复数及其应用-2025年高考数学一轮复习

专题10复数及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

维构建・耀蓿陈绐

复数的定义：形如a+bi（a,bGR）横叫做复数

其中实部是a,虚部是b

诩（b=o））题型复数的基本概念及应用

复数的分类01

K。知识点一复数的基本募吸b/0）（a=0够蜃数））题型02根据复数相等求参数

题型03复数的模长计算

题型04共姬复数及其应用

（复数的有关概念）＜共姬复数）

1■（复数的模）

复

数复平面的概念一建立直角坐标系来表示复数的平面口微复平面

题型01复数与复平面的点——对应

及点二复数的几何意义［中［实M与部＞~Y渐叫做实轴，y轴叫做画

题型02复数与复平面向量——对应

其题型03复数的模的几何意义及应用

殷的几何表示

应

用z_4—-,7^复数的运算法则一力口、减、乘、除题型01复数的四则运算

知识点三复数的四则运算、…~------------题型02复数的乘方运算

YV__o______:__________________/＞£M复数运算的几个重力论

题型03复数范围内解方程

辐角的定义

复数的辐角

辐角主值

题型01复数的代数式与三角式互化

O知识点四复数的三角形式复数的三角跖t：Z=r（cose+isin6）题型02复数三角形式乘除法运算

题型03复数的新定义问题

复数的三角形式及运算复数的乘法运算

复数的除法运算

口识盘点-霍翡讣缺

知识点1复数的基本概念

1、复数的定义：形如。+历（。，6GR）的数叫做复数，其中实部是。，虚部是瓦

2、复数的分类：

实数6=0,

复数z=a+6i

.纯虚数a=0,

a,bWR虚数厚0

.非纯虚数存0.

3、复数的有关概念

复数相等且Z?=d(a,b,c,d£R)

共轨复数〃+历与c+di共轨=〃=c且b=—d(o,b,c,d£R)

向量次的模叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|〃+bi|,

复数的模

即|z|=|〃+bi|=厂=。层+炉(厂K),a,Z?eR)

知识点2复数的几何意义

1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面;

2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上

的点都表示纯虚数；

3、复数的几何表示：复数z=a+历《二一对应》复平面内的点Z(a,6)«.•对应》平面向量方.

知识点3复数的四则运算

1、复数的运算法则

设Z]=a+历，z2=c+di(a,b,c,dGR),贝!]

(1)zi+z2=(cz+历)+(c+di)=(a+c)+(b+</)i；

(2)zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—<7)i；

(3)zi-Z2—(,a+bi)(c+di)—(ac—bd)+(ad+bc)i；

z,a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.,八、

(4)—=——-=-————~r=——rr+-TTHC+di片0)

Z]c+di(c+di)(c—di)c~+d~c+d~

2、复数运算的几个重要结论

2222

(1)|Z1+Z2|+|Z1-Z2|=2(|Z1|+|Z2|).

(2)z-z=|z|2=|z|2.

(3)若Z为虚数,则|z|2先2.

(4)(l±i)2=±2i.

(5)i4"=l;i4"+l=i;i4"+2=—1；i4"+3=—i.

知识点4复数的三角形式

1、复数的辅角

(1)辅角的定义：设复数z=a+6i的对应向量为下，以久轴的非负半轴为始边，向量成所在的射线(射

线。Z)为终边的角。，叫做复数z的辅角.

(2)辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这

些值相差2兀的整数倍.

规定：其中在0W6<2兀范围内的辅角。的值为辅角的主值，通常记作argz.

【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的.

2、复数的三角形式及运算

(1)定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cos8+is讥8)的形式，其中r是复数的模，。是复数的辅角.

【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连.

(2)复数乘法运算的三角表示：已知Z]=rMcosO]+is三0力,z2=r2(cos02+isin02),

则Z]Zi=r1r2[cos(01+02)+isin(01+02)].

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和.

(3)复数除法运算的三角表示：已知Z]wrKcosOi+is三4),z2=r2(cos02+isind2)

则豆=r13s/+is讥/）=立［cos（0）+is讥（4_4）］.

Lv10v1

z2r2（cos02+istne2）r2“〃」

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,

商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.

点突破・看分•中特

重难点01与复数有关的最值问题

求复数模的范围与最值问题的解题策略

（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求

模的范围与最值问题来解决；

（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；

（3）利用三角函数解决.

