2025年高考数学一轮复习：抽象函数模型归纳总结（八大题型）（解析版）

重难点突破01抽象函数模型归纳总结

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：一次函数模型..........................................................................3

题型二：二次函数模型..........................................................................5

题型三：幕函数模型............................................................................7

题型四：指数函数模型..........................................................................8

题型五：对数函数模型.........................................................................10

题型六：正弦函数模型.........................................................................13

题型七：余弦函数模型.........................................................................15

题圜I：正切函数模型.........................................................................18

03过关测试....................................................................19

吉法特巧与.0饯

//\\

一次函数

(1)对于正比例函数〃尤)=H(女人0),与其对应的抽象函数为"为士y)=/(x)±〃y).

(2)对于一次函数/(力=履+匕(左wO),与其对应的抽象函数为"％士y)=/(x)±/(y).0.

二次函数

(3)对于二次函数/(%)=加+bx+c(a00),与其对应的抽象函数为

f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c

塞函数

(4)对于幕函数〃x)=x",与其对应的抽象函数为/(肛)=/(x)/(y).

(5)对于幕函数=其抽象函数还可以是了

指数函数

(6)对于指数函数/(尤)=优，与其对应的抽象函数为〃%+y)=〃x)〃y).

(7)对于指数函数/(%)=，，其抽象函数还可以是/(无―y)=/*.

其中(a>0,awl)

对数函数

(8)对于对数函数/(x)=log/,与其对应的抽象函数为f(xy)=/(%)+/(').

(、

⑼对于对数函数/(x)=log”,其抽象函数还可以是7-=f(x)-f(y).

w7

(10)对于对数函数y(x)=log/,其抽象函数还可以是/(x")=W(x).

其中m>o,Qwi)

三角函数

(11)对于正弦函数〃x)=sinx,与其对应的抽象函数为〃尤+y)〃x-y)=r⑴―/(y)

22

注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sintt-sin/?=sin(a+y5)sin(a-/7)

x+y

(12)对于余弦函数/(x)=cosx,与其对应的抽象函数为〃x)+〃y)=2/%一丁

22

注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cosa+cos尸=2cos皇cosp

(13)对于余弦函数/(x)=cosx,其抽象函数还可以是/(x)〃y)=g[/(x+y)+/(x—y)]

cos(or+〃)+cos(a-⑶

注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：cosacos/3=

2

(14)对于正切函数/(x)=tanx,与其对应的抽象函数为"X土y)=

注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan(a±；9)=tana±tan.

1-tanatan)

题型一：一次函数模型

【例1】已知〃x+y)=/(x)+〃y)-1且"1)=2,则/⑴+*2)+L+/(小不等于

A./(l)+2/(l)+LB.f+n-l

，乙

2

厂n+3〃n/,,\

C.---D.

【答案】D

【解析】Qf(x+y)=f(x)+/(y)-l,.-./(%+j)-l=[/(x)-l]+[/(^)-l].

构造函数g(x)=/(x)T,贝1Jg(x+y)=g(x)+g(y),且g(i)=/(i)—i=i，

令%=g(")=/(")T，则q=〃1)一1=1,

令X=n,y=\,得g(“+l)=g⑺+g⑴，

%+l=".+%=a,+1，即an+i~an=1'

所以，数列｛%｝为等差数列，且首项为1,公差为1,..4=1+(〃TX1=〃，

,则〃n)=a+l.

2

/、/、/、/、〃(2+〃+1)几(〃+3)n+3n

〃1)+〃2)+L+〃〃)=2+3+L+(H+1)=2f==

2

/、/、n(n-\\n(n+\\,、n(n-\\/、n(n-i\n+3n人y

/(l)+2/(l)+L+nf(l)--==+合乎题意;

乙乙乙乙乙

n(n+\}\n(n+\\n2+3n

fy+H-l=-^^+l+n-l=^—,合乎题意;

故选D.

