河南省项城市某中学2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

河南省项城市第三高级中学2023-2024学年高一下学期期末考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始

评分中去掉1个最高分、1个最低分，不变的数字特征是（）

A.中位数B.平均数C.方差D.极差

2.设2="，贝”2=（）

A.-2B.V2C.-V2D.2

3.已知〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若〃z〃c,“ua,则加〃〃B.若m〃n,mLa,则〃_La

C.若〃7_L〃，m//a,则"〃aD.若夕，mLa,则机〃力

4.设△4BC的内角/,B,C所对边分别为a,b,c,若a=3,b=拒,/=],则3=（）

A兀兀c兀5兀.、兀—p.2兀

A.—B.—C.—或—D.—或—

636633

5.如图所示，梯形是平面图形/BCD用斜二测画法画出的图形，A'D'=2B'C'=2,

A.4B.12C.2D.2A/3

7.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件/="第一枚硬币正面朝上"，事件8="第二枚硬币反

面朝上”，则下述正确的是（）

A.A与5互为对立事件B.A与5互斥

C.A与3相等D.A与3相互独立

试卷第1页，共4页

32

8.甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为《，乙获胜的概率为不，若采

用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（）

963「81-101

A.B.----C.----D.----

25125125125

二、多选题

9.已知，为虚数单位，在复平面内，复数z=」L,以下说法正确的是（）

2+z

4

A.复数z的虚部是：,B.|z|=l

24

C.复数z的共粗复数是D.复数z的共甄复数对应的点位于第四象限

10.给出下列说法，其中正确的是（）

A.数据0,1,2,4的极差与中位数之积为6

B.已知一组数据占,无2,…,x”的方差是5,则数据4占-1,4芦-1,…,4x“-l的方差是20

C.已知一组数据占,尤2,…,x”的方差为0,则此组数据的众数唯一

D.已知一组不完全相同的数据占，尤2,…,x”的平均数为%,在这组数据中加入一个数天

后得到一组新数据升,再,…，乙，其平均数为卜贝底=/

11.在棱长为2的正方体N88-44CA中，己。分别是棱3C,CG的中点，点“满足

两=电&€[0,1],下列结论正确的是（）

A.若则4月〃平面

B.若％=1,则过点0的截面面积是1

c.若/=1，则点4到平面九牛。的距离是.

26

1万

D.若":，则N8与平面"P0所成角的正切值为‘

22

三、填空题

12.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm,则钢球的半径是一

cm.

13.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大

试卷第2页，共4页

排序如下：158,165,165,167,168,169,17L172,173,175.则这组样本数据的第

60百分位数是.

jr__

14.已知在边长为2的菱形48CD中，NDAB=g，点、E满足丽=3衣,贝U

AC-AE=.

四、解答题

15.抛掷两枚质地均匀的骰子(标号为I号和n号)，记下两枚骰子朝上的点数，求下列事

件的概率：

(1)力="两个点数之和是5"；

(2)3="两个点数相等”；

(3)C="I号骰子的点数大于n号骰子的点数”.

16.已知平面向量值=(2,4),b=(6,x),1=(4,y),且l〃》，ale.

(1)求7和J

⑵若灰=2。-否，n^a+c,求向量三和向量7的夹角的大小.

17.已知在V/8C中，acosB+bcosA=2ccosA.

(1)求A的大小；

(2)若C=4,A/BC的面积为56，求VN8C的周长

18.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六组:

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)后得到如图所示频率分布直方图.

⑴求。的值；

(2)根据频率分布直方图，求众数和中位数；

(3)用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在

试卷第3页，共4页

[70,90)分数段抽取的人数;

19.如图，在四面体48CD中，48=2。=CD=3,/B_L平面BCD,CDLBD,点、M为AD

上一点，且=连接

(1)求证8M_LCD.

(2)求点D到平面BMC的距离；

(3)求二面角M-BC-D的余弦值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ADBACCDCCDACD

题号11

答案BD

1.A

【分析】根据中位数，平均数，方差，极差的定义进行判断，得到答案.

