人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲1．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【题型1一元二次不等式的解法】【方法点拨】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【例1】（2022春•阿拉善左旗校级期末）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（）A．(−12，2) C．(−∞，−2)∪(12【解题思路】根据不等式的解法直接求解．【解答过程】解：方程（x+2）（2x﹣1）＝0的根，x＝﹣2或x=12，函数y＝（x+2）（2x﹣1）的开口方向向上，∴不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为(−2，【变式1-1】（2022春•凉州区期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（）A．{x|−23≤x≤1} BC．{x|x≤−23或x≥1}【解题思路】根据题意，由一元二次不等式的解法分析得答案．【解答过程】解：根据题意，3x2﹣x﹣2≥0即（3x+2）（x﹣1）≥0，解可得：x≥1或x≤−23，即不等式的解集为{x|x≤−23或【变式1-2】（2022春•眉山期末）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1） C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）【解题思路】解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，由此能求出不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集．【解答过程】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0，解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，∴不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（﹣1，4）．故选：C．【变式1-3】（2022春•雨城区校级期中）不等式﹣2x2+x+15≤0的解集为（）A．{x|−52≤x≤3} B．{x|x≤−5C．{x|−3≤x≤52} D．{x|x≤﹣3或【解题思路】利用一元二次不等式的性质、解法直接求解．【解答过程】解：∵﹣2x2+x+15≤0，∴2x2﹣x﹣15≥0，Δ＝1+120＝121，解方程2x2﹣x﹣15＝0，得x1=−52，x2＝3，∴不等式﹣2x2+x+15≤0的解集为{x|x≤−52【题型2含参的一元二次不等式的解法】【方法点拨】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【例2】（2022秋•兴平市校级月考）若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x−1a）＞【解题思路】根据题意，a＜1【解答过程】解：∵0＜a＜1，∴a＜1a，原不等式可化为（x﹣a）（x−1a）＜0，解得a故不等式的解集为{x|a＜x＜1a【变式2-1】（2022春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．【解题思路】对于二次项含参的一元二次不等式，需要对二次项系数a是否为零进行讨论，进而求解即可．【解答过程】解：由不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0化简可得（ax+1）（x﹣2）≥0．由于二次项系数含参，故进行如下讨论：①当a＝0时，原不等式化简为：x﹣2≥0，解得x≥2．②当a＜0时，不等式为：（ax+1）（x﹣2）≥0．解得方程（ax+1）（x﹣2）＝0的两根分别为为x1=−1a，x2＝2．则：当a=−当−12＜a＜当a＜−12时，综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥2}．当a=−12时，解集为{x|x当−12＜a＜0时，解集为：【变式2-2】（2021秋•和平区校级月考）解关于x的不等式x2﹣（a+1a）x+1＜【解题思路】先因式分解，再分类讨论，即可得到不等式的解．【解答过程】解：∵x2﹣（a+1a）x+1＜0．∴（x﹣a）（x−1当a＞1a时，即a＞1或﹣1＜a＜0时，解得1a＜当a＜1a时，即a＜﹣1或0＜a＜1时，解得a＜x当a=1a时，即a＝±【变式2-3】（2021秋•高州市期末）解关于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．【解题思路】对于含参数的不等式，先不用考虑参数，看是什么不等式，按照解这类不等式的方法去解，不等式6x2+ax﹣a2＜0是一元二次不等式，先因式分解，在讨论两根的大小，因含参数，再按参数大小讨论，得出结果．【解答过程】解：原不等式化为；（2x+a）（3x﹣a）＜0当a＞0时，∵−a2＜当a＜0时，∵a3＜−当a＝0时，无解．综上所述，当a＞0时，原不等式的解集为{x|−a当a＝0时，原不等式的解集为∅当a＜0时，原不等式的解集为（x|a3【题型3三个“二次”关系的应用】【方法点拨】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【例3】（2022秋•哈尔滨月考）已知不等式ax2+bx﹣2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＞0的解集为（）A．R B．∅ C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}【解题思路】由题意得x＝﹣1，x＝2是方程ax2+bx﹣2＝0的两根，结合方程根与系数关系可求a，b，进而可求不等式．【解答过程】解：因为不等式ax2+bx﹣2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，所以x＝﹣1，x＝2是方程ax2+bx﹣2＝0的两根，故−1+2=−ba−1×2=−2a，解得a＝1，b＝﹣1，则不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＝x2﹣2x﹣3＞0的解集为{x|x＞3或【变式3-1】（2022春•赤峰期末）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），则cbA．65 B．−65 C．