2024-2025学年新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.2向量数量积的运算律课时素养检测含解析新人教B版必修第三册

PAGE课时素养检测十五向量数量积的运算律(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(2024·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满意|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ()A.4 B.3 C.2 D.0【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.2.在△ABC中,∠BAC=QUOTE,AB=2,AC=3,=2,则·= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为=+=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE,所以·=·(-)=QUOTE×32-QUOTE×22+QUOTE·=QUOTE+QUOTE×3×2cosQUOTE=QUOTE.3.已知向量|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为向量|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,所以a·b-a2=a·b-1=2,则a·b=3,设a与b的夹角为θ,得cosθ=QUOTE=QUOTE,因为θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.【补偿训练】若非零向量a,b满意|a|=QUOTE|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.π【解析】选A.由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.又因为|a|=QUOTE|b|,设<a,b>=θ,即3|a|2-|a|·|b|cosθ-2|b|2=0,所以QUOTE|b|2-QUOTE|b|2cosθ-2|b|2=0,所以cosθ=QUOTE.又因为0≤θ≤π,所以θ=QUOTE.4.设单位向量e1,e2的夹角为QUOTE,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a上投影的数量为()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为单位向量e1,e2的夹角为QUOTE,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,得e1·e2=1×1×cosQUOTE=-QUOTE,|a|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2QUOTE-6QUOTE+e1·e2=-QUOTE,因此b在a上投影的数量为QUOTE=QUOTE=-QUOTE.5.已知平行四边形ABCD中,||=6,||=4,若点M,N满意=3,=2,则·= ()A.20 B.15 C.9 D.6【解析】选C.如图所示,由题设知,=+=+QUOTE,=QUOTE-QUOTE,所以·=·=QUOTE||2-QUOTE||2+QUOTE·-QUOTE·=QUOTE×36-QUOTE×16=9.6.(多选题)对随意向量a,b,c,下列命题中真命题是()A.若a·b=b·c,则a=c B.若a=b,b=c,则a=cC.|a|―|b|<|a|+|b| D.|a·b|≤|a||b|【解析】选BD.若a·b=b·c,则b·(a―c)=0,所以a=c或b⊥(a―c),故选项A不正确.若a=b,b=c,则a=c,故选项B正确.对于随意向量a,b,总有|a|―|b|≤|a|+|b|,当且仅当|b|=0时,等号成立,故选项C不正确.|a·b|=|a||b||cos<a,b>|≤|a||b|,故选项D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知平面对量a,b的夹角为QUOTE,且|a|=QUOTE,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC中点,则||=.

【解析】因为=QUOTE(+)=QUOTE(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以||2=4(a-b)2=4(a2-2a·b+b2)=4×QUOTE=4,则||=2.答案:28.已知向量||=1,||=QUOTE,·=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m,n∈R),则QUOTE=.

