人教A版（2019）高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用 教学设计

人教A版（2019）高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用教学设计科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）人教A版（2019）高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用教学设计教材分析“人教A版（2019）高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用教学设计”：本节课主要介绍函数模型在实际问题中的应用，包括线性函数模型、二次函数模型、指数函数模型等。通过分析具体实例，使学生掌握如何选择合适的函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力和应用意识。本节课内容与生活实际紧密联系，旨在培养学生的实际问题解决能力和创新思维能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学建模、逻辑推理和数据分析核心素养。通过分析实际问题的函数模型，学生将提高运用数学知识解决实际问题的能力，培养数学应用意识。同时，通过探索和建立函数模型，学生将发展逻辑思维能力，学会从具体情境中抽象出数学问题，提高数学抽象素养。此外，通过对不同函数模型的比较和分析，学生将增强数据分析能力，为解决更复杂的实际问题奠定基础。教学难点与重点1.教学重点

-函数模型的选择与应用：本节课的核心是让学生能够根据实际问题的特点选择合适的函数模型。例如，对于描述人口增长、物体冷却等情境，重点在于让学生理解并掌握指数函数模型的应用。

-实际问题的数学抽象：培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，如将物理运动过程中的距离、速度等关系抽象为函数表达式。

2.教学难点

-函数模型的选择依据：学生可能难以判断在何种情况下使用哪种函数模型，例如，如何判断一个实际问题应该用线性函数还是二次函数模型来描述。

-难点举例：在讲解线性增长与非线性增长时，学生可能难以区分何时使用线性函数模型（如人口增长初期）和何时使用非线性函数模型（如人口增长后期）。

-函数模型的参数估计：确定函数模型参数的过程可能对学生来说较为复杂，例如，如何从给定数据中估计线性函数的斜率和截距。

-难点举例：在分析一组实验数据时，学生可能不知道如何使用最小二乘法来估计线性函数模型的参数，或者难以理解最小二乘法的数学原理。

-实际问题与函数模型的关联：学生可能难以将实际问题与函数模型建立起直接的联系，例如，如何将经济问题中的成本、收益与函数模型关联起来。

-难点举例：在分析一个公司成本收益问题时，学生可能不知道如何将成本和收益表示为函数，以及如何通过函数模型预测未来的收益情况。教学资源-软硬件资源：计算机、投影仪、白板、数学软件（如GeoGebra）

-课程平台：学校教学管理系统、在线学习平台

-信息化资源：数学建模案例资料、函数模型教学视频、在线互动问答系统

-教学手段：小组讨论、案例分析、实验模拟、问题驱动教学教学过程1.导入新课

-我会通过提出一个实际问题来导入新课，例如：“同学们，你们知道我们国家的GDP增长率是如何计算的吗？其实，这就是一个典型的函数模型应用问题。今天，我们就来学习如何选择和应用函数模型来解决实际问题。”

2.知识回顾

-在进入新课内容之前，我会带领学生回顾一下之前学过的函数知识，如线性函数、二次函数、指数函数等，并简要介绍它们在实际生活中的应用。

-我会提问：“同学们，你们能告诉我我们学过的这些函数分别有什么特点吗？它们在实际生活中有哪些应用呢？”

3.教学新课

（1）函数模型的选择

-首先，我会讲解如何根据实际问题的特点选择合适的函数模型。我会通过具体的案例来说明，如线性增长、非线性增长等。

-我会说：“同学们，当我们遇到描述人口增长、物体冷却等情境时，我们可以选择指数函数模型；而当遇到描述物体运动、成本分析等情境时，我们可能需要选择线性函数模型或二次函数模型。”

（2）实际问题的数学抽象

-接下来，我会教授如何从实际问题中抽象出数学模型。我会以一个具体的案例为例，引导学生分析问题、提炼关键信息，并建立函数模型。

-我会说：“同学们，我们现在来分析一个物理运动问题。假设一个物体从静止开始做匀加速直线运动，我们需要描述它的位移和时间的关系。大家能告诉我如何建立这个关系吗？”