【典例1】（2024•山东烟台•三模）若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则目的最小值为（）

A.1B.72C.73D.2

【典例2】（2024.云南,二模）已知i为虚数单位，复数z满足|zT|=|z+i|,则|z-i|的最小值为（）

A.—B.\C.-D.0

223

重难点02共朝复数与复数运算的综合问题

共朝复数问题的求解技巧：

1、若复数z的代数式已知，则根据共辗复数的定义，可以写出之，再进行复数的四则运算.

2、已知关于z和'的方程，而复数z的代数形式位置，求解z.解决此类问题的常规思路是：设

z=a+bi（a,bqR）,则［=。-历，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解.

【典例1】（2024•福建泉州•一模）（多选）已知复数z满足z=l-工，则（）

Z

A-z-z=1B.z2=zC.z+z=—1D.\z—~z\=A/3

【典例2］（23-24高三下•湖南娄底•阶段练习）（多选）己知复数z”Z2的共辗复数分别为,，耳，下列结论正

确的是（）

A.若均为纯虚数，则z+2=0

B.若Z；+Z；=0,贝！|ZI=Z2=。

C.若［Z］—z?|=0,则Z］—z?=0

D.若|z-l|=|z+l|,贝I在复平而内对应的点的轨迹为直线

法技巧•逆境学霸

一、复数的分类

对于复数。+历，

C1）当且仅当b=0时，它是实数；

（2）当且仅当a=b=O时，它是实数0；

（3）当厚0时，叫做虚数；

（4）当°=0且厚0时，叫做纯虚数.

【典例1】（2024•广东东莞.模拟预测）若复数z满足（5+i）（l+i）=4,则复数z的虚部是（）

A.2B.-2C.3D.-3i

【典例2］（23-24高三上・甘肃庆阳•阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（）

A.z=i（l-i）2B.z=（l+i）2

C-Z=（l+i）（l+2i）（l+3i）D.z=|^

二、求复数标准代数式形式的两种方法

1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；

2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的

方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部.

【典例1】（2024.新疆三模）复数z满足|z+2i|=|z|,则z的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

【典例2】（2024福建泉州•模拟预测）己知复数z满足忖=2,上一2|=2,贝（）

A.20B.2C.-2D.-273

三、复数的几何意义

（1）任一个复数z=a+Ai（Q,Z?£R）与复平面内的点Z（〃，。）是---对应的.

（2）一个复数2=〃+历（〃，b£R）与复平面内的向量U2=（a,6）是一一对应的.

【典例1】（2024・四川自贡・三模）在复平面内，复数4，Z2对应的向量分别是丽=（-2,3）,砺=（3,-2）,

则复数年-对应的点位于（）

Zl+Z2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【典例2】（2024.安徽马鞍山.三模）已知复数z满足z-7=2（z+彳）=4,若z在复平面内对应的点不在第一象

限，则2=.

四、虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，i"有如下性质：

i1=i,i2=­1,i3=i-i2=—i,i4=i3-i=-ii=1,

从而对于任何“GN+,都有i4,!+1=i4"-i=(i4)fl-i=i,

同理可证i4/2=—1,i4«+3=-i,i4n+4=l.

这就是说，如果"CN+,那么有i4"+l=i,i4"+2=—1,i4"+3=—i,i4.+4=i.

由此可进一步得(l+i>=2i,(1—i)2=—2i,^7|4=—1,^^=i,1=-i.

【典例1】（2024.湖北.二模）已知复数z=4（l+i）,贝叱°24=)

A.1B.-1C.—iD.i

【典例2】（2024•河北・三模）已知复数［满足Z（i2023+i2024）=i2025,则三的共辗复数的虚部是（）

五、复数方程的解

在复数范围内，实系数一元二次方程a/+力％+。=o（aW0）的求解方法：

（1）求根公式法：

①当ANO时，X=T士心ic②当△＜（）时，X=-b士正（小4喳

2a2a

（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=mneR）,

将此代入方程a/+bx+c=0（a力0）,化简后利用复数相等的定义求解.