【详解】A选项，9个数据从小到大进行排列，西,3,…户8户9,故中位数为飞，

去掉X],%后，…％的中位数为％,A正确;

B选项，原数据的平均数为*+&+：+飞+/

去掉网,与后，…％的平均数为强土产，

则//+…+/+/%2T•+/7再+7/—(2/+…+24)

9763

由于7再+7%-(2%+…+24)的正负不确定，无法确定平均数是否改变，B错误;

C选项，同平均数一样，方差也无法确定是否改变，C错误;

D选项，若再=%2，%8=%，则极差不改变,

若再或/</，此时极差变小，D错误.

故选：A.

2.D

【分析】先根据共辗复数的定义写出口然后根据复数的乘法计算.

【详解】依题意得，，=』,故zW=—2i?=2.

故选：D

3.B

【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，若加〃a,几ua,则加〃〃或异面，故A选项错误;

对于B选项，若冽〃*mLa,则〃_La,故B选项正确；

对于C选项，若冽_L〃，m//a,则〃//a或〃ua或相交，故C选项错误；

对于D选项，若a_L",mA-a,则加〃〃或冽u",故D选项错误；

故选：B

答案第1页，共12页

4.A

AciTiA1

【分析】根据已知与正弦定理可求得sin2=9^4=利用大边对大角可得8为锐角，结

a2

合特殊三角函数值即可求解.

【详解】结合题意，由正弦定理可得.D加inZ51,

smB=-----=------=-

a32

7T

又a>b,且A为锐角，；.8为锐角，.18=：.

6

故选：A.

5.C

【分析】利用斜二测画法画出平面图形为直角梯形，再求面积.

【详解】如图，

作平面直角坐标系》-。-九使N与O重合，在x轴上，

HAD=2,AB在了轴上，5.AB=2,

过8作8C7//D,且BC=1,则四边形/BCD为原平面图形，为直角梯形，

其面积为S=；(1+2)X2=3.

故选：C.

6.C

【分析】先根据已知条件求出H，再由悔+目=J(2£+B)2化简计算即可

【详解】因为向量向=1,⑻=2,它们的夹角为京，

一—一一2

所以〃-5二|。卜|5|cos§兀=一1,

所以悔+*](22+斤=\l4a2+4a-b+b2=〔4+(-4)+4=6=2.

故选：C.

7.D

【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可.

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【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）,

事件/包含的结果有：（正，正），（正，反），事件8包含的结果有：（正，反），（反,反），

显然事件事件8都含有“（正，反）”这一结果，即事件4事件8能同时发生，因此，事

件4事件8既不互斥也不对立，故A,B均错误；

事件事件2中有不同的结果，于是得事件/与事件2不相等，故C错误；

21211

因为P（/）=W=5，P（8）=Z=5，P（/3）=W，则P（/2）=P（N）尸（8）,所以/与8相互独立，

故D正确.

故选：D.

8.C

【分析】根据题意，由互斥事件的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，甲最终获胜有两种情况：

一是前两局甲获胜，则获胜的概率为0.6x0.6=0.36,

二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为2x0.6x0.4x0.6=0.288,

而这两种事件是互斥的，

Q1

所以甲最终获胜的概率为0.36+0.288=0.648=—.

125

故选：C

9.CD

【分析】根据复数的四则运算可得z=：2+（4i,再利用复数的概念、复数的模、共辗复数的

概念以及复数的几何意义逐一判断即可.

2z2;(2-/)2+4/24.

【详解】z=----------=—+—i,

2+z（2+。（2-，）5---55

4

对于A,复数z的虚部是《，故A错误；

对于B,=半'故B错误;

24

对于C,复数z的共辗复数是彳=《-1"故C正确;

_24

对于D,z=—-i,在复平面内，对应点的坐标为

5

复数z的共轨复数对应的点位于第四象限，故D正确.

故选：CD

答案第3页，共12页

10.ACD

【分析】对于A,求得极差、中位数即可判断；对于B,根据方差的性质即可判断；对于C,

根据方差的定义可得网=9=•••=%=下，从而可判断；对于D,根据平均数的计算公式即

可判断.

