2025年高考数学一轮复习：最值与范围问题【导学案】

最值与范围问题

热点聚焦分类突破研热点析考向

....................................................................«

突破点一距离与面积的最值(范围)

【例1】已知椭圆C：的右焦点R到左顶点的距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设。为坐标原点，过点R的直线与椭圆C交于A,3两点(A,3不在x轴上),

若改=(^+B,延长A。交椭圆于点G,求四边形AG3E的面积S的最大值.

解(1)由已知得从=3,〃+c=3,a2=b2+c1.

联立以上3个式子，可得/=%

72

所以椭圆C的方程为ArL

(2)法一因为过"1,0)的直线与椭圆C交于A,3两点(A,3不在x轴上)，所

以设/的方程为x="+l,

x=ty+l,

由"］得(3P+4)y2+6/y_9=0,

~6t

丁丁

1+2=33+4'

设A(xi,yi),B(xz,”)，贝।卜

「2=布.

因为场=为+/,

所以四边形A03E为平行四边形，

、3

所以S=SaAOBE~\~SAOGB-3S/\AOB=~^y\—yi\

-~~---------18-1+1

(”+")~4yiy2=3於+4-

EI「

人r^~~18m18"

々q干+1~TH-9贝U耀》[,s=3"/।]=j.

3m+m~

9

由函数的单调性易得当机=1，即，=0时，Smax=].

法二由OE=OA+仍知四边形AOBE为平行四边形.

所以S=SnAOBE~\-S^OGB=3SAAOB.

9

当直线A5的斜率不存在时，S=3SAAOB=2-

当直线A5的斜率存在时，设直线A5的方程为丁=人(%—1),k#0.

y=k(%—1),

由'比+q_]得(4F+3)/+6。-9於=0.

广~6k

"+"=范百，

设A(xi,yi),3(x2,>2),得<3

yiy2=W+3f

3

所以S=3S^AOB=^yi~yi\

3/，।、、.—18对不

=2\。1+丁2)-4yly2=花+3,

9/179

令4后+3=冽，则m>3,S=^\-3X—5——+!<-.

乙\/III'III/4

9

综上可知，四边形AGBE的面积S的最大值Smax=,

探究提高1.本题求四边形AG3E面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化

为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二

是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.

2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形

结合求解.

【训练1J(2021.全国乙卷)已知抛物线C：的焦点为F,且R与圆

M-.f+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

⑴求p的值；

(2)若点P在"上，PA,尸3是C的两条切线，A,3是切点，求△以§面积的最

大值.

解(1)由题意知颇0,-4),F(0,圆M的半径-1,所以|国一r=4,即介

4—1=4,解得p=2.

⑵由(1)知，抛物线方程为r=4»

由题意可知直线A3的斜率存在，设A(xi,落，B(X2,直线A3的方程为y

=kx~\~b,

y=kx~\~b>

联立得［消去y得一一4右一46=0,

M=4y,

则/=16产+16。>0(※%阳+尬=4左，xixi=-4b,

所以|A3|=、1+F|Xl-X2|=弋1+产・、(11+%2)2—4%1%2=471+k2.人上2+b.

2

因为炉=住即y弋，所以尸永则抛物线在点A处的切线斜率为苣在点A

处的切线方程为厂W=翔一xi),即尸色一£

同理得抛物线在点B处的切线方程为j=yx-f,

XIX?〃X1+X2

产石x一甲x=2=2k9

联立得〈则＜一

XIX1X2,

【尸丁=一"，

即P(2左，—母因为点尸在圆〃上,

所以以2+(4—。)2=1①，

且一1W2左W1,一1W4—6W1,

所以一吴女W3W6W5,满足你)式.

|2产+2回

设点尸到直线A3的距离为d,则1=

W+4

所以以出8=^|A5|-d=4y(庐+b)3

22

,„z91—(4—b)-Z?+8Z?-15

由①得，-----4-----4

—廿+12。-15

令t=l^+b,则t=4且3W6W5.

—廿+12。-15

因为t—4•在［3,5］上单调递增，所以当人=5时，/取得最大值，fmax

=5,止匕时左=0,所以△以3面积的最大值为2郎.

突破点二斜率与某些参数（式子）的范围（最值）

?2

【例2】（2021•长沙联考）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆£+，=13>。>0）的

离心率是e,定义直线y=±:为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方

程为y=±4小，长轴长为8.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）。为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线/交椭圆C于E,R两不同点（点E,

R与点A不重合），且满足AELAR若点P满足2d>=丽+赤，求直线AP的

斜率的取值范围.

解（1）由题意得§=华=4、「，2a=8,a2=b2+c2,

联立以上3个式子，可得后=16,/=12,C2=4.

22

所以椭圆C的标准方程为W+缶=1.