【典例1X23-24高三下•西藏拉萨•阶段练习）已知z=l-i是方程22+2改-6=0（°,此11）的根,则4+。=（）

A.-3B.-1C.2D.3

【典例2】（2024•江苏盐城.模拟预测）（多选）已知％,z?为方程/+2彳+3=0的两根，则（）

A.|z!-z2l=2A/2B.—+—=I

H4z,3

C.闵+闫=2百D.Z]—z2=Z]+z2

六、复数的三角表示

将复数z-a+6i(a,beR)化为三角形式z=r(cos9+is讥8)时,要注意以下两点：

(1)r=Va2+b2,

(2)cosd-sin0=p其中。终边所在象限与点(a,6)所在象限相同，

当a=0,b>0时，argz=1

【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等.

【典例1](23-24高三下•江苏苏州•阶段练习)(多选)任何一个复数2=a+历(。，beR,i为虚数单位)

都可以表示成z=r(cos6+isin。)(r>0,OeR)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫

弗发现：[r(cos0+isin6))]"=r"(cosnd+isin(”eN*),我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正

确的有()

A.复数Z=1-也i的三角形式为2=2(8$2-15.2)

IT

B.当〃=1,8==时，z+z2+z3+..-+z2024=0

2

TT

C.当r=2,§时，z3=—8

IT

D.当r=3,时，为偶数”是“z"为纯虚数”的充分不必要条件

4

【典例2】(2024.黑龙江哈尔滨.三模)复数z=a+历(a,6eR,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z,设

r=|OZ|,。是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z=a+历=r(cos6+isine),把

r(cosO+isin。)叫做复数。+历的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算,

(iA\3

[r(cose+isine)r=r"(cosnO+isin«0)[neN*),例如:—।—i=COS2K+isin27i=1,

22

7

(1+i)4=fV2fcos-^+isin^l=4(cos7i+isin兀)=一4,复数z满足：z=l+i，则z可能取值为()

参考答案与试题解析

专题10复数及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

维构建・耀蓿晓绐

/复数的定义：形如a+bi（a,b£R）横叫做复数

其中实部是a,虚部是b

(诩80))

题型复数的基本概念及应用

复数的分类01

O知识点一邮的基本概念竣(bW0)(a=0电蜃电题型02根据复数相等求参数

题型03复数的模长计算

题型04共姬复数及其应用

1■（复数的模）

复

数「复平面的整一建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

题型01复数与复平面的点——对应

及知识点二复数的几何意义）,与能＞■＜渐叫艇轴，轴叫）

y题型02复数与复平面向量——对应

其L复数的几何表示题型03复数的模的几何意义及应用

应

用z_4_-,7^复数的运算法则一力口、减、乘、除题型01复数的四则运算

-（o知识点三复数的四则运算）一…w----题型02复数的乘方运算

v______2：_____________）-复数运算的几个重一论1题型03复数范围内解方程

辐角的定义

复数的辐角

辐角主值

题型01复数的代数式与三角式互化

O知识点四复数的三角形式复数的三角跖t：z=r（cose+isin6）题型02复数三角形式乘除法运算

题型03复数的新定义问题

复数的三角形式及运算复数的乘法运算

复数的除法运算

口原盘点・查；层讣与

知识点1复数的基本概念

1、复数的定义：形如。+历（a,6GR）的数叫做复数，其中实部是。，虚部是从

2、复数的分类:

实数8=0,

复数z=〃+bi

纯虚数。=0,

a,Z?£R虚数厚0

.非纯虚数存0.

3、复数的有关概念

复数相等且Z?=d(a,b,c,d£R)

共轨复数〃+历与c+di共轨=〃=c且b=—d(o,b,c,d£R)

向量次的模叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|〃+bi|,

复数的模

即|z|=|〃+bi|=厂=。层+炉(厂K),a,Z?eR)

知识点2复数的几何意义

1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面;

2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上

的点都表示纯虚数；

3、复数的几何表示：复数z=a+历《二一对应》复平面内的点Z(a,6)«.•对应》平面向量方.

知识点3复数的四则运算

1、复数的运算法则

设Z]=a+历，z2=c+di(a,b,c,dGR),贝!]

(1)zi+z2=(cz+历)+(c+di)=(a+c)+(b+</)i；

(2)zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—<7)i；

(3)zi-Z2—(,a+bi)(c+di)—(ac—bd)+(ad+bc)i；

z,a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.,八、

(4)—=——-=-————~r=——rr+-TTHC+di片0)

Z]c+di(c+di)(c—di)c~+d~c+d~

2、复数运算的几个重要结论

2222

(1)|Z1+Z2|+|Z1-Z2|=2(|Z1|+|Z2|).

