析】

利用转化得到加以计算，得到.【详解】向量则.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.14、【解析】

根据题意，分类讨论求解，当时，根据指数函数的图象和性质无零点，不合题意；当时，令，得，令，得或，再分当，两种情况讨论求解.【详解】由题意得：当时，在轴上方，且为增函数，无零点，至多有两个零点，不合题意；当时，令，得，令，得或，如图所示：当时，即时，要有3个零点，则，解得；当时，即时，要有3个零点，则，令，，所以在是减函数，又，要使，则须，所以.综上：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用导数判断函数单调性，属于中档题.15、【解析】由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．16、【解析】

由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程．【详解】设圆的半径为，由题意可得，所以，由题意设圆心，由题意可得，由直线与圆相切可得，所以，而，，所以，即，解得，所以的最大值为2，当且仅当时取等号，可得，所以圆心坐标为：，半径为，所以圆的标准方程为：.故答案为：．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）求曲线和曲线围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间上的定积分．（2）首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出，然后再整体代入可得；【详解】解：（1）联立解得，，所以曲线和曲线围成的图形面积．（2）∴【点睛】本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.18、(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此.联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即19、（1）见解析（2）【解析】

（1）通过勾股定理得出，又，进而可得平面，则可得到，问题得证；（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）因为平面，所以，又因为，，，所以，因此，所以，因此平面，所以，从而，又四边形为平行四边形，则四边形为矩形；（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，所以，平面的法向量，设平面的法向量，由，由，令，即，所以，，所以，所求二面角的余弦值是.【点睛】本题考查空间垂直关系的证明，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力，是中档题.20、(1)的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为.(2)【解析】

(1)先得到的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将代入得，得到曲线的直角坐标方程；（2）设点、的极坐标分别为，，将分别代入曲线、极坐标方程得：，，，之后进行化一，可得到最值，此时，可求解.【详解】（1）由得，将代入得：，故曲线的极坐标方程为.由得，将代入得，故曲线的直角坐标方程为.（2）设点、的极坐标分别为，，