2024-2025学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数测评含解析苏教版必修第一册1

PAGE1-第6章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是()答案C解析设幂函数的解析式为y=xα,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α=.所以y=,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y=x的上方,故选C.2.(2024全国甲,文4)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-x B.f(x)=C.f(x)=x2 D.f(x)=答案D解析借助函数的图形可知,对于A,函数是减函数,不合题意;对于B,依据指数函数的性质可知函数是减函数,不合题意;对于C,函数在定义域内没有单调性,不合题意;对于D,依据幂函数的性质可知,函数在其定义域内为增函数,符合题意.故选D.3.函数f(x)=x3+x的图象关于()A.y轴对称 B.直线y=-x对称C.坐标原点对称 D.直线y=x对称答案C解析∵f(x)=x3+x是奇函数,∴图象关于坐标原点对称.4.设a=log3π,b=log2,c=log3,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a答案C解析∵log3<log2<log2,∴c<b.又log2<log22=log33<log3π,∴b<a,∴c<b<a,故选C.5.(2024江苏扬州中学月考)函数y=|lg(x+1)|的图象是()答案A解析将y=lgx的图象向左平移一个单位长度,然后把位于x轴下方的部分沿x轴翻折到上方,就得到y=|lg(x+1)|的图象.6.函数y=的值域是()A.R B.(0,+∞) C.(2,+∞) D.答案D解析∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,∴,∴函数y=的值域是,故选D.7.函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上是减函数,则a的取值范围是()A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.(3,+∞)答案B解析∵a>0且a≠1,∴u=6-ax是减函数.∵f(x)在[0,2]上是减函数,∴y=logau是增函数,∴a>1.又在[0,2]上需满意u=6-ax>0,∴u(2)=6-2a>0,∴a<3.综上,1<a<3.故选B.8.若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间上恒有f(x)>0,则函数f(x)的增区间为()A. B. C.(0,+∞) D.答案D解析∵x∈,∴u(x)=2x2+x=2∈(0,1),依题意,当u∈(0,1)时,logau>0恒成立,∴0<a<1,∴y=logau在u∈(0,1)上是减函数,∴f(x)的增区间应为u(x)=2x2+x的减区间,且保证u(x)>0.故选D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列函数是指数函数的有()A.y=πx B.y=2·3x C.y=(a-1)x D.y=e-x答案AD解析由指数函数的定义可得AD对,B系数不对,C中a-1的取值不确定.10.若a>b,则下列大小关系错误的是()A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b|答案ABD解析取a=2,b=1,满意a>b,但ln(a-b)=0,故A错;由9=32>31=3,故B错;取a=1,b=-2,满意a>b,但|1|<|-2|,故D错;因为幂函数y=x3是增函数,a>b,所以a3>b3,即a3-b3>0,C正确.11.已知函数y=的图象与函数y=logax(a>0,a≠1)的图象交于点P(x0,y0),若x0≥2,那么a的取值可以是()A.4 B.8 C.16 D.32答案CD解析由已知中两函数的图象交于点P(x0,y0),由指数函数的性质可知,若x0≥2,则0<y0≤,即0<logax0≤,由于x0≥2,所以a>1且≥x0≥2,解得a≥16.12.(2024山东枣庄调研)设a>0,且a≠1,函数y=+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值可以为()A.2 B. C.3 D.答案CD解析令t=ax(a>0,a≠1),则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).①当0<a<1,x∈[-1,1]时,t=ax∈,此时f(t)在上为增函数.所以f(t)max=f-2=14.所以=16,解得a=-(舍去)或a=.②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax∈,此时f(t)在上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上得a=或3.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则实数a的取值范围是.

答案(3,5)解析因为f(x)=(x>0),易知x∈(0,+∞)时为减函数,又f(a+1)<f(10-2a),所以解得3<a<5.所以a的取值范围为(3,5).14.(2024新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.

答案1解析∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x3(a·2x-2-x)=(-x)3[a·2-x-2-(-x)].整理得,a·2x-2-x=-(a·2-x-2x),即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1.15.(2024湖北宜昌调研)如图,过原点O的直线与函数y=2x的图象交于A,B两点,过点B作y轴的垂线交函数y=4x的图象于点C,若AC平行于y轴,则点A的坐标为.