【变式1-1】已知函数/（x）的定义域为R,且1°，若f（x+y）+/（x）/（y）=4^,则下列结论错误

是偶函数D.函数+是减函数

【答案】C

【解析】对于A,令x=g、y=0,则有/（；］+/（；］x/（0）=/（；］［l+/（0）］=0,

又故1+〃0）=0,即〃0）=-1,

令x=；、y=-p则有个一力+《卜臼=4小（一5

即〃o）+/6］m=-i,由/（O）=T,可得

又了（；>0,故/，曰=。，故A正确；

对于C,令y=\,则有+j=4xx（一m，

则/［x」］=-2x,故函数是奇函数，故C错误；

对于D,有/1x+l-gj=-2（x+l）=-2x-2,即/（x+g）=-2x-2,

则函数/（x+£|是减函数，故D正确；

对于B,由/卜一；］=-2x,令x=l,有/［g）=-2xl=_2,故B正确.

故选：C

【变式1-2］（2024•河南新乡•一模）已知定义在R上的函数/（%）满足Vx,yeR,

“2冷—l）=〃x）"（y）+〃y）+2x-3,/（0）=-1,则不等式〃力>3—2,的解集为（）

A.(l,+oo)B.(-l,+oo)C.(-00,1)D.(-oo,-l)

【答案】A

【解析】令尤=y=0,得/(-1)=/(0)"(0)+/(0)-3=-3.

令"0,得/(-l)=/(x)/(0)+/(0)+2x-3,解得/(x)=2尤一1,

则不等式/。)>3-2'转化为2无+2,—4>0,

因为y=2x+2'—4是增函数，且2x1+21—4=0,

所以不等式/(X)>3-2'的解集为(1,+8).

故选：A

【变式1-3】已知定义在R上的单调函数/(x),其值域也是R,并且对于任意的x,yeR,都有

f^f(y))=xy,则|〃2022)|等于()

A.0B.1C.20222D.2022

【答案】D

【解析】由于/'(x)在R上单调，且值域为R,则必存在%©R,使得=

令，=%得,/(V(%))=M即y(x)=%x,

于是V尤,yeR,/(对'(y))=/(孙)y)=%3()y)=y；肛=w，则％=±1,

从而〃x)=±x,有|/(2022)|=2022.

故选：D

题型二：二次函数模型

【例2】(2024•高三•河北保定•期末)已知函数/CO满足：Vx,yeZ,

/(》+>)=，(工)+，(旷)+2町+1成立，且/(一2)=1,则〃2")(〃eN*)=()

A.4〃+6B.8〃一1C.4n2+2n-lD.8n2+2n-5

【答案】C

【解析】令尤=y=o,则/(。)="0)+/(。)+1,所以/(O)=T,

令x=y=T,则〃_2)=〃-l)+〃-l)+2+l=2〃-l)+3=l,

所以〃T)=T，

令x=l,y=-l,则/(0)=/(1)+/(-1)-2+1=/(1)-2=-1,所以"1)=1,

令x==1,”eN*,贝(]”〃+1)=/(«)+/(1)+2〃+1=/(〃)+2〃+2,

所以小+1)_小)=2〃+2,

则当“22时，/(/?)-/(/I-l)=2n,

贝"(〃)=小)—仆—1)+〃〃一1)-〃〃—2)++/(2)-/(1)+/(1)

=2zz+(2n-2)++4+[=(2〃+?WT)+]="+“_],

当〃=1时，上式也成立，

所以〃")=，5+"T(”©N*),

所以/(2H)=4n2+2n-l^neN*).

故选：C.

