高考数学一轮复习：集合

专题1.1集合

【核心素养】

1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.

2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.

3.与函数的概念、不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.

<---------------------

-Q知识概栗，

知识点一元素与集合

（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

（2）集合与元素的关系：若。属于集合A,记作aeA；若6不属于集合A,记作上任4.

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法.

（4）五个特定的集合及其关系图：

N*或N+表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.

知识点与集合间的基本关系

（1）子集：若对任意xGA,都有xWB,则AUB或B?A.

(2)真子集：若AUB,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则A坛B或BWA.

(3)相等：若AUB,且BUA,则人=8.

(4)空集的性质：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

知识点三集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合A

符号表示AUBAAB

的补集为CuA

®)

口Q

图形表示

C；A

AUBAQB(

{x|x@A,或x£{x|x《A,且X

集合表示{x|xeu,且x.A}

B}£B}

求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部

元素，剩下的元素构成的集合即为CuA.

知识点四集合的运算性质

(1)AAA=A,AA0=0,AAB=BAA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

⑶ACl(CuA)=0,AU(CuA)=U,Cu(CuA)=A.

常用结论

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2。一1个.

2.子集的传递性：A£B,BCC^AGC.

3.AUBoAnB=A=AUB=B=CuA?CuB.

4.Cu(AnB)=(CuA)U(CuB),Cu(AUB)=(CuA)n(CuB).

j«一-r

力器”二y

Y增：常考题型刘析/

二/

题型一：集合的基本概念

【典例分析】

例1-1.（2023•北京海淀•校考模拟预测）设集合M={2m-1,m-3},若-3wM,则实数加=（）

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

例12（2023・全国•高三专题练习）集合A={（尤,y）|尤+y=10,xeN*,yeN*}的元素个数为（）

A.8B.9C.10D.100

【规律方法】

与集合中的元素有关的问题的三种求解策略

（1）研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集还是点集等，然

后再看元素的限制条件.

（2）根据元素与集合的关系求参数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

（3）集合中的元素与方程有关时，注意一次方程和一元二次方程的区别.

【变式训练】

变式1-1.（2023.北京东城.统考一模）已知集合4={小2-2<0},且aeA,则。可以为（）

3

A.l2B.—1C.—D.-y2

变式L2.（2023・河北•高三学业考试）设集合A={1,2,3},3={4,5},M={尤|尤=ee邱，则M中

的元素个数为.

题型二：集合间的基本关系

例2T.（2023•江西・金溪一中校联考模拟预测）已知集合A={L可，8={诡d期，若A=B,则清23+产2=

（）

A.-1B.0C.1D.2

例2-2.（2023•广东茂名•统考二模）已知集合4={刈#1},B={x\lx-a<Q\,若A=则实数。的取

值范围是（）

A.（2,+oo）B.[2,+oo）C.（-no,2）D.（-<»,2]

【方法技巧】

（1）判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含

有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法.

(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解.不要忽略任何非空集合是

它自身的子集.

(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参

数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题.

【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.

【变式训练】

变式2-1.(2023•全国•高三专题练习)已知集合&={》|2<彳<6户《用，则集合A的子集的个数为()

A.3B.4C.7D.8

变式22(2023•全国•高三专题练习汨知集合A={-1,1,3},8={&+2,。},8qA,则实数。的值是

题型三：集合的基本运算

【典例分析】

例3-1.(2023•北京通州・统考模拟预测)已知全集。={x-3<x<3},集合A={x|0<x<2},则gA=()

A.(0,2)B.(-3,0)u(2,3)C.(-2,0)D.(-3,0]U[2,3)

例3-2.(2023•安徽•校联考二模)若集合A={x|x=4左-3水eN},B={x[(x+3)(无一9)40},则AcB的元素

个数为()

A.2B.3C.4D.5

例33(2023•陕西西安・西安一中校联考模拟预测)若集合A=3产49},集合8=卜卜-1|<3},则AuB中

整数的个数为().

A.5B.6C.7D.8

【规律方法】

如何解集合运算问题

(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.

(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.

(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.

(4)创新性问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和

相应数学知识来解决.