(2)z-z=|z|2=|z|2.

(3)若Z为虚数,则|z|2先2.

(4)(l±i)2=±2i.

(5)i4"=l;i4"+l=i;i4"+2=—1；i4"+3=—i.

知识点4复数的三角形式

1、复数的辅角

(1)辅角的定义：设复数z=a+6i的对应向量为下，以久轴的非负半轴为始边，向量成所在的射线(射

线。Z)为终边的角。，叫做复数z的辅角.

(2)辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这

些值相差2兀的整数倍.

规定：其中在0W6<2兀范围内的辅角。的值为辅角的主值，通常记作argz.

【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的.

2、复数的三角形式及运算

(1)定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cos8+is讥8)的形式，其中r是复数的模，。是复数的辅角.

【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连.

(2)复数乘法运算的三角表示：已知Z]=rMcosO]+is三0力,z2=r2(cos02+isin02),

则Z]Zi=r1r2[cos(01+02)+isin(01+02)].

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和.

(3)复数除法运算的三角表示：已知Z]wrKcosOi+is三4),z2=r2(cos02+isind2)

q(cosg+is讥%)

则广。)讥

=—r[cos(%—2+is—02)]-

r2(cos02+isinO2)2

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,

商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.

点突破・看分•必将

重难点01与复数有关的最值问题

求复数模的范围与最值问题的解题策略

（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求

模的范围与最值问题来解决；

（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；

（3）利用三角函数解决.

【典例1】（2024•山东烟台•三模）若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则目的最小值为（）

A.1B.72C.73D.2

【答案】B

【解析】若复数Z满足|z|=|z—2-2i|,

则由复数的几何意义可知复数z对应的点集是线段。4的垂直平分线，其中0（0,0）,A（2,2）,

所以忖的最小值为=g也2+22=后.故选:B.

【典例2】（2024.云南.二模）已知i为虚数单位，复数z满足|z-l|=|z+i|,则|z-i|的最小值为（）

A.走B.1C.-D.0

223

【答案】A

【解析】设z=x+yi,（x,yeR）,而|z-l|=|z+i］,所以（x-l）?+V=Y+（〉+i）2,gpy=-x,

所以|z-i|=Qx2+（y—I,=+（-x—］）2=J2x'+2x+l=/［尤+J,

等号成立当且仅当y=-x=；,

综上所述，|z-i|的最小值为正.故选：A.

重难点02共朝复数与复数运算的综合问题

共辗复数问题的求解技巧：

1、若复数Z的代数式已知，则根据共辗复数的定义，可以写出再进行复数的四则运算.

2、已知关于z和2的方程，而复数z的代数形式位置，求解z.解决此类问题的常规思路是：设

z=a+bi（a,bqR）,则z=。-Oi,代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解.

【典例1】（2024•福建泉州•一模）（多选）已知复数z满足z=l-L,则（）

Z

A.z-z=1B.z2=~zC.z+z=—1D.\z—'z\=>/3

【答案】AD

【解析】设复数z=a+历,（“8eR）,^z2=a2-b2+2abi

因为复数z满足z=l-L可得z2=z—l，贝02一加+2.历+历一1,

Z

可得a?-b2=a—lS.2ab=b,

由2ab=Z?时，可得Q=,或Z?=0,

2

当a时，可得匕=±也，此时z=」±走i；当/=0时，方程片一。+1=0,无解;

2222

对于A中，当2=^+且i,可得I=可得z，=i；

2222

当2=!一占i,可得[=』+也i,可得zi=l，所以A正确;

2222-

对于B中，当z」+且i,可得z'」+走i,且则z2/，所以B不正确;

222222

对于C中，当z=g+¥i,可得心「生，可得z+4=1，所以C不正确;

对于中，当2=工+立

Di,可得可得Z-Z=V§i,则|z-z|=6;

22

当z」一且i,可得且i,可得z二=一杳，则以刁=百，所以D正确.故选：AD.

