人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.5 三角恒等变换 重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题5.5三角恒等变换（重难点题型精讲）1．两角差的余弦公式对于任意角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0.

此公式给出了任意角SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的正弦、余弦与其差角SKIPIF1<0-SKIPIF1<0的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作SKIPIF1<0.

公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.2．两角和的余弦公式(1)公式的结构特征(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧

两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.

①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.3．两角和与差的正弦公式(1)两角和与差的正弦公式的结构特征(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧

两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.

①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.4．两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式的结构特征符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(1)角的代换代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.

常用的角的代换形式：①SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)-SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0=SKIPIF1<0-(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)；

③SKIPIF1<0=SKIPIF1<0[(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)+(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)]；

④SKIPIF1<0=SKIPIF1<0[(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)-(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)]；

⑤SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)-(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)；

⑥SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)+(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0).(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.(3)辅助角公式通过应用公式SKIPIF1<0[或SKIPIF1<0将形如SKIPIF1<0(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数SKIPIF1<0[或SKIPIF1<0].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.6．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式7．二倍角公式的变形应用(1)倍角公式的逆用

①SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

②SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.

③SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.

(2)配方变形

SKIPIF1<0.

(3)因式分解变形

SKIPIF1<0.

(4)升幂公式

SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.

【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】【方法点拨】公式运用之妙，存乎一心.使用时强调一个“活”字，而“活”的基础来源于对公式结构本身的深刻理解.【例1】已知α，β都为锐角，cosα=17，cosα+β=−A．12 B．−7198 C．−【变式1-1】已知α,β均为锐角，且sinα+β=2sinα−β，则A．13 B．12 C．2【变式1-2】已知cosα+π12=35，A．3−4310 B．45 C．−【变式1-3】若0<α<π2，−π2<β<0，cosπ4A．33 B．−33 C．5【题型2利用和（差）角公式求三角函数式的值】【方法点拨】解决三角函数求值的四个切入点：(1)观察角的特点.充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角.(2)观察函数特点.向同名函数转化，弦切互化，通常是切化弦.(3)利用辅助角公式求解.(4)观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些公式.【例2】2cos10∘A．1 B．2 C．3 D．2【变式2-1】sin10°cos50°+A．12 B．22 C．32【变式2-2】已知tanα=−3，则cosα+πA．225 B．−22 C．−【变式2-3】若cosα=35，则cosA．43100 B．11100 C．−43【题型3利用和（差）角公式化简三角函数式】【方法点拨】(1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不合三角函数式和根式.(2)化简三角函数式的常用方法:①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次.【例3】化简：(1)sinα+βcosβ−12【变式3-1】设3π4<θ<【变式3-2】化简下列各式：(1)sin67°+(2)2sin(3)sinα+β【变式3-3】化简：(1)(tan10°－3)·cos10(2)sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ【题型4利用和（差）角公式证明三角恒等式】【方法点拨】证明条件恒等式要充分关注已知条件与待证恒等式的关系，正确运用条件并合理切入，然后用证明恒等式的一般方法处理.【例4】已知sinβ=msin2α+β，且α+β≠π2+kπ【变式4-1】已知sinα+β=a，(1)sinα(2)cosα【变式4-2】求证：（1）sin(α−β)（2）1cos【变式4-3】求证：（1）cosα（2）cosα（3）sinα【题型5利用二倍角公式化简】【方法点拨】解决三角函数式的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形.可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决.一般采用切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，在化简时，要注意角的取值范围.【例5】化简：(1)cosπ12cos5π12；(2)cos4α2－sin4α2；【变式5-1】化简：1+sinα+【变式5-2】化简：(1)sinα+cosα2；(2)2tan15°(4)sin4α−cos4α；(5)1【变式5-3】化简下列各式：（1）11−tanθ−1【题型6利用二倍角公式求值】【方法点拨】对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.【例6】已知tanα(1)求sinα(2)求tan(β−2α)【变式6-1】已知tan(1)求tanα(2)求1+cos【变式6-2】已知sinα=35(1)求tanα的值；(2)求sin【变式6-3】已知2sin(1)tanθ(2)3cos专题5.5三角恒等变换（重难点题型检测）一．选择题1．若θ∈0,π2，sin(πA．35 B．1225 C．252．2sin2125°−2A．−12 B．12 3．已知cosα−π3=1A．−79 B．−13 C．4．下列各式中，值为12的是（

A．sin15°cos15°C．cos42°sin12°−5．已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sinA．34π B．π4 C．56．若在△ABC中，sin(A+C)⋅sin(A+B)=cos2A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．已知α,β,γ∈0,π2，且α+β+γ=A．若cosα+sinB．若tanα=2，则C．tanα、tanβD．tan8．英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点Q'处，若△PMQ是正三角形．PQ=a，QA．tanα=3b2a+bB．tanα=3二．多选题9．已知tanα−β=−17，tanα+βA．−13 B．13 C．10．下列各式中，值为12的是（

A．1−2sin215°C．3−tan15°11．下列计算正确的是（

）A．tan15°+1tan15°−1C．sin15°sin45°12．已知函数fx=2sinA．fx的图象关于直线x=5π8对称 B．fC．fx在−5π8,0上单调递减 D．对任意的m，三．填空题13．求值tan27.5°+1tan214．已知a+β=7π4，则tanα−1tan15．已知α是第四象限角，且1−cos2αcosα=1616．已知tanα=4，