【变式2-1](2024•山东济南•三模)已知函数/(尤)的定义域为R,且才⑴-4'(y)=^(x-y)，则下

列结论一定成立的是()

A.41)=1B./(x)为偶函数

C.“X)有最小值D.“X)在[0』上单调递增

【答案】C

【解析】由于函数/⑺的定义域为R,且W⑺―^(y)=/(x—y),

令'=1，则〃力―#(l)=x(x-l),得=d+

x=l时，/⑴=『+[/⑴-1]恒成立，无法确定/'(1)=1,A不一定成立；

由于/(1)=1不一定成立，故〃x)=Y+"⑴一1]无不一定为偶函数，B不确定；

由于“引=犬+[〃1)_1卜的对称轴为工=一：["1)_1]与[0』的位置关系不确定，

故在[0』上不一定单调递增，D也不确定，

由于〃x)=f+[/⑴_1卜表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，

故选：C

【变式2-2](2024•陕西西安•模拟预测)已知函数Ax)的定义域为R,且满足

f(x)+/(y)=/(x+y)-2盯+2J⑴=2,则下列结论正确的是()

A.”4)=12B.方程〃x)=x有解

C.+是偶函数D./(了一；)是偶函数

【答案】C

【解析】对于A,因为函数AM的定义域为R,且满足/(尤)+/(y)=f(x+y)-2xy+2"⑴=2,

取x=y=l,#/(1)+/(1)=/(2)-2+2,则/⑵=4,

取x=y=2,得/(2)+〃2)=/(4)-8+2,则44)=14,故A错误:

对于B,取y=l,得/■(尤)+f(l)=/(x+l)-2x+2,贝!]/(x+l)_f(x)=2x,

所以/W-f{x-1)=2(尤-1)-f(x-2)=2(尤—2),…J⑵—/⑴=2,

以上各式相加得/(x)-/(l)=[2(I)；2].(D=y_x,

所以/(X)=X2-X+2,

令/(%)=%2一兀+2=%,得/_2%+2=0,此方程无解，故B错误.

对于CD,由B知f(x)=x2-x+2,

所以=+-[x+；j+2=x2+：是偶函数,

=+-2x+?不是偶函数，故c正确，D错误.

故选：C.

【变式2-3](2024•河南•三模)已知函数/⑺满足：/⑴N3,且“yeR,

9

/(x+y)=/(x)+/(y)+6孙，贝的最小值是()

Z=1

A.135B.395C.855D.990

【答案】C

【解析】由/(x+y)=〃x)+/(y)+6孙,得/(x+y)—3(x+y?=〃x)-3/+〃，)-3y2,令

g(尤)=/(x)-3d,得g(x+y)=g(x)+g(y),

令彳=〃4=1,得g("+l)-g(")=g⑴，

故g(〃)=[g(〃)-g(〃T)Hg(〃T)-g(«-2)]+--+[g(2)-g6]+g6=〃g6，又g(〃)=/Gz)-3〃2,

所以“77)=g(")+3/=3n2+[/(l)-3]n,

9999

所以£川)=3£/+[〃1)-3]*=855+45[/⑴-3],因为/⑴、3,当/⑴=3时，工了⑺的最小值

Z=1Z=1Z=1Z=1

为855.

故选：C.

题型三：幕函数模型

【例3】已知函数/⑺的定义域为(y,0)U(0,4w),且例(x)=(y+l)/(y+l),则()

A./M>0B.f(l)=lC./(x)是偶函数D.7(x)没有极值点

【答案】D

【解析】令g(x)=4(x),则g(y+i)=(y+i)/(y+i),

所以g(x)=g(y+i)，且％y+i为定义域内任意值，故g(x)为常函数.

令g(x)=3则/(x)=g,为奇函数且没有极值点，C错，D对；

所以/(x)ZO不恒成立，/(1)=1不一定成立，A、B错.