【变式训练】

变式3-1.(2023春•天津河西•高三天津市新华中学校考阶段练习)已知集合4=何22},8={x||x-l|<2),

则()

A.(,,3)B.(-1,1)C.(1,3)D.(3,+s)

变式3-3.(2023春・江西抚州•高三金溪一中校考阶段练习)已知全集［7=k€2|炉-5*-6《0},集合

A={xeZ|x(3-x)>0),B={1,2,4}则集合{一1,5,6}等于()

A.@A)c3B.a(AU3)

C.D.d(AcB)

题型四：利用集合的运算求参数

【典例分析】

例4-1.(2023・海南・海口市琼山华侨中学校联考模拟预测)已知*weR,集合A=「Jog?，集合3={祖,n},

若Ac3={l},贝！|"z〃=()

A.1B.2C.2或gD.g

例4-2.(2023•全国•高三专题练习)已知集合。={1,片,3a+l},集合A=且2A={1,4},则。=()

A.{1}B.{2}C.{±2}D.{1,±2)

【规律方法】

利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；

②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.

【易错警示】

(1)认清元素的属性.解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是

正确求解的两个先决条件.

(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因

为不满足“互异性”而导致错误.

(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防

漏解.

【变式训练】

变式4-1.(2023春•广东揭阳•高三校考阶段练习)己知集合4={(“)|邛=4,xeN,yeN},

3={（x,y）|x-y=〃，尤eN,yeN}.若则"的值不可能是（）

A.-3B.-1C.0D.3

变式4-2.（2023•天津河东•一模）已知集合A={1,3,"},B={l,a+2},A^B=A,则实数。的值为（）

A.{2}B.{-1,2}C.{1,2}D.{0,2}

题型五：集合的新定义问题

【典例分析】

Y

例5-1.（2023•全国•高三专题练习）在R上定义运算软,若关于尤的不等式（x-a）区（x-l-a）N。

2-y

的解集是集合卜卜2<xV4}的子集，则实数a的取值范围为（）

A.—2<<1B.-2Va<1C.—2<aW1D.一2<aW1

例5-2.（2023・湖北•统考二模）已知X为包含v个元素的集合（veN*,v>3）.设A为由X的一些三元子

集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个

三元子集中，则称（X,A）组成一个v阶的Steiner三元系.若（X,A）为一个7阶的Steiner三元系，则集合A

中元素的个数为.

【规律方法】

解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述

的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运

算与性质.

【变式训练】

变式5-1.（2023.全国•高三专题练习）定义集合A*3={z|z=盯,xwAj},设集合A={T,0,l},

3={—1,1,3},贝中元素的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

变式5・2.（2023•山西•高三校联考阶段练习）设A是一个数集，且至少含有两个数，若对任意。涉£人，都有

"a》,fEA（除数人。0）,则称A是一个数域，则下列集合为数域的是（）

A.NB.ZC.QD.{%|xOrxeR}

1.(2022.北京.统考高考真题)已知全集。=回一3<%<3},集合A={x[—2<xWl},则电A=()

A.(—2,1]B.(-3,-2)U[1,3)C.[-2,1)D.(-3,—2]U(1,3)

2.(2022•全国•统考高考真题)若集合M={x]«<4},N={x\3x>l],则McN=()

A.{x|0Vx<2}B.C.{x|3<x<16}D.<x<161

3.(2020•全国高考真题(理))设集合A={x|x2-4WO},B={x\2x+a<^},且{尤|一2姿1},则。=()

A.-4B.-2C.2D.4

1.(2023・全国•高三专题练习)已知集合人={尤eZ|尤2-2元-3<0},则集合A的子集个数为()

A.3B.4C.8D.16

2.(2023•陕西西安•校联考一模)己知集合4=卜€2|6<2},8=1卜=r,_¥€4},则()

A.{0,1,4}B.{0,1,2,3,4,9,16)

C.{1,4}D.{1,2,3,4,9,16)

3.(2023•陕西宝鸡•校考模拟预测)设48、C是三个集合，若AuB=BcC,则下列结论不正确的是().