（3）函数模型的参数估计

-然后，我会讲解如何确定函数模型的参数。我会通过实验数据或实际案例来说明如何使用最小二乘法等方法来估计参数。

-我会说：“同学们，当我们有一组实验数据时，如何确定线性函数模型的参数呢？这里我们需要使用最小二乘法。下面，我们来学习一下最小二乘法的基本原理。”

（4）函数模型的应用

-最后，我会让学生运用所学的函数模型解决实际问题。我会给出一些案例，让学生分组讨论、分析，并建立相应的函数模型。

-我会说：“同学们，现在请大家分成小组，每个小组选择一个实际问题，尝试运用我们学过的函数模型来解决。大家可以参考教材中的案例，也可以自己搜集相关资料。”

4.练习与讨论

-在讲解完新课内容后，我会给出一些练习题，让学生独立完成。然后，我会组织学生进行讨论，共同分析解答过程中的疑惑。

-我会说：“同学们，现在请大家完成练习题。完成后，我们可以一起讨论，看看大家的解答是否正确，也可以互相交流一下解题思路。”

5.总结与反思

-最后，我会对本次课程进行总结，强调函数模型在实际问题中的应用价值，并引导学生反思所学内容。

-我会说：“同学们，今天我们学习了函数模型的应用。希望大家能够认识到函数模型在解决实际问题中的重要作用，并在今后的学习和生活中，学会运用数学知识来分析问题、解决问题。下面，请大家分享一下本次课程的学习心得。”学生学习效果学生学习效果，主要体现在以下几个方面：

1.掌握函数模型的基本概念和特点：通过本节课的学习，学生能够理解函数模型的概念，了解不同类型的函数模型（如线性函数模型、二次函数模型、指数函数模型等）的特点和应用场景。

2.提高数学建模能力：学生在学习过程中，通过分析实际案例，能够将实际问题抽象为数学模型，运用所学的函数知识建立合适的函数模型，从而提高了数学建模能力。

3.增强逻辑推理和数据分析能力：学生在建立函数模型的过程中，需要运用逻辑推理来分析问题，通过数据分析和参数估计来确定模型的准确性。这些过程有助于培养学生的逻辑推理和数据分析能力。