【详解】对于A,极差为4-0=4,中位数为*=±,所以极差与中位数之积为4X==6,

222

A对；

对于B,根据方差的性质可知，数据4再-1,4/-1,二4乙-1的方差是42><5=80,B错;

对于C,由方差/=：［（再_可2+缶_寸+…（可_寸］句，

可得花=%一••=%=元，即此组数据众数唯一，C对；

」十X+HFX

对于D,V———---------=x0,/.x1+x2+--+xn=nxQf

故选：ACD

11.BD

【分析】延长5综。尸相交于点人若44〃平面"P0,根据线面平行的性质定理可得工与B

重合可判断A；连接得四边形/RQP即为过点的截面，利用四边形

N20P是等腰梯形，求出面积可判断B；以。为原点，D4DC,他所在的直线分别为x/,z

轴建立空间直角坐标系，求出平面”尸。的一个法向量，利用点到平面的向量求法可判断C；

利用线面角的向量求法可判断D.

【详解】对于A,若f=l,则嬴=直，即点M与点A重合，

延长期,0尸相交于点上，连接4，贝I］平面Ng/J平面=

若/百〃平面MP。，4耳<=平面ZL8/1，所以4瓦〃/工，

因为所以4B//4L,即工与3重合，显然不可能，故A错误；

答案第4页，共12页

对于B,若％=1,则丽7=丽，即点M与点A重合，

连接4%02,G5,因为ADJIC\B,PQ//CiB,所以4口〃尸°,

即四边形/2。尸即为过点"，尸，。的截面，且40尸2仓P°=6,

22

AP=YIAB+BP=V5,DXQ=JcR+c©=旧,

3

所以四边形40笈尸是等腰梯形，其高为/?=

F'

9

故B正确;

对于C,若f=g，即点w是的中点，以。为原点，所在

的直线分别为x”，z轴建立空间直角坐标系,则M(2,1,0),尸(1,2,0),。(0,2,1),4(2,0,2),

MP=(-1,1,0),M2=(-2,1,1),离=(0,-1,2),

设行=(x,y,z)为平面必＞。的一个法向量，则

n-MPQ==00,所以［\—-x2x++yy=0+z=0

令J=l,则x=l,z=l,

答案第5页，共12页

所以河=（1,1,1）,所以点4到平面MP。的距离为

,故c错误,

对于D,若？=；，由C,/（2,0,0）,3（2,2,0）,所以次=（0,2,0）,

力=（1,1,1）为平面"P。的一个法向量,

设与平面所成角为“OVOV]

26

2XA/1+T+T-3

所以cos9=A/1-COS20=,

3

心

可得tan夕=,故D正确.

7622

T

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：CD选项的解题的关键点是建立空间直角坐标系求解.

12.3

4

【解析】设球的半径为一cm,由球的体积等于水面升高的体积，即可列方程求钢球半

径.

【详解】由题意知：水面升高的体积等于钢球的体积，设钢球的半径为一cm,贝！|：

4R

—=4x9〃=36万,解得：丫=3,

3

故答案为：3

13.170

【分析】根据百分位数的定义计算即可.

答案第6页，共12页

【详解】因为10x60%=6,

所以这组样本数据的第6。百分位数是丁".

故答案为：170.

14-T

【分析】根据相似比可得—/尸=（7—NC,即可利用数量积的几何意义求解.

O

【详解】如图，设/C与AD交于点。，过点E作出）的平行线交4C于点尸.因为而=3反,

—►1—,1—►—►7—►

所以网=Zg=/c'所以六二",

7T

因为四边形/BCD是边长为2的菱形，NDAB

所以ZC=2后，且成，ZC,所以存在％上的投影向量为春，

所以万.万=%./=?就2=包

82

15.(1)§

战

(3)—

~12

【分析】（1）判断出符合古典概型，列出样本空间，找到满足事件A的样本点，求比值即可;

（2）列出满足事件B的样本点，求比值即可；

（3）列出满足事件C的样本点，求比值即可.

【详解】（1）用机表示I号出现的点数为加，用“表示n号出现的点数为"，

则用（机,"）表示这个实验的一个样本点，

样本空间。={（加,”）1见{1,2,3,4,5,6}},共有36个样本点.

由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.