A.BB.BcCC.B=AD.AcC

4.(2023•广东湛江•统考二模)已知集合A={X*-3X>4},8={尤|2工>2},则做可13=()

A.[-1,2)B.(4,+s)C.(1,4)D.(1,4]

5.(2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考二模)若集合A=旧y=^/^工},3={x|Y-2尤20},则=()

A.(-<»,0]B.(0,1]C.(-8,0)D.[0,1]

6.(2023•广西南宁•南宁三中校考模拟预测)设集合M={xeZ|lgr<l},N={xeZ,>10。},则HcN=

().

A.{5,6,7}B.{6,7,8}C.{7,8,9}D.{8,9,10}

7.(2023春・河南新乡•高三校联考开学考试)已知集合人={4,乂2»,B={-2,x2,l-y},若A=3,则实数

尤的取值集合为()

A.{-1,0,2)B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2)

8.(2023.天津和平.统考一模)已知全集。=41^={彳€?4晨47},人口&3)={1,3,5,7},则3中元素个数为

（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

9.（2023•山西•校联考模拟预测）已知集合4={%©4-4Vx<1},B=1-2,-l,0,1

,则AcB的非空子集个

数为（）

A.7B.8C.15D.16

10.（2023•海南省直辖县级单位•校联考二模）设集合A={x|尤<2},B=[x]=<（

，则々AW()

[x-3

A.（1,2）B.[1,2]C.[2,3）D.[2,3]

11.（2023・全国•高三专题练习）已知集合4={4|〃<1<〃+2},5=卜|y=ln（6+x-/)},且4=3,则()

A.—l<a<2B.—1<〃<2C.-2<aVlD.—2<tz<1

12.（2023・内蒙古包头二模）设集合4={尤婕2-420},3={尤|0<2彳<加，且4口2={x|2V无V4},则8=（）

A.-6B.-8C.8D.6

专题1.1集合

【核心素养】

1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.

2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.

3.与函数的概念、不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观

<---------

知灰概要/

知识点-元素与集合

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

(2)集合与元素的关系：若。属于集合A,记作aeA；若b不属于集合A,记作

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法.

(4)五个特定的集合及其关系图：

N*或N+表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数

集.

N+)N)Z)Q)R

知识点二集合间的基本关系

(1)子集：若对任意xGA,都有xGB,则AUB或BnA.

⑵真子集：若AUB,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则A坛B或BMA.

(3)相等：若AUB,且BUA,则人=：8.

(4)空集的性质：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

嬴的集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合A

符号表示AUBAAB

的补集为CuA

图形表示

AUBAQB

{x|x£A,或X0{x|x£A,且x

集合表示{x|xdU,且x建A}

B}£B}

求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取

出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CuA.

知识点四集合的运算性质

(1)AAA=A,AA0=0,AnB=BAA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)An(CuA)=0,AU(CuA)=U,Cu(CuA)=A.

常用结论

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2口一1个.

2.子集的传递性：ACB,BUC今AUC.

3.AUB=AnB=A=AUB=B=CuA?CuB.

4.Cu(AAB)=(CuA)U(CuB),Cu(AUB)=(CuA)n(CuB).

常弯题壑韶析I

题型一：集合的基本概念

【典例分析】

例1-1.(2023•北京海淀•校考模拟预测)设集合M={2〃L1,机-3},若-3eV,则实数、=

()

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

【答案】C

【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论2加-1=-3和m-3=-3两种情况，求解机并检

验集合的互异性，可得到答案.

【详解】设集合M={2〃z-l,m-3},若-3eM,

,/-3GM,.,.2m一1二一3或加一3=-3,

当2加一1二—3时，m=-\,此时M={-3,-4}；

当机一3=-3时，m=0,此时M={-3,-1}；

所以m=-1或0.

故选：C

例1-2.(2023・全国•高三专题练习)集合A={(尤,y)l尤+y=10,xeN*,yeN*}的元素个数为(

A.8B.9C.10D.100

【答案】B

【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案.

【详角星】集合&={(x,y)lx+y=10,xeN*,yeN*}

={(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)},

所以集合A的元素个数为9个.

故选：B.

【规律方法】

与集合中的元素有关的问题的三种求解策略

(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集

还是点集等，然后再看元素的限制条件.