56【解题思路】由一元二次不等式的性质得2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，利用韦达定理求出b＝﹣5a，c＝6a，由此能求出cb【解答过程】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），∴2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，∴2+3=−ba2×3=ca，解得b＝﹣5a，c＝6a【变式3-2】（2022春•让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|−12＜x＜13A．(−∞，−16) B．(−∞，16【解题思路】利用根于系数的关系先求出a，b，再解不等式即可．【解答过程】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|−12＜x＜13}．则根据对应方程的韦达定理得到：(−【变式3-3】（2021秋•三门峡期末）二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，那么关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（）A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}【解题思路】设二次函数y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），根据二次函数与对应的方程和不等式的关系，即可求出不等式的解集．【解答过程】解：设二次函数y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），因为二次函数对应的方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，所以二次函数图象开口向上，且与x轴交点坐标为（﹣3，0）和（2，0），所以关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}．故选：B．【题型4解简单的分式不等式】【方法点拨】(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【例4】（2022春•临夏县校级期中）求不等式的解集：（1）﹣x2+4x+5＜0；（2）2x2﹣5x+2≤0；（3）x+1x−3≥0；（4）【解题思路】（1）不等式化为x2﹣4x﹣5＞0，求出解集即可；（2）不等式化为（2x﹣1）（x﹣2）≤0，再求解集；（3）不等式化为(x+1)(x−（4）不等式化为（x﹣1）（x+1）＜0，即可求出解集．【解答过程】解：（1）由﹣x2+4x+5＜0，得x2﹣4x﹣5＞0，解得x＜﹣1或x＞5，所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}；（2）由2x2﹣5x+2≤0，得（2x﹣1）（x﹣2）≤0，解得12所以不等式的解集为{x|1（3）由x+1x−3≥0，可得(x+1)(x−3)≥0x−3≠0，解得x所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x＞3}；（4）由5x+1x+1＜3，可得2x−2x+1＜0，等价于（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．【变式4-1】（2021秋•李沧区校级月考）解下列不等式并写出解集．（1）﹣2x2+3x+9＞0；（2）8−x5+x≥【解题思路】（1）利用一元二次不等式的解法即可求解；（2）利用一元二次不等式的解法即可求解．【解答过程】解：（1）因为﹣2x2+3x+9＞0，所以2x2﹣3x﹣9＜0，可得（2x+3）（x﹣3）＜0，可得−32＜x＜3，所以解集为{x|−3（2）因为8−x5+x≥1，可得8−x5+x−1≥0所以（3﹣2x）（5+x）≥0，且5+x≠0，解得﹣5＜x≤32，所以解集为{x|﹣5＜x≤【变式4-2】（2021秋•海淀区校级期末）求下列关于x的不等式的解集：（1）5x−7≥−1；（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞【解题思路】（1）将其转化为一元二次不等式，解之即可．（2）分a＝0，a＞0和a＜0三种情况，结合二次函数的图象与性质，解之即可．【解答过程】解：（1）5x−7≥−1，∴x−2∴(x−2)(x−7)≥0x−7≠0，∴x＞7或x≤2，∴不等式的解集（﹣∞，2]（2）①当a＝0时，则﹣2＝0不成立，x∈∅，②当a≠0，即a2＞0时，令2a2x2﹣3ax﹣2＝0，则x=2a或x若a＞0时，2a＞−12a，∴x若a＜0时，2a＜−12a，∴x综上，当a＝0时，不等式的解集为∅，若a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2a或x＜若a＜0时，不等式的解集为{x|x＞−12a或x【变式4-3】（2022春•广安区校级月考）解不等式：（1）4x2﹣15x+9＞0；（2）2−xx+4【解题思路】（1）解方程4x2﹣15x+9＝0，得x1=34，x2＝3，由此能求出4x2﹣15x+9＞（2）推导出2x+2x+4＜0，由此能求出【解答过程】解：（1）4x2﹣15x+9＞0，Δ＝（﹣15）2﹣4×4×9＝81，解方程4x2﹣15x+9＝0，得x1=34，x2＝3，∴4x2﹣15x+9＞0的解集为（2）∵2−xx+4＞1，∴2−xx+4−1=−2x−2x+4＞0，∴2x+2x+4＜∴2−xx+4＞1的解集为（﹣4，【题型5一元二次不等式恒成立、存在性问题】【方法点拨】不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【例5】（2021•西青区模拟）已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（）A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1【解题思路】对k进行分类讨论，当k＝0时恒成立，k＜0时不等式不能恒成立，当k＞0时，只需△≤0求得k的范围，最后综合得到答案．【解答过程】解：当k＝0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立，当k＜0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0不能恒成立，当k＞0时，要使不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立，需Δ＝36k2﹣4（k2+8k）≤0，解得0≤k≤1，故选：A．