故选：D

【变式3-1](2024•河北•模拟预测)已知定义在(-”,0)U(0,+8)上的函数/(x)满足

〃冲)=止^+止^+工，贝I」()

yxxy

A.7(x)是奇函数且在(0,+")上单调递减

B.f(x)是奇函数且在(t,0)上单调递增

C./(x)是偶函数且在(。,+加)上单调递减

D./(“是偶函数且在(-8,0)上单调递增

【答案】A

【解析】令x=y=T,则/(1)=—2/。)+1,所以

令彳=>=1,则/(1)=2/(-1)+1,所以7

令y=T,则=--：=-〃-幼-(，

所以〃一引=一(,

令、=1,贝U/(x)=/(—x)+^^+：=J__J_所以"x)=J，

3x3xx3x

因为〃T)=-*=-〃X),且定义域关于原点对称，所以函数/(x)是奇函数,

由反比例函数的单调性可得函数/")=・在(0,+")上单调递减.

故选：A.

题型四：指数函数模型

【例4】(多选题)(2024•山西晋中•三模)已知函数/'(尤)的定义域为R,满足

〃x+y)=〃x)/(y)+/(x)+/(y)，M/(o)*-i,/(1)>-1,则下列说法正确的是(

A.〃o)=oB."X)为非奇非偶函数

C.若/(1)=1,则”4)=15D.〃句>-1对任意彳€川恒成立

【答案】ACD

【解析】我们有恒等式：/(^+y)+l=/(x)/(y)+/W+/(y)+l=(/(%)+l)(/(y)+l).

对于A,由恒等式可得〃0)+1=(/(0)+。(〃0)+1),而/(0)片一1,故〃0)+14,所以1=〃0)+1,即

/（0）=0,故A正确；

对于B,由于〃力=0满足条件且是偶函数，所以有可能是偶函数，故B错误;

对于C,由恒等式可得〃x+l）+l=（〃尤）+1乂〃1）+1）,故

24

/(4)+1=(/(3)+1)(/(1)+1)=(/(2)+1)(/(1)+1)=(7(1)+1).

若"1)=1，贝ij〃4)=(〃l)+l)4-1=2J1=15,故C正确；

对于D,由恒等式可得〃尤+l)+l=(〃x)+l)(〃l)+l).

而/⑴+1>0,故/（》+1）+1和〃司+1同号（同为正数，或同为负数，或同为0）,

从而再由/■⑴+1>。可知〃x）+l>0（xwN*）,即〃x）>T（xeN*）,故D正确.

故选：ACD.

【变式4-1】已知函数“X）满足，1（0+4）=/（°）力力/⑴=3,则

尸⑴+〃2)+/⑵+/(4)+产⑶+〃6)尸⑷+〃8)/⑸+〃10)

的值为（

/(1)"3)/(5)〃7)〃9)

A.15B.30C.60D.75

【答案】B

【解析】〃p+q)=/(p)―/(q),；J(〃+l)=/⑺/(l)=3.-./(n+l)=3/(n)

:./(〃)=3X3"T=3"

/⑴+/（2）产⑵+〃4）/⑶+〃6）/（4）+〃8）/（5）+/。0）

/（1）"3）/（5）/（7）/（9）

32+3234+3436+3638+38310+310

=-----1--;—

333+35+37+谓

=6+6+6+6+6=30

故选：B

【变式4-2】如果/（°+外=〃4）/㈤且"1）=2,贝U铠+羽+黑=（

)

A.—B.—C.6D.8

55

【答案】C

【解析】/⑴=2,f(a+b)=f(a)f(b),

“⑵寸⑴/⑴,f(4)=f(3)f(l),f(6)=f(5)f(l),

・但=〃1)3"1)g〃l)

-/⑴小，“3)八"/⑸八"

.•・里+坐+坐=3〃1)=6,

/(1)/(3)/(5)八/

故选：C.

【变式4-3】已知函数/⑴对一切实数。/满足/(。+与=/(。)•/伍)，且"1)=2,若

%J"；]]+；2附)(〃-*卜则数列｛g｝的前"项和为()

A.nB.2nC.4nD.8n

【答案】C

【解析】••.函数对一切实数满足〃a+6)=/(a>/0),且"1)=2

.-./(n+l)=/(n)./(l)=2/(n)

.••数歹U{/(〃)}是等比数列，首项为2,公比为2

f[n)-T,MGN*

[/(")T+/(2W)_22"+22"

=4

~/(2n-l)-22"-1

所以数列｛%｝的前几项和为4〃.

