专题11 导数中的双变量问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计 (北师大版2019)

专题11导数中的双变量问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(北师大版2019)授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析“专题11导数中的双变量问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(北师大版2019)”主要围绕导数在处理双变量问题中的应用展开。本章节内容紧密结合实际生活中的问题，通过导数的基本概念，引导学生深入理解双变量函数的极值、单调性等性质，以及如何运用导数解决实际问题。教材以生动的实例和详细的讲解，帮助学生掌握导数在双变量问题中的应用，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标分析教学难点与重点1.教学重点

-理解双变量函数的概念及其在实际问题中的应用。例如，在分析两个变量（如温度和湿度）的关系时，如何使用导数来描述它们的变化规律。

-掌握导数在解决双变量问题中的基本方法，包括求偏导数、判断极值点和单调性。例如，通过计算偏导数来找出函数的极值点，从而解决最优化问题。

-学会运用导数分析双变量函数的增减性和变化趋势。比如，在研究两个经济指标的关系时，如何利用导数来预测未来的变化趋势。

2.教学难点

-双变量函数偏导数的计算方法。学生可能会在处理多元函数的偏导数时感到困惑，例如，如何正确地求出函数z=f(x,y)的偏导数∂z/∂x和∂z/∂y。

-理解并应用隐函数求导法则。学生在求解涉及隐函数的双变量问题时，可能会对如何运用隐函数求导法则感到困难。例如，给定方程x^2+y^2=1，求y对x的导数。

-极值问题的判断与求解。学生在判断函数极值点时可能会混淆极大值和极小值，以及在求解过程中可能会忽略对驻点和非驻点的判断。例如，求解函数f(x,y)=x^2-y^2在区域D内的极值问题时，如何正确地使用判别法确定极值点。教学资源准备1.教材：北师大版高中数学选择性必修第二册，确保每位学生人手一册。

2.辅助材料：收集相关的教学视频、动画演示，以及含有双变量函数图像的PPT。

3.实验器材：准备计算机和数学软件，用于学生进行双变量函数的图形分析和数值计算。

4.教室布置：将教室分为小组讨论区，便于学生分组进行问题探讨和交流。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过班级微信群，发布预习资料，包括本节课相关的教材章节、PPT和导数计算的示例视频，要求学生预习并理解双变量函数的基本概念。

-设计预习问题：设计问题如“双变量函数的导数如何表示？”和“如何通过导数判断双变量函数的极值？”来引导学生思考。

-监控预习进度：通过在线平台的小测验或学生的预习笔记，检查学生的预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生阅读教材和视频，理解双变量函数的导数概念。

-思考预习问题：学生尝试回答预习问题，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至在线平台，供教师评估。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生独立思考，提前构建知识框架。

-信息技术手段：使用在线平台和微信群，方便资源共享和进度监控。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过生活中的实际问题，如温度和湿度的关系，引出双变量函数的导数问题。

-讲解知识点：详细讲解偏导数的计算方法，结合实际例子，如最优化问题，帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨如何应用导数解决实际问题。

-解答疑问：针对学生的疑问，提供及时的解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生听讲并积极思考，尝试将新知识应用到实际问题中。

-参与课堂活动：学生参与小组讨论，分享自己的理解和解决方案。

-提问与讨论：学生针对不懂的问题提问，并参与课堂讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解，系统介绍双变量函数导数的概念和计算方法。

-实践活动法：通过小组讨论，让学生在实际问题中应用所学知识。

-合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队精神和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置涉及双变量函数导数应用的题目，如求极值问题，巩固课堂所学。

-提供拓展资源：提供相关网站和书籍，让学生进一步了解双变量函数导数在实际中的应用。

-反馈作业情况：及时批改作业，提供反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成作业，巩固双变量函数导数的应用能力。

-拓展学习：学生利用提供的资源，进行更深入的学习。

-反思总结：学生反思自己的学习过程，总结所学知识和方法。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习，提升自学能力。

-反思总结法：引导学生总结学习经验，发现并解决学习中的问题。教学资源拓展1.拓展资源

-双变量函数的图像分析：介绍如何使用计算机软件（如MATLAB、GeoGebra等）绘制双变量函数的图像，以及如何通过图像分析函数的性质。

-实际案例分析：提供一些现实生活中的双变量问题案例，如经济模型中的供需关系分析、物理中的力学问题等，让学生了解双变量函数在实际中的应用。

-数学软件的使用：介绍数学软件在求解双变量函数导数和极值问题中的应用，包括如何使用软件进行数值计算和符号计算。

-数学史相关内容：介绍双变量函数和导数概念的发展历史，以及相关数学家的贡献，增加学生对数学文化的了解。

-数学竞赛题目：搜集一些涉及双变量函数导数问题的数学竞赛题目，供学有余力的学生挑战。

-相关学术文章：提供一些与双变量函数导数相关的学术文章，让学生了解该领域的最新研究成果。

2.拓展建议

-鼓励学生利用计算机软件进行双变量函数图像的绘制和分析，通过实践操作加深对函数性质的理解。

-建议学生选取一个实际案例，尝试使用课堂上学到的双变量函数导数知识进行分析，将理论与实践相结合。

-指导学生使用数学软件，如MATLAB或Mathematica，进行双变量函数导数的计算和图像分析，提高解决问题的效率。

-安排学生在课后阅读数学史相关资料，了解双变量函数和导数的历史背景，增强对数学的兴趣和认识。

-鼓励学有余力的学生尝试解答数学竞赛题目，挑战自己的思维能力，拓宽知识面。

-提供一些与双变量函数导数相关的学术文章，引导学生了解该领域的学术动态，培养学生的学术素养。

在拓展学习的过程中，教师应鼓励学生积极思考，将所学知识与实际应用相结合，通过解决实际问题来深化对双变量函数导数的理解。同时，教师也应关注学生的个性化需求，提供适当的指导和支持，帮助学生实现知识的拓展和能力的提升。以下是一些具体的拓展内容：