Io12

（2）由（1）得A（4,0）.易知直线/不与x轴平行.

当直线轴时，不妨设点E在点R上方.

因为AE1AF,所以直线AE的倾斜角为135°,

所以直线AE的方程为y=—x+4.

y=­x+4,

由,得7X2—32x+16=0,

1,

4

解得x=］或x=4（舍去）,

所以XE=XFXF分别为点E,R的横坐标）.

由2舁=无+彼得需，0；直线AP的斜率为0.

当直线/不垂直于％轴时，设E（%i,yi）,F（X2,yi）,直线I：y=kx+t（t^-4k,左WO）.

y=kx~\~t>

由4止+:=］消去y并整理，得

(3+4F)d+8左比+4P—48=0.

贝I」』=(8助2—4(3+4F)(4P-48)>0,

即16^-?+12>0,(*)

一8kt4^-48

Xl+%2二-3+4/元1%2=3+4左2・

因为A£，A凡

所以AE・AF=(xi—4)(%2—4)+y\yi

=(xi-4)(x2-4)+(kxi+t)(kx2+1)

=(1+Z^)X1X2+(kt-4)(xi+%2)+16+Z2

7户+32笈+16A2

=3+4-=0,

即7户+328+16左2=0,

所以（7f+4左）（/+4左）=0,解得/=一了且/满足（*）式.

(8kt

所以25>=丽+赤=（阳+松,”+>2)=「讦市

所以［―西，i+h）

3t

当k>0时，8左/8^-7=4714,

KK

此时

OV/TAPW』JO?.

综上可得，直线AP的斜率的取值范围为「一嬖

探究提高1.本题的易错点有两处：一是忘记讨论直线轴时的情形，从而遗

7

漏了抬尸=0这个取值；二是利用基本不等式求解决+了的取值范围时，直接根据

k>0求解其最小值，得到0APW嚓，遗漏了对k<0的讨论.

2.圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法：几何条件定代换，目标关

系式求范围.求履P的取值范围，分三步完成：第一步，消参，将直线/的方程与

4"

椭圆C的方程联立，由条件A尸'得到关于的等量关系/=一苧（此时

4”

需要检验判别式/>0）;第二步，将等量关系代入目标关系式，化简得日尸

==~y；第三步，通过对左的分类讨论，求出斜率履p的取值范围.

Sk+k

【训练2］已知抛物线点A（—3,：），眼胃，抛物线上的点P（xo,

（1）求直线AP斜率的取值范围;

（2）。是以A3为直径的圆上一点，且修.血=0,求9•氏的最大值.

解（1）设直线AP的斜率为左，

1

-

-43

1<2

十-

XO2

则一1<期一5<i.

所以直线A尸斜率的取值范围是（一1,1）.

（2）由题意可知，屈与恁同向共线，BQLAQ,

联立直线AP与BQ的方程得

「11

kx-y+^k+~^=Q,

<

93

x+ky—^k~2=0,

解得点Q的横坐标是3=22+1）.

因为IAPI=yi+产,（）+3）=71+1•（左+1）,

（k—1）（注1）2

归。1=y/l+/c2（xQ—xo）=

所以能.苑=以外|的|=一（左一1）（左+1）3.

令人左）=一（左一1）/+1>,

因为//)=一(4左一2)(左+1)2,

所以人左)在区间(一1，0上单调递增，在[；，1)上单调递减，

197

因此当左与时，碎质取得最大值急

突破点三范围(最值)的探索性问题

【例3】(2021.天津模拟)已知椭圆C：最+捻=15＞。＞0)的左、右焦点分别为

Fi,离心率为3,P是椭圆C上的一个动点.当P是C的上顶点时，AFIPF2的面

积为由

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)设斜率存在的直线与C的另一个交点为。，是否存在点T«,0),使得|7P|

=|TQ|?若存在，求出/的取值范围；若不存在，请说明理由.

解(1)设椭圆C的半焦距为c.

因为SAFLPR2=T＞＜2CX6=小，所以bc=小.

又e=§=；,a2=b2+c2,所以a=2,b=\[3,c=1.

?2

所以椭圆c的标准方程为A5=I.

(2)假设存在点T«,0),使得TP|=|TQ|.

由直线PQ过仍(1,0),设直线PQ的方程为y=-x—1),P(xi,yi),2(x2,yi),

PQ的中点为N(xo,yo).

当上=0时，f=0,符合题意.

当左关0时，由＜

得(4F+3)f—8Mx+4F—12=0,

/=(一8左2)2—4(4/+3)(4/—12)=144^+144>0,

Xl+%2=

4^+3,

即与E-正天

连接TN,因为im=|TQ,所以77\ap。，

则QN戈=-1（左用为直线77V的斜率）.