故选：C.

题型五：对数函数模型

【例5】(多选题)已知函数多(X)的定义域为R,〃冲)=y2〃x)+/〃y),则().

A.〃。)=。B./(1)=0

C./(x)是偶函数D.x=0为/(x)的极小值点

【答案】ABC

【解析】方法一：

因为/(孙)=y"(x)+%2/(y)，

对于A,令无=y=0,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令X=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),贝Ijy⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,f(l)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则于-1)=0,

令y=-1,/(t)=/(x)+x2/(-l)=/(x),

又函数/(x)的定义域为R,所以“力为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令〃x)=0,显然符合题设条件，此时/(x)无极值，故D错误.

方法二：

因为/(个)=y2f(x)+x2/(y)，

对于A,令x=y=O,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=0,

令y=-L/(-尤)=/(尤)+尤"(-1)=/(尤)，

又函数人尤)的定义域为R,所以/(x)为偶函数，故C正确，

对于D,当片。时，对/(盯)=)?/(刈+//(丫)两边同时除以犬必，得到《翁=£g+岑2,

故可以设小^=111国。=。),则/(x)=<：叫""°,

x[0,x=0

当x>0肘，/(x)=x2Inx,则/'(%)=2xln%+%2，=%(21nx+l),

x

令/。)<0,得o<x<e3令制或>°，得》>一；

故/(X)在0,e5上单调递减，在炉,+切上单调递增，

<1>(

因为"X)为偶函数，所以/(X)在一屋5,0上单调递增，在-8,-3上单调递减，

\\7

显然，止匕时x=0是/(X)的极大值，故D错误.

故选：ABC.

【变式5-1】已知定义在(。,+⑹上的函数满足/(孙)+l=〃x)+〃y),且43=0,则/(2")=

()

A.1B.11C.12D.-1

【答案】C

【解析】令x=y=i,则/(1)+1=/(1)+/(1),解得/(1)=1,

令x=2,y=g,则“l)+l=/(2)+/gj,解得"2)=2,

令x=y=2,则/(22)+1=〃2)+〃2),解得/(2?)=3,

令x=22,y=2,则/(23)+l=/Q2)+/⑵，解得623)=4,

依次类推可得/(2")=12。

故选：C

【变式5-2](2024•四川凉山•三模)已知/■(%)为定义在R上且不恒为零的函数，若对V无,yeR,都有

〃孙六^^^+才⑺成立，则下列说法中正确的有()个.

①/(。)=〃1)=。；

②若当x>l时，/(%)>0,则函数g")=?在(0,+“)单调递增；

③对V〃eN*，f(x")=nr"~7(%)；

④若贝咚甲=2"一2.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析]令x=y=0有"0)=0,令x=y=l有〃1)=0.所以①正确.

。"<刈因为g(x)=3,所以g(xy)=心/—+.=g(x)+g(y),

''X孙孙Xy

所以g(无2)=g[,土=g(xj+g*],又因为三>1,且当X>1时，〃x)>。，

Vx\)(无"占

所以g(x2)-g(xj=g>0.所以②正确.

当x=0时由①可得③成立;

当"0时，由②得g(x")=g(x)+g(4),所以g(x)=g(x")—g(x"T),

所以g(x)=g(x")-g(x"T)=g(x"T)-g(x"-2)=……=g(%2)-g(x),

累加得g(x")=g(x)+(〃T)g(x)=〃g(x)，即,所以m=所以③正确.

xnX

令X=g,y=2,由①得;〃2)+2/[J=〃l)=0,又因为所以"2)=2,

n

由③得=x-'f(Xy所以=(2)=2"，

n

所以=Z2z=2+22+23+......+2"=2~2，，+1=2"+l-2>所以④错误.