222211

【典例2]（23-24高三下.湖南娄底•阶段练习）（多选）己知复数z”z?的共轨复数分别为,，三，下列结论正

确的是（）

A.若Z为纯虚数，则4+£=0

B.若z；+z；=O,贝l]Z[=Z2=。

C.若[Z]_z?|=0,则Z]—z2=0

D.若|z-l|=|z+l|,贝!|z在复平而内对应的点的轨迹为直线

【答案】ACD

【解析】对于A,设4=万，Z1=-bi,故4+4=0成立，故A正确，

对于B,设4=i,z2=1,则满足z；+z：=0,但Z1WZ2WO,故B错误，

对于C,设4=〃+历，z2=c+di,则Z]=Q-历，z2=c-dif

22

故Zi-Z2=(〃-c)+(Z?-d)i,I—z21=yl(a—c)+(b—d)=0,

解得a=c,b=d,贝UZ]—Z2=(a—c)+(d—6)i=0,故C正确，

对于D,设z=x+M，因为|z_l|=|z+l|,|z-l|=J(%-l)2+y2,

|z+l|=J(%+l)2+y2,所以J(.+l)2+y2=,

化简得冗=0,故z在复平而内对应的点的轨迹为直线，故D正确.故选：ACD.

法技巧•逆赛学霸

一、复数的分类

对于复数。+历，

（1）当且仅当6=0时，它是实数；

（2）当且仅当a=6=0时，它是实数0；

（3）当厚0时，叫做虚数；

（4）当。=0且以0时，叫做纯虚数.

【典例1】（2024.广东东莞.模拟预测）若复数z满足R+i）（l+i）=4,则复数z的虚部是（）

A.2B.-2C.3D.-3i

【答案】C

【解析】设z=a+6i,根据题意，可得（a—>i+i）（l+i）=4,

化简为(a+6—l)+(a—b+l)i=4,

a+b-l=4<7=2

根据复数相等，得,解得

。一6+1=0b=3

所以z=2+3i,即复数z的虚部是3.故选：C

【典例2］（23-24高三上.甘肃庆阳•阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（）

A.z=i(l-i)2B.2=(1+岁

C.Z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.—

【答案】AC

【解析】A项中，z=i(l—i)2=i(—2i)=—2i2=2,故A正确；

B项中，z=(l+iy=2i,故B错误；

C项中，z=(1+i)(1+2i)(1+3i)=(-1+3i)(1+3i)=-10,故C正确；

CT否rh8-6i(8-6i)(3-4i)-50i痂6研胡、*

D项中，z=-------=-------------------=------=-21,故D错灰.故选：AC.

3+4i2525

二、求复数标准代数式形式的两种方法

1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；

2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的

方程(组)，通过解方程(组)求出复数的实部与虚部.

【典例1】(2024•新疆三模)复数z满足|z+2i|=|z|,则z的虚部为()

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】C

【解析】设2=々+历且,则z+2i=a+>i+2i=a+(6+2)i,

因为|z+2i®z|,所以1+0+2)2=4+62,解得：b=-l,则z的虚部为-1.故选：C

【典例2】(2024.福建泉州.模拟预测)已知复数z满足忖=2,|z-2|=2,则z+$=()

A.2A/3B.2C.-2D.-2A/3

【答案】B

【解析】设复数z=o+Z?i,a,beR,

由|z—2|=回=2,得［(a-2)~+6。=yja2+b2=2,解得。=1,b=土下>，

:.z=1土6i,J.z+z=2.故选：B.

三、复数的几何意义

(1)任一个复数z=a+6i(a,万dR)与复平面内的点Z(a,b)是---对应的.

(2)一个复数z=a+历(a,bGR)与复平面内的向量被=(a,6)是---对应的.

【典例1】(2024•四川自贡・三模)在复平面内，复数4，z?对应的向量分别是次=(-2,3),OB=(3,-2),

则复数对应的点位于()

ZI+z2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】因为复数4，z?对应的向量分别是砺=(-2,3),05=(3,-2),

所以Z1=-2+3i,Z]=3-2i,

所以z。-3*_(3-2i)(l-i)_l5

B/T----------------------------------------------------------------------------------------J

Z1+Z2-2+3i+3-2i(l+i)(l-i)22

所以复数二上对应的点为位于第四象限.故选：D

z+z

i2I)

【典例2】(2024•安徽马鞍山.三模)已知复数z满足zN=2(z+方=4,若z在复平面内对应的点不在第一象

限，则Z=.