【变式5-1】（2021秋•南阳期末）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2）【解题思路】由题意问题等价于（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，讨论a的取值，从而求得实数a的取值范围．【解答过程】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为∅，即（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立．当a﹣2＝0时，即a＝2时，不等式即﹣4＜0，显然满足条件．当a﹣2≠0时，应满足a−2＜0Δ=4(a−2)2+16(a−2)综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]．故选：C．【变式5-2】（2022春•双流区校级期末）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【解题思路】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜(2x−x)max，x∈[1，4]，求出f（x）=2x−【解答过程】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜(2x−x)max，x∈[1，4]；设f（x）=2x−x，x∈[1，4]，则函数f（且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．【变式5-3】（2022春•石泉县校级期末）对任意实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）【解题思路】结合二次函数的图象与性质解决，注意对二次项系数分类讨论．【解答过程】解：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0当a﹣2＝0，即a＝2时，﹣4＜0恒成立，合题意．当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需a﹣2＜0，且Δ＜0解得﹣2＜a＜2．所以a的取值范围为（﹣2，2]．故选：A．【题型6一元二次不等式的实际应用】【方法点拨】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．【例6】（2021秋•丰台区期中）汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．则交通事故的主要责任方是乙（填“甲”或“乙”）．【解题思路】先由题意列出不等式组，分别求解甲、乙两种车型的事发前的车速，看它们是不是超速行驶，谁超速谁应负主要责任．【解答过程】解：由题意，解0.1x+0.01x2＞12得，x＜﹣40或x＞30，∵x＞0，∴x甲＞30km/h，解0.05x+0.005x2＞10得，x＜﹣50或x＞40，∵x＞0，∴x乙＞40km/h，∴乙车超过限速，应负主要责任．故答案为：乙．【变式6-1】（2021秋•峨山县校级期中）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是150台．【解题思路】首先应该仔细审题分析成本y与产量x的关系以及以及获利与产量的关系，再结合企业不亏本即收入要大于等于支出即可得到关于x的一元二次不等式解之．【解答过程】解：由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出，又因为总收入为：25x，总支出为：3000+20x﹣0.1x2∴25x≥3000+20x﹣0.1•x2解得：x≥150或x≤﹣200又x∈（0，240）∴x≥150故答案为：150．【变式6-2】某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x−k+4500x)L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，则k＝100[60，100]．【解题思路】（1）将x＝120代入每小时的油耗，解方程可得k＝100，（2）由题意可得15(x−100+4500【解答过程】解：记每小时的油耗为y，则根据题意：y=1则当x＝120时，y=15(120−k+4500120当y≤9时，即15(x−100+4500x)≤又因为60≤x≤120，则x的取值范围为[60，100]，故答案为100；[60，100]．【变式6-3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．【解题思路】（1）降低税率后的税率为（10﹣x）\%，农产品的收购量为a（1+2x\%）万担，收购总金额为200a（1+2x\%）万元，然后直接列出税收y（万元）与x的函数关系式；（2）由题意可得原计划税收为200a×10%＝20a万元，则125a（50+x）•（10﹣x）≥20a【解答过程】解：（1）降低税率后的税率为（10﹣x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额为200a（1+2x%）万元．依题意有y＝200a（1+2x%）•（10﹣x）%=125a(50+x)⋅(10−x)（2）原计划税收为200a×10%＝20a万元，依题意有125a（50+x）•（10﹣x）≥20a×83.2%，化简得x2+40x﹣84≤0，解得﹣42≤x又0＜x＜10，∴0＜x≤2．∴x的取范围是{x|0＜x≤2}．专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022春•珠海期末）不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（）A．R B．∅ C．{x|﹣3＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}【解题思路】直接求解一元二次不等式即可．【解答过程】解：（x+1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜﹣1，∴原不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣1}．故选：C．2．（3分）（2022春•小店区校级月考）若p：1x＞1；q：（x﹣1）（3﹣x）≤0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】解不等式1x＞1和（x﹣1）（3﹣x）≤0，根据两不等式的解集判断p与【解答过程】解：不等式1x＞1可化为1x−1＞0，即1−xx＞0，即x−1x＜0，解得0＜不等式（x﹣1）（3﹣x）≤0可化为（x﹣1）（x﹣3）≥0，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）；因为（0，1）是（﹣∞，1]∪[3，+∞）的真子集，所以p是q的充分不必要条件．