3k

4一+31

所以-K戈=—1，即看行百二六-

广正两4+二

因为4++4,所以/©（0,£）.

综上可得，/的取值范围为［。，

探究提高1.探索性问题的求解步骤：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参

数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，

则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.

2.本题的求解体现了数形结合思想在解答圆锥曲线问题中的应用.解题关键是如何

将题设条件中的几何关系"|TP|=|TQ|"转化成代数关系“左川山=-1"，由此建

立/关于左的函数关系式，进而求出/的取值范围.

【训练3】已知椭圆方程为若抛物线/=2加/>0）的焦点是椭圆的一

个隹占

（1）求该抛物线的方程；

（2）过抛物线焦点R的直线/交抛物线于A,3两点，分别在点A,3处作抛物线的

切线，两条切线交于P点，则△必3的面积是否存在最小值？若存在，求出这个

最小值及此时对应的直线/的方程；若不存在，请说明理由.

27

解（1）由椭圆］+5=1,知/=4,b2=3.

所以c=\］a2—b2=小一3=1.

又抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,

所以§=1,贝I）尸=2.

于是抛物线的方程为f=4y.

（2）△①3的面积存在最小值，理由如下：

由抛物线方程f=4y知，F（0,1）.

易知直线/的斜率存在，则设直线/的方程为丁=履+1.

y=kx+l,

由19消去y并整理，得A2—4日一4=0,

M=4y

且/=(一4女/一4(—4)=163+16>0.

-

设A(%i,yi),B(X2,闻，则％I+%2=4匕xiX2=4.

2

对尸》求导，得尸宗所以直线AP的斜率MP=^

则直线AP的方程为y—yi=y(x—xi),即丁=卦一%.

同理得直线BP的方程为尸券一%.

设点P(xo,泗)，联立直线AP与3P的方程，

〃XI+%2

xo=2=2k,

得〈即P(2匕-1).

X1X21

卜。=丁=-1，

|A5|=^1+^|A-I-X2|

2

(xi+%2)—4XIX2

=、1+%2々(44)2+16=4(1+k2),

|2P+2|

点P到直线A3的距离d==2y/1+上

也+k2

所以△出3的面积

5=|X4(1+^)X2^1+^=4(1+^)2^4,

当且仅当k=0时等号成立.

故△%3的面积存在最小值4,此时直线I的方程为y=l.

专题训练对接高考求落实迎高考

1.(2024•全国乙卷)已知抛物线C：>2=2内防>0)的焦点R到准线的距离为2.

⑴求C的方程；

(2)已知。为坐标原点，点P在C上，点Q满足苑=9并，求直线。。斜率的最

大值.

解(1)由抛物线的定义可知，焦点R到准线的距离为p,故尸=2,

所以C的方程为y2=4x.

(2)由(1)知尸(1,0),设P(xi,yi),Q(X2,yi),

则PQ=(X2—xi,QF=(1—X2,~y2).

一f[x2—Xl=9(1—X2),

因为PQ=9QE所以1八

y2—y\=~9yi,

xi=10%2-9,

得

ji=10p,

•.•点尸在抛物线C上，所以资=4X1,

29

则(10/)2=4(10x2—9),化简得族=尹2—万，

29

则点Q的轨迹方程为丁2=尹一万.

29

设直线。。的方程为y=依，易知当直线OQ与曲线>2=$一卷相切时，斜率可以

取最大.

联立尸日与产=|^一£并化简，得烂x2-|x+卷=0,

令/=(一&一4妤卷=0,解得左=±g,

所以直线OQ斜率的最大值为今

2.已知椭圆C：。+丁=1的左、右焦点分别为八，八，点M,N在椭圆C上.

(1)若线段MN的中点坐标为(2,T),求直线MN的斜率；

(2)若M,N,。三点共线，直线与椭圆C交于N,尸两点，求△「阿面积的

最大值.

解(1)设M(xi,yi),N(X2,yi),则,+比=1,g+货=1,

一,口(Xl+x2)(Xl-X2),,

两式相减，可得+(yi+、2)(yi->2)=0,

解得W=T即直线“N的斜率为T

(2)显然直线NFi的斜率不为0,设直线NFi：x=my-2,N(xi,yi),「(必"),

x=my-2,

联卜立十4消1,去x整理得（疗+5）.y2—4m.y—l=0,显然/=20（谒+1）＞0,故

।4m—1

故APMN的面积SAPMN=2S/\OPN

4小川/+i

=2x|onHy1一丁2|=

m2+5

令、加2+1=3其中/21.

舶4下4#r-

S"MN-2+厂尸片—g

672v7

当且仅当/=2,即机=母时等号成立，

故△2叫面积的最大值为小.

3.已知椭圆E：方