(2)根据元素与集合的关系求参数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

(3)集合中的元素与方程有关时，注意一次方程和一元二次方程的区别.

【变式训练】

变式1-1.(2023•北京东城•统考一模)已知集合A={X炉-2<0},且。eA,贝U。可以为()

3・

A.-2B.-1C.-D.

【答案】B

【分析】求出集合A,结合元素与集合关系判断即可.

【详角星】：f—2<0，...-0<x<0，A={x|—后<x<亚},

可知一2eA,—生A,J^.笠A,故A、C、D错误；一1eA,故B」E确.

2

故选：B

变式1-2.（2023•河北•高三学业考试）设集合A={1,2,3},3={4,5},

M={x\x=a+b,a^A,bEB^,则Af中的元素个数为.

【答案】4

【分析】求出所有a+b的值，根据集合元素的互异性可判断个数.

【详解】因为集合Af中的元素x=a+b,a&A,beB,所以当6=4时，a=l,2,3,此

时x=5,6,7.当Z?=5时，<7=1,2,3,止匕时x=6,7,8.

根据集合元素的互异性可知，x=5,6,7,8.即河={5,6,7,8},共有4个元素.

故答案为：4.

题型二：集合间的基本关系

例2-1.（2023.江西・金溪一中校联考模拟预测）已知集合4={La,可，B={/,a,叫，若A=B,

贝|」/侬+/。22=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

〃2=]/=b

【分析】根据A=5,可得两集合元素全部相等，分别求,7和7,再根据集合元

ab=b[ab=l

素的互异性可确定。，b的值，进而得出答案.

〃2=][/=

【详解】由题意A=3可知，两集合元素全部相等，得到77或7」又根据集合互

ab=b[ab=l

[a=-1[a=l

异性，可知"1,解得〃=1（舍），|八和1/舍），所以1=一1，b=0f则

[力=0[匕=1

〃2。23+/。22=（_1）2。23+02022=_i,

故选：A

例2-2.（2023•广东茂名•统考二模）已知集合4=卜料叫，B={x|2x-a<0},若A=8,

则实数。的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.[2,+co）C.（-co,2）D.（-00,2]

【答案】A

【分析】先解出集合AI,再根据人。8列不等式直接求解.

【详解】集合4=卜卜区1}={刃-14尤41},8=卜

要使4e8,只需解得：a＞2.

故选：A

【方法技巧】

（1）判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判

断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法.

（2）要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解.不要忽略

任何非空集合是它自身的子集.

（3）根据集合间的关系求参数值（或取值范围）的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关

系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题.

【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则

会造成漏解.

【变式训练】

变式2-1.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={幻2＜尤＜6,xeN},则集合A的子集的

个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【分析】用列举法表示集合4再写出其子集即可作答.

【详解】集合A={x|2＜尤＜6,尤eN}={3,4,5},

则集合A的子集有：0,{3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5）,共8个,

所以集合A的子集的个数为8.

故选：D

变式22（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={-1,1,3},8={6+2,a},B^A,则实

数a的值是

【答案】1

【分析】根据列出元素之间的关系，即可求解实数。的值.

【详解】因为A={-M,3},3={&+2,a},且8=A,

0T以+2£A,a£A,

因为6+2N2,a＞0,

所以y[a+2=3,解得a=l.

当a=l时，3={1,3},满足要求.

所以a=l.

故答案为：1.

题型三：集合的基本运算

【典例分析】

例3-1.(2023•北京通州.统考模拟预测)已知全集。=3-3<X<3},集合A={x|0<x<2},

则用A=()

A.(0,2)B.(-3,0)u(2,3)C.(-2,0)D.(-3,0]U[2,3)

【答案】D

【分析】利用补集的定义可得正确的选项.

【详解】全集U={x|-3<x<3},集合A={x[0<x<2},

由补集定义可知：eA={x1-3<xW0或24x<3},即jA=(—3,0]U[2,3),

故选：D.

例3-2.(2023•安徽•校联考二模)若集合4={尤|尤=4"3,%eN},B={x|(x+3)(x-9)W0},

则Ac3的元素个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先化简集合A3,然后利用交集运算求解.