4.提升实际问题解决能力：通过本节课的学习，学生能够将数学知识应用于实际问题，学会如何选择合适的函数模型来分析问题、解决问题，从而提升了实际问题的解决能力。

5.培养数学应用意识：学生在学习函数模型的应用过程中，逐渐认识到数学在生活中的重要性，增强了数学应用意识，激发了学习数学的兴趣。

6.具体知识点掌握情况：

-理解并能够运用线性函数模型解决实际问题，如成本分析、收益预测等。

-掌握二次函数模型的应用，能够解决抛物线运动、最优化问题等。

-了解指数函数模型的特点，能够应用于人口增长、放射性衰变等情境。

-学会使用最小二乘法等参数估计方法，能够从实验数据中估计函数模型的参数。

-能够通过函数模型对实际问题进行预测和分析，提出合理的解决方案。

7.增强团队协作和沟通能力：在小组讨论和案例分析环节，学生需要与同伴合作，共同解决问题。这一过程有助于培养学生的团队协作能力和沟通能力。

8.培养创新思维：在解决实际问题的过程中，学生需要不断尝试新的方法和思路，这有助于培养学生的创新思维和解决问题的能力。作业布置与反馈作业布置：

1.基础题：请同学们完成教材PXX页的练习题1-5，这些题目旨在帮助你们巩固函数模型的基本概念和特点。

-练习题1：根据给定的数据表，选择合适的函数模型进行拟合，并解释选择的理由。

-练习题2：建立线性函数模型，描述某种商品的成本与产量之间的关系。

-练习题3：分析二次函数模型在物理运动中的应用，如抛物线运动。

-练习题4：探讨指数函数模型在人口增长中的应用。

-练习题5：使用最小二乘法估计线性函数模型的参数。

2.提高题：请同学们结合自己的生活实际，选择一个感兴趣的问题，尝试建立函数模型，并撰写一篇简短的报告。

-报告要求：描述问题的背景，建立函数模型的过程，参数估计的方法，以及对结果的讨论和分析。

3.拓展题：阅读教材中的案例研究，思考如何将案例中的函数模型应用于其他类似情境，并撰写一篇心得体会。

作业反馈：

1.对于基础题，我会在下次课前对你们的作业进行批改，并提供及时的反馈。我会重点关注以下几点：

-是否正确理解了函数模型的概念。

-是否能够合理选择函数模型来解决实际问题。

-是否掌握了参数估计的基本方法。

2.对于提高题和拓展题，我会在一周内完成批改，并给出详细的评价和建议。我会考虑以下方面：

-问题的选择是否具有实际意义。

-函数模型的建立是否合理。

-参数估计的方法是否正确。

-报告的结构是否清晰，语言是否表达流畅。

3.对于作业中普遍存在的问题，我会在课堂上进行集中讲解，确保每位同学都能够理解和掌握相关知识。对于个别同学的问题，我会提供一对一的辅导，帮助你们克服学习中的难点。

4.我会鼓励同学们相互之间进行作业交流，通过讨论和互助，共同提高函数模型的应用能力。重点题型整理题型一：线性函数模型的应用

题目：某工厂生产一种产品，每件产品的成本为50元，售价为100元。假设工厂每月固定成本为2000元，问该工厂每月销售多少件产品才能达到盈亏平衡？

答案：设销售产品的件数为x，则总成本为50x+2000，总收入为100x。盈亏平衡时，总成本等于总收入，即50x+2000=100x。解得x=40。所以，该工厂每月需销售40件产品才能达到盈亏平衡。

题型二：二次函数模型的应用

题目：一个抛物线运动物体的最高点距离地面10米，物体从最高点落地经过4秒钟。求物体的下落速度和落地点距离最高点的水平距离。

答案：设物体的下落速度为v，水平距离为x。由题意知，物体下落的垂直位移为10米，水平位移为4x米。根据二次函数模型，垂直位移s=-0.5gt^2+vt，其中g为重力加速度，t为时间。将s=10，t=4代入，得到-0.5g(4^2)+4v=10。解得v=5g/2。由于g=9.8m/s^2，所以v=24.5m/s。水平距离x=vt=24.5*4=98米。

题型三：指数函数模型的应用

题目：某地区的人口以每年5%的速率增长。如果该地区目前人口为100万，求5年后的人口数量。

答案：设n年后的人口数量为P(n)，则P(n)=P0*(1+r)^n，其中P0为初始人口数量，r为增长率。将P0=100万，r=0.05，n=5代入，得到P(5)=100万*(1+0.05)^5=127.628万。所以，5年后的人口数量约为127.628万。

题型四：函数模型的参数估计

题目：以下是某次实验中测得的物体在不同时间下的温度数据（单位：摄氏度）：

时间（分钟）:012345

温度（℃）:202225283135

假设物体温度的变化可以用线性函数模型描述，求该模型的函数表达式。

答案：使用最小二乘法估计线性函数模型的参数。设线性函数为T=at+b。根据最小二乘法的原理，我们可以列出以下方程组：

Σ(t-t̄)(T-T̄)=aΣ(t-t̄)^2+bΣ(t-t̄)

Σ(t-t̄)^2=aΣ(t-t̄)^2+bΣ(t-t̄)

其中，t̄和T̄分别是时间和温度的平均值。通过计算得到a和b的值，从而得到线性函数的表达式。计算后得到T=3t+17。

题型五：综合应用题

题目：一家公司计划投资一个新项目，该项目的预期寿命为4年。项目的初始投资成本为100万元，每年可以带来30万元的净收益。项目结束时，设备可以以10万元的价格出售。假设折现率为12%，求该项目的