答案(1,2)解析设A(n,2n),B(m,2m),则C,因为AC平行于y轴,所以n=,所以A,B(m,2m).又因为A,B,O三点共线,所以kOA=kOB,所以,即n=m-1,又由n=,解得n=1,所以点A的坐标为(1,2).16.若函数f(x)=e|x-a|(a为常数),则函数的最小值为,若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.

答案1(-∞,1]解析∵f(x)=e|x-a|=在[a,+∞)上是增函数,在(-∞,a)上是减函数,∴函数的最小值为f(a)=1.又f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,∴[1,+∞)⊆[a,+∞),∴a≤1,即a的取值范围为(-∞,1].四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知幂函数y=(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无公共点,且关于y轴对称,求m的值,并画出函数的图象.解由条件得m2-2m-3≤0,∴-1≤m≤3(m∈Z).又关于y轴对称,∴m2-2m-3为偶数.故m=-1或1或3.当m=1时,幂函数为y=x-4,其图象如图1所示.当m=-1或m=3时,幂函数为y=x0,其图象如图2所示.18.(12分)已知函数f(x)=(x≥0)的图象经过点(2,0.5),其中a>0且a≠1.(1)求a的值;(2)求函数f(x)=ax-1(x≥0)的值域.解(1)依题意f(2)=0.5,即a=0.5=.(2)f(x)=(x≥0),∵x≥0,∴x-1≥-1,∴0<=2,即值域为(0,2].19.(12分)已知函数f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).(1)若f(x)为偶函数,求b的值;(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a,b应满意的条件.解(1)因为f(x)为偶函数,所以对随意的x∈R,都有f(-x)=f(x),即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.(2)记h(x)=|x+b|=①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,所以-b≤2,b≥-2.②当0<a<1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是减函数,但h(x)在区间[-b,+∞)上是增函数,故不存在a,b的值,使f(x)在区间[2,+∞)上是增函数.所以f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a,b应满意的条件为a>1且b≥-2.20.(12分)(2024江苏如皋中学调研)若函数f(x)满意f(logax)=(其中a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式,并推断其奇偶性和单调性;(2)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求a的取值范围.解(1)设logax=t,则x=at,且t∈R,则f(t)=(t∈R),∴f(x)=·(ax-a-x)(x∈R).∵f(-x)=·(a-x-ax)=-·(ax-a-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.①当a>1时,y=ax是增函数,y=-a-x也是增函数,且>0,∴f(x)是增函数;②当0<a<1时,y=ax是减函数,y=-a-x也是减函数,且<0,∴f(x)是增函数.综上可知,f(x)是R上的增函数.(2)令g(x)=f(x)-4,由(1)知,g(x)也是R上的增函数.依题意g(x)<0在x∈(-∞,2)上恒成立,故只需g(2)≤0,即f(2)-4=·(a2-a-2)-4≤0,整理得a2-4a+1≤0,解得2-≤a≤2+,又a≠1,∴a的取值范围为[2-,1)∪(1,2+].21.(12分)已知函数f(x)=lg.(1)若f(x)为奇函数,求a的值;(2)若f(x)在(-1,5]内有意义,求a的取值范围;(3)在(1)的条件下,若f(x)在区间(m,n)上的值域为(-1,+∞),求区间(m,n).解(1)∵f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0,∴lg+lg=0,∴=1,∴a=1(a=-1舍去),此时f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.(2)∵f(x)在(-1,5]内有意义,且f(x)的定义域为(-1,a),∴(-1,5]⊆(-1,a),∴a>5,即a的取值范围是(5,+∞).(3)由(1)知,f(x)=lg,定义域为(-1,1),当x∈(-1,1)时,t==-1+为减函数,∴f(x)=lg在定义域内是减函数,∵f(x)在区间(m,n)上的值域是(-1,+∞),∴f(n)=lg=-1,m=-1,∴n=,即所求区间(m,n)为.22.(12分)已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]g(x)的值域;(2)假如对随意的x∈[1,4],不等式f(x2)f()>kg(x)恒成立,求实数k的取值范围.解(1)h(x)=(4-2log2x)log2x=-2(log2x-1)2+2,因为x∈[1,4],所以log