nin1—2

故选：C

【变式5-3](2024•山西•一模)已知函数〃x)是定义在何XH。｝上不恒为零的函数，若

=驾+驾，贝|()

y%

A."1)=1B.=1

C./(x)为偶函数D.为奇函数

【答案】C

[解析]令x=y=i,则/(1)=2/(1),故/⑴=0,A选项错误；

令x=y=-l,则/⑴=2/(-1),故/(-1)=0,B选项错误；

令y=T，则/(-x)=/⑴+勺忆/⑴，故"》)为偶函数，C选项正确；

因为“X)为偶函数，又函数“X)是定义在｛x|XN0｝上不恒为零的函数，D选项错误.

故选：C

题型六：正弦函数模型

【例6](多选题)(2024•辽宁•模拟预测)已知函数Ax)的定义域为R,且

f(x+y)f(x-y)=f\x)-f2(y),/(l)=2,f(2)=0,则下列说法中正确的是()

2024

A./⑺为偶函数B.〃3)=-2C./(-1)=/(5)D.伏)=-2

k=2

【答案】BD

【解析】令尤=y=o,贝U/2(o)=o=/(o)=o.

另令元=0,贝iJ/(y)/(-y)=—/2(y),由/(1)=2,所以/(y)三。不成立，

所以〃-y)=-/(y)，所以函数〃x)为奇函数，故A错误；

令x=2,y=l,则〃3)/⑴=/(2)-尸⑴n/(3)=—2,故B正确；

令x=3,y=2,则f(5)〃l)=尸(3)-尸⑵=>/(5)=2,

又/(一1)=一/。)=一2,所以〃-[)=一八5),故C错；

令y=2得/(x+2)/(x—2)=/(耳—尸⑵且/⑴=2,〃3)=-2,/(5)=2,

所以"7)/(3)=r(5)=〃7)=-2：〃9)/(5)=/⑺=/(9)=2；/(11)/(7)=/2(9)=>/(11)=-2

L

所以〃2左+1)=(—球x2,又“0)=0,42)=2,

所以〃6)〃2)=/2(4)=/(4)=0；/(8)/(4)=/2(6)=>/(6)=0^

所以"2人)=0；

所以〃1)+〃2)+/(3)+/(4)=/(5)+〃6)+/(7)+〃8)==

/(4左+1)+/(4左+2)+/(4左+3)+/(4左+4)=0

20242024

所以⑹一〃1)=°一/⑴=2故D正确.

k=2k=l

故选：BD

【变式6-1](多选题)(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,且

f(x+y}f{x-y)=f\x)-f2(y),/(I)=1,/(2)=0,则下列说法中正确的是()

A.7(力为偶函数B./⑶=TC./(-1)=-/(5)D.£f(k)=l

【答案】BC

【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式：sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B).

证明过程如下：

sin2A-sin2B=(sinA+sinB)(sinA-sinB)

=sin(A+B)sin(A-B).

TTTT

由题意，可以令/(x)=sin]x,因为/(x)=sin]x为奇函数，故选项A错误.

因为/(3)=-1,故选项B正确.

因为f(T)=T=—/⑸，故选项C正确.

因为7=4,2023+4=5053,故£/W=/⑴+/(2)+/(3)=0,故选项D错误.

方法二：对于选项A,因为/(戈)的定义域为R,

令无=y=o,则/(0)/(0)=/2(0)-72(0),故/10)=0,贝1/(。)=。,

令x=0,则/")/(一月=r(0)-r(y),

又/(>)不恒为0,故f(7)=-/"),

所以Ax)为奇函数，故A错误.

对于选项B,令尤=2,y=l,则7(3)/⑴=/(2)-产⑴.

而/⑴=1,『(2)=0,所以/(3)=-1,故选项B正确.

对于选项C,由选项B可知，〃3)=-1,

令x=3,y=2,则/(5)。(1)=/(3)-尸⑵,所以了⑸点.

又因为八无)为奇函数，所以=⑴=-1,故C正确.