-双变量函数的图像分析拓展：

-利用GeoGebra软件绘制双变量函数z=f(x,y)的三维图像，观察函数在不同平面上的截面图。

-分析函数的等高线图，理解等高线与函数性质之间的关系。

-实际案例分析拓展：

-以经济学中的供需关系为例，分析价格和数量之间的关系，使用导数研究市场均衡点。

-在物理学中，分析力的分解和合成问题，利用导数研究力的变化规律。

-数学软件的使用拓展：

-使用MATLAB或Mathematica软件，进行双变量函数的偏导数和极值点的符号计算。

-利用软件的图形功能，动态展示函数图像随参数变化的情况。

-数学史相关内容拓展：

-研究双变量函数和导数概念的起源，了解牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献。

-探讨双变量函数在数学发展史上的重要地位，以及其在不同领域的应用。

-数学竞赛题目拓展：

-解析一些数学竞赛中涉及双变量函数导数的问题，如极值点判定、函数单调性分析等。

-讨论解题策略和技巧，提高学生解决复杂问题的能力。

-相关学术文章拓展：

-提供一些涉及双变量函数导数应用的学术文章，如优化算法、经济模型分析等。

-引导学生阅读并理解文章中的数学模型和方法，培养学生的学术阅读能力。教学反思这节课我们深入探讨了双变量函数中的导数问题，从学生的反馈和课堂表现来看，整体教学效果是积极的，但也存在一些不足之处，值得我反思和改进。

首先，关于教学内容的设计，我感到自己在引导学生理解双变量函数导数的概念方面做得比较到位。通过结合实际生活中的例子，学生能够更好地理解导数在解决实际问题中的应用。但是，我也注意到在讲解偏导数的计算方法时，部分学生仍然感到困惑。这可能是因为我在讲解过程中没有足够强调每一步的计算细节，以及如何将双变量函数转化为单变量函数来处理。未来，我计划在这一点上提供更多的例子和练习，帮助学生更好地掌握这一技能。

其次，关于课堂活动的组织，我设计了小组讨论和问题解答环节，旨在培养学生的合作能力和解决实际问题的能力。从学生的参与度来看，这一设计是成功的，大家都能积极参与讨论，分享自己的思路和解决方案。然而，我也发现有些学生在小组讨论中过于依赖同伴，而不是自己独立思考。这可能是因为学生对新知识点的掌握还不够自信。为了解决这个问题，我打算在课堂上增加更多的个体思考环节，比如让学生独立完成一些小题目，然后再进行小组讨论。

在教学方法上，我使用了讲授法和实践活动法，这两种方法各有优势。讲授法能够系统地传授知识，而实践活动法则能够让学生在实践中巩固知识。但是，我也意识到在讲授过程中，我可能没有给学生足够的时间去吸收和理解新知识。因此，我计划在未来的课程中，增加更多的互动环节，比如提问和即时反馈，以确保学生能够跟上教学进度。

此外，我也反思了学生在完成作业和拓展学习时的表现。从提交的作业来看，大部分学生能够正确地完成指定的题目，但也有一些学生存在理解上的偏差。这可能是因为我没有及时提供足够的反馈。为了改进这一点，我计划在批改作业后，及时与学生沟通，指出他们的错误，并提供改进的建议。

在拓展学习方面，我提供了丰富的资源和建议，希望能够拓宽学生的知识视野。但是，我也发现有些学生并没有充分利用这些资源。这可能是因为他们对拓展学习的重要性认识不足，或者是不清楚如何有效地利用这些资源。因此，我计划在未来的课程中，专门花时间向学生介绍如何高效地使用这些拓展资源，以及它们对学习的帮助。典型例题讲解在双变量函数的导数问题中，理解和掌握偏导数的计算、极值点的判断以及函数单调性的分析是关键。以下是一些典型的例题，它们紧扣课文知识点，旨在帮助学生深化理解并提高解题能力。

例题1：

给定函数z=x^2+3xy-y^2，求z关于x和y的偏导数。

解答：

对x求偏导，将y视为常数，得到∂z/∂x=2x+3y。

对y求偏导，将x视为常数，得到∂z/∂y=3x-2y。

例题2：

求函数z=e^(x+y)在点(1,1)的偏导数。

解答：

对x求偏导，得到∂z/∂x=e^(x+y)。

对y求偏导，得到∂z/∂y=e^(x+y)。

在点(1,1)处，这两个偏导数都等于e^2。

例题3：

考虑函数z=x^2+2xy-y^2，判断点(0,0)是否为极值点。

解答：

计算偏导数，得到∂z/∂x=2x+2y和∂z/∂y=2x-2y。

在点(0,0)处，这两个偏导数都为0，因此(0,0)是驻点。

进一步计算二阶偏导数，得到∂^2z/∂x^2=2，∂^2z/∂y^2=-2，∂^2z/∂x∂y=2。

根据二阶导数测试，A=2，B=2，C=-2，计算判别式B^2-AC=4-(-4)=8>0，因此(0,0)不是极值点。

例题4：

分析函数z=x^3-3xy+2y^2在整个定义域内的单调性。

解答：

计算偏导数，得到∂z/∂x=3x^2-3y和∂z/∂y=-3x+4y。

令这两个偏导数等于0，解得x=y=0，这是函数的唯一驻点。

进一步分析，当x>0且y<x时，∂z/∂x>0，函数在x方向上增加；

当x<0且y>x时，∂z/∂x<0，函数在x方向上减少；

类似地，分析∂z/∂y的符号变化，可以得出函数在y方向上的单调性。

例题5：