【详解】由题意得，A={x|x=4fc-3,fceN)={-3,l,5,9,13,17,...},B={x|-3<x<9},

故4「8={-3,1,5,9},即AcB共有4个元素，

故选：C.

例3-3.(2023•陕西西安・西安一中校联考模拟预测)若集合4={#249},集合

8={小-1|<3},则AuB中整数的个数为().

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根据不等式的解法，分别求得集合A=同-34尤W3},B={x\-2<x<4},结合集

合并集的运算，求得AuB,进而得到答案.

【详解】由题意,可得集合A={#249}={止34x43},B={x||x-l|<3}={x\-2<x<4],

则AUB={H-3VX<4},其中集合Aug有一3,-2,-L0,1,2,3WZ,共有7个.

故选：C.

【规律方法】

如何解集合运算问题

(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的

关键.

(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明

了、易于解决.

(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.

(4)创新性问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来

的集合知识和相应数学知识来解决.

【变式训练】

变式3-1.(2023春•天津河西•高三天津市新华中学校考阶段练习)已知集合4={尤|2工>2},

B={x||x-l|<2},则()

A.(一8,3)B.(—1,1)C.(1,3)D.(3,+oo)

【答案】C

【分析】先求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.

【详解】依题意得人={小>”，8={x|-l<x<3},

所以AcB=(l,3).

故选：C.

变式3-2.(2023.河北邯郸.统考二模汨知集合A=何国<2},8={x[%2<3尤},则=

()

A.{x|-2<x<0}B.{尤|04x<2}

C.{x|x>3}D.1x|-2<x<3}

【答案】A

【分析】首先解绝对值不等式求出集合A,再求出集合B,最后根据补集、交集的定义计算

可得.

【详解】由国<2,得一2c<2,所以A={M#2}={X|-2<X<2},

不等式x2<3x的解集为卜|0<%<3),

所以8=1x|x2<3x}={x10W尤W3},

所以48="归<0或x>3},

所以4「&3)={x[—2<x<0}；

故选：A.

变式3・3.(2023春・江西抚州•高三金溪一中校考阶段练习)已知全集

f7={%eZ|x2-5x-6<0},集合A={xwZ|x(3—x)N0},3={1,2,4}则集合{一1,5,6}等于

()

A.(^A)nBB.^(AUB)

C.An(^B)D.e(AcB)

【答案】B

【分析】先表示出集合U与集合A的等价条件，然后根据交集，并集和补集的定义进行分

析求解即可.

【详解】由题意知。={%€2|-1"<6}={-1,0』,2,3,4,5,6},4={》€2|0"<3}={0,1,2,3},

所以Au3={0,1,2,3,4},二{-1,5,6}=2(AU3)，

故选：B.

题型四：利用集合的运算求参数

【典例分析】

例4-1.(2023・海南・海口市琼山华侨中学校联考模拟预测)已知加、附wR,集合A=，,log??卜

集合3={以"},若Ac3={l},则〃加=()

A.1B.2C.2或gD.1

【答案】D

mIT]

【分析】利用交集运算可得出log2‘=l，可得出生=2,讨论机、〃的取值范围，结合已知

nn

条件检验可得出结果.

【详解】因为集合A=12,log2?1,集合3={m,〃},若AcB={l},则log2：=l,可得：=2,

若〃=1,贝卜〃=2,此时，B={1,2]=A,不合乎题意；

若机=1,贝ijw=g,此时，3=,；』：，合乎题意.

因止匕，mn=—.

2

故选：D.

例4-2.(2023•全国•高三专题练习)已知集合。={1,4,34+1},集合A=U,且”={1,4},

则"=()

A.{1}B.{2}C.{±2}D.{1,±2)

【答案】C

【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性求解.

【详解】因为集合。={1,/,3。+1},集合且。A={1,4},

所以{1,4}屋{1,4,30+1},

所以若3"+l=4n4=i,不满足元素互异性，

贝Ua2=4na=±2n3a+1=7或3。+1=-5,满足互异性，

所以a=±2.

故选：C.

【规律方法】

利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；

②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）

求解.

【易错警示】

（1）认清元素的属性.解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）

和化简集合是正确求解的两个先决条件.

（2）注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，

否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误.

（3）防范空集.在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时

是否成立，以防漏解.