对于选项D,由选项B以及〃x+2)/(x-2)=r(x),可得f(7)=-l,〃9)=lj(ll)=-l,

所以“24+1)=(-1广,同理可得/(2%)=0.

2023

因为2023+4=5053,故乞/伏)=/⑴+/(2)+/(3)=0,故D错误.

k=\

故选：BC

题型七：余弦函数模型

【例7】(多选题)已知定义域为R的函数/(X)满足/(x+y)=/(x)"(y)-"2-x)/(2-y),且

/(0)^0,/(-2)=0,则()

A./(2)=1

B.7(尤)是偶函数

C.[/(%)]2+[/(2+X)]2=1

D./(1)+/(2)+/(3)++”2024)=1

【答案】BC

【解析】A./(x+y)=/(x)./(y)-/(2-x)-/(2-y),

令x=0,y=2,则/⑵=/(0)力2)-/(2)./(0)=0,故A错误；

令尤=y=0,则〃0)=〃0).“0)—/(2).〃2)=〃0).〃0),又/(0)¥0,所以40)=1,

令y=2,则〃x+2)=/(x)力2)-/(2-x)./(0)=-/(2-x),

所以函数/(x)关于(2,0)对称，

令x=y=2,则〃4)=/(2).〃2)-〃0)./(0)=-1,

令y=4,且〃-2)=0,则/(X+4)=〃X)"(4)-"2-2)=—/(x)=—"―"，所以

又函数〃元)的定义域R，所以函数/(尤)为偶函数，故B正确；

令广T,则〃2T)./(2+X),

又〃0)=1,/(X)=/(T)J(X+2)=-〃2-X),所以[”x)f+["2+x)]2=l,故C正确；

因为〃x+4)=-/⑺，所以/(x+8)=T(x+4)=/(x),所以函数“X)的一个周期为8,

令x=2,y=l,则/(3)=〃2).〃1)—/(0)。(1)=—M1),所以〃3)+/(1)=0,

所以〃一3)+/(-1)=0,所以/⑸+"7)=〃一3)+〃-1)=0,

/(6)=/(-2)=/(2)=0,/(8)=/(0)=1,

所以〃1)+/(2)+〃3)+/(4)+/(5)+/(6)+/(7)+48)

=[/(1)+/(3)]+[/(5)+/(7)]+/(2)+/(4)+/(6)+/(8)=0+0+0-1+0+1=0,

所以〃1)+〃2)+/(3)++/(2024)=253x[/(l)+/(2)+/(3)++/(8)]=0,故D错误.

故选：BC

【变式7-1](多选题)(2024•辽宁•二模)己知定义城为R的函数/(%).满足

/(^+y)=/(x)/(j)-/(l-x)/(l-y),且/(0)片0,“一1)=0,则()

A./(1)=0B./(x)是偶函数

2024

C.[〃x)T+[/(l+x)T=lD.S/(0=->

i

【答案】ABC

【解析】对于A项,由〃x+y)=/(x)〃y)—/(l—x)/(l—y),

令x=y=；,贝1-/(g)=。，故A项正确；

对于B项，令x=y=0,则〃0)=[〃0)了一口⑴了力⑼了,

因〃0)H。，故/'(Obi,

令丫=1，则/(x+l)"(x)/(l)—/。―x)/(0)=—/。―x)①,

所以函数”X)关于点(1,0)成中心对称，

令尤=y=1,则"2)=[/(1)]2-[/(0)]2=-1,

令尸2,则/(x+2)=/(x)〃2)-/(l-x)〃-l)=-〃x)②,

由①可得：/(^+2)=-/(-%)(3),由②③可知：/(—x)=/(x),

且函数/(X)的定义域为R,则函数/(X)是偶函数，故B项正确；

对于C项,令〉=-%则/(O)=〃x)〃r)—〃l—x)/(l+x),

因为"0)=1,〃T)=〃X),/卜+1)=一/。_力，代入上式中得，

故得：[/(x)]2+[/(l+x)]2=l,故C项正确；

对于D项，由上可知:/(x+2)=-/(x),^\f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

故函数/(X)的一个周期为4,故〃4)=〃0)=1,

令x=2,y=l,贝"(3)=〃2)〃1)一/(-1)/(0)=0,

所以/。)+/⑵+/(3)+"4)=0+(-1)+0+1=0,

2024

则£/«)=254x0=0,故D项错误.

i=\

故选：ABC.