【解题指南】利用向量的夹角公式,通过向量数量积的运算律计算,建立方程求值.【解析】因为∠AOC=30°,所以cos∠AOC==cos30°=QUOTE,从而有=QUOTE.因为||=1,||=QUOTE,·=0,所以QUOTE=QUOTE,化简可得QUOTE=QUOTE,整理得m2=9n2.因为点C在∠AOB内,所以m>0,n>0,所以m=3n,则QUOTE=3.答案:3三、解答题(每小题14分,共28分)9.(2024·湛江高一检测)已知|a|=1,|b|=QUOTE,且向量a与b的夹角为θ.(1)若θ=QUOTE,求a·b;(2)若a-b与a垂直,求θ.【解析】(1)因为θ=QUOTE,所以a·b=|a||b|cosθ=1·QUOTE·cosQUOTE=QUOTE.(2)因为a-b与a垂直,所以QUOTE·a=0,即|a|2-a·b=|a|2-|a||b|cosθ=1-QUOTEcosθ=0,所以cosθ=QUOTE,又0°≤θ≤180°,所以θ=45°.10.利用向量法证明直径对的圆周角为直角.已知:圆的直径为AB,C为圆周上异于A,B的随意一点.求证:∠ACB=90°.【解题指南】代数证明题的基本思想是“以算代证”,即只要计算·=0即可.【证明】设圆心为O,连接OC,则||=QUOTE||,=QUOTE(+),所以||2=QUOTE||2,=QUOTE(+)2,得||2=(+)2,即(―)2=(+)2,得+―2·=++2·,所以4·=0,·=0,所以⊥,即∠ACB=90°.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知向量a,b均为单位向量,若两个向量的夹角是60°,则|3a-4b|= ()A.5 B.QUOTE C.13 D.QUOTE【解析】选B.因为单位向量a,b的夹角是60°,所以(3a-4b)2=9|a|2-24a·b+16|b|2=9-24cos60°+16=13,所以|3a-4b|=QUOTE.2.在△ABC中,(+)·=||2,则△ABC的形态肯定是 ()A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选C.由(+)·=||2=,得·(+-)=0,即·(++)=0,所以2·=0,所以⊥.所以∠A=90°,又因为依据条件不能得到||=||,故△ABC为直角三角形.3.(多选题)已知△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满意=2a,=2a+b,则下列结论正确的是 ()A.|b|=2 B.a·b=-1C.a⊥b D.(4a+b)⊥【解析】选ABD.在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2,选项A正确.又=2a且||=2,所以|a|=1,所以a·b=|a||b|cos120°=-1,选项B正确,选项C错误.(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥,D正确.4.(2024·西宁高一检测)已知向量与的夹角为θ,||=2,||=1,=t,=(1-t),t∈R,||在t=t0时取得最小值,当0<t0<QUOTE时,夹角θ的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为向量与的夹角为θ,||=2,||=1,所以·=2cosθ,=-=(1-t)-t,得||2==(1-t)2-2t(1-t)·+t2=(5+4cosθ)t2-(2+4cosθ)t+1,所以t0=QUOTE,由0<QUOTE<QUOTE,且5+4cosθ>0,解得-QUOTE<cosθ<0,因为0≤θ≤π,所以QUOTE<θ<QUOTE.二、填空题(每小题4分,共16分)5.如图,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则·(-)=.

【解析】由已知得||=QUOTE,||=QUOTE,则·(-)=(+)·=·+·=1×QUOTEcosQUOTE+QUOTE×QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE6.(2024·济宁高一检测)已知向量a,b的夹角为QUOTE,且|a|=2,|b|=1,则a-b在a+b方向上投影的数量为.

【解析】因为向量a,b的夹角为QUOTE,且|a|=2,|b|=1,则|a+b|2=a2+2a·b+b2=4+2×2×1·cosQUOTE+1=3,所以|a+b|=QUOTE,且(a-b)·(a+b)=a2-b2=3,所以a-b在a+b方向上投影的数量为QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.(2024·宁波高一检测)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.

【解析】因为在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,所以·=cos60°=3,=QUOTE+QUOTE,得·=·(λ-)=QUOTE×3+QUOTE×4-QUOTE×9-QUOTE×3=-4⇒λ=QUOTE.答案:QUOTE8.已知和是平面内的两个单位向量,它们的夹角为60°,则2-与的夹角是.

【解析】设2-与的夹角为θ,则cosθ=,又与是平面内的两个单位向量,则||=1,||=1,则(2-)·=-(2-)·=-2·+=-2||·||cos60°+=0,所以cosθ=0,又0°≤θ≤180°,所以θ=90°.答案:90°三、解答题(共38分)9.(12分)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,试求:(1)a·b;(2)(a+b)·(a-b);(3)(2a-b)·(a+3b).【解析】(1)a·b=|a|·|b|cos120°=2×3×QUOTE=-3.(2)(a+b)·(a-b)=a2-a·b+a·b-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×4-5×3-3×9=-34.10.设向量a,b满意|a|=|b|=1,且|3a-2b|=QUOTE.(1)求a与b的夹角;(2)求|2a+3b|的大小.【解析】(1)设a与b的夹角为θ.由已知得QUOTE=QUOTE=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cosθ=7,于是cosθ=QUOTE,故θ=QUOTE,即a与b的夹角为QUOTE.(2)|2a+3b|=QUOTE=QUOTE=Q