【变式训练】

变式4-1.（2023春・广东揭阳•高三校考阶段练习）已知集合4={（"）1孙=4,xeN,yeN},

B={（x,y）|x-y=〃,xeN,yeN}.若则〃的值不可能是（）

A.-3B.-1C.0D.3

【答案】B

【分析】由集合A中的元素，计算可能出现在集合8中的元素，得到"的值的范围.

【详解】A={（x,＞）辰=4,xeN,yeN}={（1,4）,（2,2）,（4,1）}

1-4=-3,2-2=0,4-1=3.若则”的值可能是-3,0,3,不可能是-1.

故选：B.

变式4-2.（2023•天津河东•一模）已知集合A={1,3,〃},B=[l,a+2）,AuB=A,则实数〃

的值为（）

A.{2}B.{-1,2}C.U,2}D.{0,2}

【答案】A

【分析】由题设知304,讨论。+2=3、“+2=/求°值，结合集合的性质确定。值即可.

【详解】由=A知：BcA,

当。+2=3,即a=l,则/=1,与集合中元素互异性有矛盾，不符合;

当°+2=°2,即a=-1或a=2,

若。=-1,则/=1,与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

若a=2,则4=｛1,3,4｝,8=｛1,4｝,满足要求.

综上，<2=2.

故选：A

题型五：集合的新定义问题

【典例分析】

Y

例5-1.（2023•全国•高三专题练习）在R上定义运算软尤包>=若关于尤的不等式

2-y

。一。）区。一1一。）20的解集是集合｛可-2<尤44｝的子集，则实数a的取值范围为（）

A.-2<ct<\B.—2Va<1C.—2<aW1D.―2V。V1

【答案】C

V

【分析】先根据在R上定义运算包:x③y=—,结合分式不等式的解法求出不等式的解

2->

集，再根据集合的包含关系列出不等式，即可得解.

【详解】由a”闻一一加过"20得存不°，

+3)]<0

即<解得Q(X<a+3,

x-(a+3)w0

—2VQ

由题设知解得—2<aWl.

[a+3W4

故选：C.

例5-2.（2023・湖北・统考二模）已知X为包含v个元素的集合（veN*,v>3）.设4为由X

的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，

都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称（X,A）组成一个v阶的Steiner三元系.若

（X,A）为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为.

【答案】7

【分析】令*=｛。,瓦。,4,%/送｝,列举出所有三元子集，结合（X,4）组成v阶的Steiner三

元系定义，确定A中元素个数.

【详解】由题设，令集合X=｛a,6,c,d,e",g｝,共有7个元素，

所以X的三元子集，如下共有35个：

｛a,b,c｝、｛a,6,d｝、｛a,b,e｝,｛a,b,f｝,｛a,b,g｝、｛q,c,d｝、｛a,c,e｝,｛a,c,f｝、｛a,c,g｝、｛a,d,e｝、

{a,d,f},{a,d,g}、[a,e,f]>{a,e,g}、{aj,g}、{b,c,d}A{瓦c,e}、{b,c,f},{b,c,g},

{6,d,e}、{6,dJ}、{b,d,g},{6,eJ}、[b,e,g},[b,f,g],{c,d,e}、[c,d,f},{c,d,g}、

{c,e,f},{c,e,g}、{c,/,g}、{d,e,/}、{d,e,g}、{dj,g}、{e,/,g},

因为A中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，

所以A中元素满足要求的有：

{a,/c}、{a,d,e}、{a,fg}、[b,d,f},{6,e,g}、{c,1,g}、[c,e,f},共有7个；

{a,b,c}y[a,d,f]y{a,e,g]y{b,d,e}>[b,f,g}>[c,d,g}y{c,e,f）,共有7个；

{a,4c}、{a,d,g}、{a,e,f},（b,d,e}y{b,f,g},{c,d,f},{c,e,g},共有7个;