答案第7页，共12页

•.•4=｛（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）｝,

/.=4,

，尸⑷=&4」1；

369

（2）V5=｛（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）｝,

=6,

二尸⑶4]_

366

（3）

•.•C=｛（2,1）,（3,2）,（3,1）,（4,3）,（4,2）,（4,1）,（5,4）,（5,3）,（5,2）,（5,1）,（6,5）,（6,4）,（6,3）,（6,2）,（6,1）｝

.-.H（C）=15

5

3o12

16.（1）6=（6,12）,c=（4,-2）；

⑵亨♦

【分析】(I)由列方程可求出X,再由@/日列方程可求出y,从而可求出♦和1；

(2)先求出向量前和向量■的坐标，再利用向量的夹角公式求解即可.

【详解】(1)因为,〃B，所以2x-24=0,解得x=12,

因为所以8+4/=0,解得＞=一2,

故3=（6,12）,c-（4,-2）；

(2)沅=21—3=(—2,—4),元=3+己=(6,2),

设向量温和向量％的夹角为e,

m-n-20

则cosQ=

WW\2而x2卡

3

因为何°,兀］'所以。丁’

答案第8页，共12页

即向量AM和向量〃的夹角的大小为^.

4

71

17.⑴

（2）9+^21.

【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦展开式化简可得答案;

（2）利用三角形的面积公式求出6,余弦定理求出。可得答案.

【详解】（1）由正弦定理三=以C

S1IL4S11WsinC

得sinZcosB+sin5cos/=2sinCcos4.

所以sin(/+3)=2sinCcos/.

因为/+3+C=TI,所以sinC=2sinCcos力，

因为。£(0,7i),sinCw0,所以2cos4=1,即cos/=g,

又因为/£(0,兀)，所以/=］；

(2)因为S“BC=5百，即:csiM=5,

2

即工x6x4x迫5抬"，所以6=5,

22

又因为/=b2+c2-2bccosA,即/=25+16-2x5x4x?,

2

所以a=J?l，所以V48c的周长为9+庖.

18.⑴a=0.030

(2)众数为75,中位数2个20

⑶11

【分析】（1）根据小矩形面积之和为1建立等式求解即可；

（2）找到最高的小矩形的底所在的两个端点值求解即可；首先确定中位数在那一组内，再

利用从左到右面积等于0.5建立等式求解；

（3）确定抽相比，然后乘以［70,90）分数段的人数即可求解.

【详解】（1）由题意可得（0.01+0.015x2+0+0.025+0.005）x10=1,

解得a=0.030；

答案第9页，共12页

(2)根据频率分布直方图可知，［70,80)分数段的频率最高，因此众数为75,

设中位数为x,贝!|(0.01+0.015x2)xl0+(x-70)x0.03=0.5,

解得x=专；

(3)因为总体共60名学生，样本容量为20,因此抽样比为20,=：1.

又在［70,90)分数段共有60x(0.3+0.25)=33(人)，

因此在［70,90)分数段抽取的人数是33x；=11(人).

19.(1)证明见解析

【分析】(1)由48_L平面BCD,得1CD,而则由线面垂直的判定定理可证

得CD,平面,再利用线面垂直的性质可证得结论；

(2)由/"=可得点M到平面的距离为=l,在ABOM中利用余弦定理

求出即/,再在ABCM中利用余弦定理求出cos/BMC,从而可求出sin/BMC,则可求出

S：，然后利用等体积法可求得结果；

(3)取8C的中点N,连接DN,过"作于H,过H作HE，8c于£,连接ME,

则可得为二面角的平面角，然后根据已知的数据在中求解即

可.

【详解】(1)因为48_L平面BCD,CDu平面BCD,

所以4BLCD,

因为CQ1.3。，ABC\BD=B,平面ARD,

所以CD_L平面N3。，

因为跖fu平面/BO,

所以收_LC。；

(2)因为48_L平面BCD,ADu平面BCD,所以/B_LAD,

因为Z8=8D=3,所以4D=3&，ZADB=45°,

答案第10页，共12页

因为点M为/。上一点，且

所以=2A/2,DM=VL点〃■至!]平面BCD的距离为力==1,

19

因为CD_L