【答案】1-亚

【解析】设2=。+阮。,b£R,则5=Q_"i,

因为z•彳=2(z+z)=4,

=(〃+历)(〃一。[)=〃2+匕2=4[a=l[«=1

则12(z+2)=2M+bi)+(a-bi)]=4a=4'解得,或-6，

又因为z在复平面内对应的点不在第一象限，可知6<0,

a=l

可知V,=所以Z=1-gi.

b=—v3

故答案为：1-后.

四、虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，i"有如下性质：

i1=i,i2=—Li3=i-i2=—i,i4=i3-i=—i-i=L

从而对于任何wGN+,都有i4,!+1=i4"-i=(i4),!-i=i>

同理可证i4"+2=—1,i4"+3=—i,i4«+4=l.

这就是说,如果"GN+,那么有i4"+l=i,i4"+2=—1,i4”+3=—i,i4”+4=l.

由止匕可进一步得(l+i>=2i,(1—i)2=—2i,—1,1=—i.

【典例1】(2024.湖北.二模)已知复数z="(l+i),则z202^()

A.1B.-1C.-iD.i

【答案】A

【解析】因为Z=#（l+i）,所以z2=g（l+2i+i2）=i,

所以22。24=卜2）皿2=（以。“=1.故选：人

【典例2】（2024・河北・三模）已知复数三满足Z（i2023+i2024）=i2025,则1的共辗复数的虚部是（）

1.

A.—1B.C.—1D.

2~222

【答案】D

［解析］iz(i2023+i2°24)=i2025,可得Z(i3+4x5°5+i0+4x506)=il+4x506,

i(l+i)-1+i

所以z(l—i)=i所以z=三-lli

d-i)(l+i)22+2

iij

所以z=所以I的共轨复数的虚部是-g故选：D.

五、复数方程的解

在复数范围内，实系数一元二次方程a/+°久+c=0（a70）的求解方法：

（1）求根公式法：

①当90时，“=生里王②当△<o时，％=但iiOi

2a2a

（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni（m,n€R）,

将此代入方程a/+bx+c=0（a^0）,化简后利用复数相等的定义求解.

【典例1］（23-24高三下•西藏拉萨•阶段练习）已知z=l-i是方程z2+2az-b=0（dbeR）的根，则。+分=（

A.—3B.—1C.2D.3

【答案】A

［解析］由题意，得（1—i）2+2a（l—i）—b=O,即2o_b+（_2_2a）i=0,

所以2a—Z?=0,且一2—2a=0,解得。=-1涉二—2,

所以。+方=一3.故选：A.

【典例2】（2024•江苏盐城•模拟预测）（多选）已知马，Z2为方程无2+2无+3=0的两根，则（）

A.|zj-z2|=272B.—+—=

Z1Z23

c.闵+阂=2,D.Z]—z2=Z]+z2

【答案】BC

【解析】方程/+2工+3=0的两根分另Ij为一1+"和一1-",且Z1+Z]=-2,z/Z]=3,

所以不妨设Z]=—1+J5i,z2=—1—^/2i,

^=-l+V2i,所以卜-司=/1+6)-卜1+4)|=0,故A错误；

114+Zo2

—+—=-^^=-T,故B正确；

Z]Z[Z]Z?3

22

|Z1|+|z2|=2^(-l)+[V2)=2A/3,故c正确；

Z]_z?=_2^/2i9Z]+z2=-1--1+A/^.——2,

所以z「Z2W4+Z2,故D错误.故选：BC.

六、复数的三角表示

将复数z=a+hi(a,bER)化为三角形式z=r(cosO+is讥。)时，要注意以下两点：

(1)r=Va2+b2,

(2)cosd=sind=\其中。终边所在象限与点(a,6)所在象限相同，

当a=0,b>0时，argz=1

【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等.

【典例1](23-24高三下•江苏苏州•阶段练习)(多选)任何一个复数2=。+历(a,匕eR,i为虚数单位)

都可以表示成z=r(cosO+isin。)(r>0,OeR)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫

弗发现：[r(cose+isine)y=r"(cos"+isin“e)(”eN*),我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正

确的有()

A.复数Z=1-A/^的三角形式为z=2(cos"|•-isin^j

B.当〃=1,6==时，z+z2+z3+-..+z2024=0

2

TT

C.当尸=2