{a,b,d}y{a,c,e}、{aj,g}、{b,c,f）>{6,e,g}、{c,d,g}、{d,e,f},共有7个；

{a,b,d}、{a,c,g}、{a,G『}、{6,c,e}、{6,f,g}、{c,d,f}>[d,e,g},共有7个；

{a,b,d}、{a,c,f}y{a,e,g}y{b,c,e}>[b,f,g}y[c,d,g}^{d,e,f},共有7个；

{a,b,e}y{a,c,d},{aj,g}、{b,c,f},{b,d,g},{c,e,g}y{d,e,f},共有7个；

{a,"e}、{a,c,f},{a,d,g}、{瓦c,d}、{b,f,g}>{c,e,g}、[d,e,f],共有7个；

{a,瓦e}、{a,c,g}、{a,d,/}、{b,c,d}、{b,fg}、{c,e,f}A{d,e,g},共有7个；

{a,b,f}y{a,c,d}、{a,e,g}、{b,c,e}^{b,d,g]y{c,fg}、{d,e,f},共有7个；

{a,b,f}y{a,c,e}y[a,d,g}^{b,c,d}y{b,e,g}^{c,f,g]y{d,e,f},共有7个；

{a,b,f}y{a,c,g},{a,d,e}、{b,c,d}、{8e,g}、{c,e,f},{d,f,g},共有7个；

{a,b,g}y{a,c,d}y{a,e,f}y{b,c,e},{b,d,f}{c,f,g}y{d,e,g},共有7个；

{a,瓦g}、{a,c,e}、{a,d,/}、{A,c,d}、{瓦e,/}、{c,fg}、{d,e,g},共有7个；

[a,b,g},{a,c,/}、{a,d,e}、{b,c,d}y{b,e,f}y{c,e,g}、{d,f,g],共有7个；

共有15种满足要求的集合A,但都只有7个元素.

故答案为：7

【规律方法】

解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义.首先分析新定义的特点，

把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义

型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集

合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.

【变式训练】

变式5-1.（2023•全国•高三专题练习）定义集合A*3={z|z=肛,设集合

A={-1,0,1},3={-1,1,3},则A*B中元素的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根据集合的新定义求得A*3,从而确定正确答案.

【详解】因为A={TO,1},B=

所以4*8={-3,-1,0,1,3},

故A*B中元素的个数为5.

故选：B.

变式5-2.（2023・山西•高三校联考阶段练习）设A是一个数集，且至少含有两个数，若对任

意a,bwA,都有a+b,。-b,。仇feA（除数6/0）,则称A是一个数域，则下列集合为数域的

b

是（）

A.NB.ZC.QD.{x|xwO/eR}

【答案】C

【分析】根据数域的定义，对选项进行验证.

【详解】l,2eN,故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误；

任意。涉EQ,都有。+"4-4次?,：£（2（除数匕。0）,故Q是一个数域，C选项正确；

b

对于集合A={x|尤wO/wR},1GA,1-1=0^A,故{犬|无WO/ER}不是数域，D选项错

误.

故选：C

1.（2022.北京・统考高考真题）已知全集。=何—3<%<3},集合A={x|-2<xWl},则gA=

（）

A.（—2,1]B.（—3,—2）U[1,3）C.[-2,1）D.(-3,-2]U(13)

【答案】D

【分析】利用补集的定义可得正确的选项.

【详解】由补集定义可知：2A={x|-3<xW-2或1〈尤<3},即2A=（-3,-2]U（l，3）,

故选：D.

2.(2022•全国•统考高考真题)若集合M={X|4<4},N={X|3X21},则MCN=()

A.{x|0Wx<2}B.卜gvx<2}C.{x|3Wx<16}D.1x|^<x<16j

【答案】D

【分析】求出集合M,N后可求"cN.

【详解】M={x\Q<x<16],N={x\x>^,故McN={xg〈x<16卜

故选：D

3.（2020.全国高考真题（理））设集合A={加2-4$0},B=[x\2x+a<0},且AflB={尤|-2但},

则a=（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

由题意首先求得集合A&然后结合交集的结果得到关于。的方程，求解方程即可确定实数

。的值.

【详解】

求解二次不等式4W0可得：A={%|-2<%<2},

求解一次不等式2x+aW0可得：B=

由于AcB={x|-2WxWl},故：—£=1，解得：a=—2.

故选：B.

1.（2023・全国•高三专题练习）已知集合人=卜€7d-2x-3