【变式7-2](2024•吉林•模拟预测)已知函数“X)的定义域为R,且/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),

2024

/(0)=1,/(3x+l)=-/(-3x+l),则£/(左)=()

k=0

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解析】由题意知函数AM的定义域为R,且/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),/(0)=1,

令x=0,则f(y)+f(—y)=2/(y),即/(-y)=f(y),故为偶函数；

又/(3x+l)=—/(一3尤+1),令x=0,贝|/(1)=一/(1),二/(1)=0,

又由f(3x+1)=-f(-3x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0,

即/(x)的图象关于点(L0)成中心对称，则/(2)=-/(0)=-1；

/(%+1)+/(-^+1)=0,即/(x+2)=-/(r),又结合了⑺为偶函数，

则/(x+2)=_J(x),故/(x+4)=-/(x+2)=/(x),即4为f(x)的周期，

故〃3)=/(T)=/⑴=0，〃4)=/(0)=1

2024

故£/(幻=”0)+[/(l)+/(2)+L+/(2024)]=1+506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]

攵=0

=1+506[0-1+0+1]=1,

故选：D

【变式7-3](2024•安徽•模拟预测)若定义在R上的函数/(%),满足

2〃x+y)〃x—y)=〃2x)+〃2y),且/。)=—1,则〃0)+〃1)+〃2)+…+/(2024)=()

A.0B.-1C.2D.1

【答案】D

【解析】令x=y=；,则有2〃1)〃0)=/(1)+/(1),

又〃1)=—1,...40)=1.令x=g,y=0.

则有27g/出=〃1)+〃0)=-1+1=0,”出=0.

令y=>；，则有2712x-g]/[；j=/（2x）+/（2x-l）.

=，/（2x）+“2xT）=0，•••〃x）+〃xT）=O，

..•/（O）+/⑴+〃2）+…+/（2024）

=/（0）+[/（l）+/（2）]+--+[/（2023）+/（2024）]=l+1012x0=l.

故选：D.

题型八：正切函数模型

【例8】定义在（-M）上的函数满足：“尤）一/（＞）=人共；当xe（TO）时，有〃x）＞。，且

=1.设机=/（：）+/（：）++/（忌口）〃22,〃€M，则实数优与-1的大小关系为（）

A.m＜-\B.m=-lC.m＞-\D.不确定

【答案】C

【解析】函数/（x）满足〃X）-〃丫）="三彳］,令x=y=o得〃0）=0；

令x=o得-/（y）=〃-y）,

\/（火在（―1,1）为奇函数，

又xe（-l,O）时，有/（x）＞0,所以xe（O,l）时，有〃x）＜0,

所以户＞0,

设一1＜%＜尤2＜1,所以玉%2＜L/一%＞0,

1-%2再

则/（%）-/（尤）1=/|J*|＜。，所以/（工2）-“石）＜。，即/（为）＜/（石），

\/（X）在是单调减函数，在（0,1）时，f（x）＜0,

I1_1、

乂"",二个—]

）\n+n—\）1一1]\n）<n+l）

\nn+1J

故选：c.

【变式8-1](2024•浙江•二模)已知函数“X)满足对任意的x,ye(l,+w)且x<y都有

m若

,贝U+〃2+〃3++〃2024)

253

B.f

380

【解析】•••函数〃元)满足对任意的x,y«l,+8)且都有了HI

X—v(n+2)-(n+3)1

・••令x=〃+2,y=〃+3,贝U-----