故选：A．3．（3分）（2022春•池州期末）已知2x2﹣kx+m＜0的解集为（﹣1，t）（t＞﹣1），则k+m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解题思路】依题意可得x＝﹣1为方程2x2﹣kx+m＝0的根，代入计算可得．【解答过程】解：∵2x2﹣kx+m＜0的解集为（﹣1，t）（t＞﹣1），∴x＝﹣1为2x2﹣kx+m＝0的根，所以k+m＝﹣2．故选：B．4．（3分）（2022•慈溪市校级开学）若关于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，则m的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．[1，+∞）【解题思路】当m＝0时，关于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是x＞0，不成立；当m≠0时，m＞0Δ=4−4【解答过程】解：关于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，当m＝0时，关于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是x＞0，不成立；当m≠0时，∵关于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，∴m＞0Δ=4−4m2＜0，解得m＞1或m＜﹣1（舍），∴m的取值范围是（5．（3分）（2022春•双鸭山期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，4），则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（）A．{x|x＜−12或x＞14} B．{x|C．{x|x＜−14或x＞12} D．{x【解题思路】由已知结合二次方程与二次不等式的关系可得a，b，c的关系及范围，然后结合二次不等式的求法即可求解．【解答过程】解：由题意得a＜0−2+4=−ba−2×4=ca，所以b＝﹣2a＞0，所以不等式cx2﹣bx+a＝﹣8ax2+2ax+a＜0，即8x2﹣2x﹣1＜0，解得−14＜x＜6．（3分）（2022•兴县校级开学）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（）A．(53，74] B．[53【解题思路】关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2，转化为（4﹣a）x2﹣4x+1＜0，因为解集中的整数恰有3个，得到0＜a＜4，令（4﹣a）x2﹣4x+1＝0的两根为x=2±a4−a，即可得出不等式（4﹣a）x2﹣4x+1＜0的解集为2−a4−a＜x＜2+a4−a，即12+a【解答过程】解：由题意得（4﹣a）x2﹣4x+1＜0，因为解集中的整数恰有3个，则4﹣a＞0，Δ＝4a＞0，即0＜a＜4．令（4﹣a）x2﹣4x+1＝0，则两根为x=2±不等式的解满足2−a4−a＜x＜2+a4−a，即12+a＜为使解集中的整数恰有3个，则必须且只需满足3＜即6−3a＜18−4a≥1，解得7．（3分）（2022春•辽宁期末）关于x的方程x2+（m+4）x+2m+20＝0有两个正根x1，x2（x1＜x2），下列结论错误的是（）A．0＜x1＜2 B．2＜x2＜6 C．x1x2x1+x2的取值范围是D．x12+x22的取值范围是{【解题思路】利用根的判别式求出m的取值范围，进而求出0＜x1＜2，2＜x2＜6，判断AB；由x1x2x1【解答过程】解：∵x2+（m+4）x+2m+20＝0有两不相等实数根，∴Δ＝（m+4）2﹣4（2m+20）＝m2﹣64＞0，解得m＜﹣8，或m＞8．∵x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＝﹣（m+4）＞0，x1x2＝2m+20＞0，m的取值范围为（﹣10，﹣8）．∴4＜x1+x2＜6，0＜x1x2＜4．∵x2＞x1，∴0＜x1＜2，2＜x2＜6，故AB都正确．∵x1∴x1x2x1+x2的取值范围是{x|0＜故选：D．8．（3分）（2021秋•丰城市校级月考）已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，若对于任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，则t的取值范围是（）A．{t|t≤2} B．{t|t≤﹣2} C．{t|t≤﹣4} D．{t|t≤4}【解题思路】根据不等式的解集求出b、c的值，代入不等式﹣2x2+bx+c+t≤4，化为关于t，x不等式恒成立问题，可得出t的取值范围．【解答过程】解：不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，所以3和﹣1是方程﹣2x2+bx+c＝0的解，所以3﹣1=b2，﹣1×3=−c2，解得：b＝4故任意x∈{x|﹣1≤x≤0}时，﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，化为任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，﹣2x2+4x+6+t≤4恒成立，即任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，t≤（2x2﹣4x﹣2）min，因为2x2﹣4x﹣2＝2（x﹣1）2﹣4，在x∈[﹣1，0]内，当x＝0时取得最小值﹣2，所以t的取值范围是{t|t≤﹣2}，故选：B．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022•天元区校级开学）与不等式x2﹣x+2＞0的解集相同的不等式有（）A．﹣x2+x﹣2＜0 B．2x2﹣3x+2＞0 C．x2﹣x+3≥0 D．x2+x﹣2＞0【解题思路】先求出已知不等式的解集，然后根据一元二次不等式的解法对各个选项逐个求解判断即可．【解答过程】解：不等式x2﹣x+2＞0的解集为R，A：不等式可以化为x2﹣x+2＞0，与已知不等式相同，所以解集也相同，故A正确，B：因为Δ＝9﹣2×4×2＝﹣7＜0，所以不等式的解集为R，故B正确，C：因为Δ＝1﹣1×4×3＝﹣11＜0，所以不等式的解集为R，故C正确，D：不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＞1或x＜﹣2}，故D错误，故选：ABC．10．（4分）（2022春•安徽期中）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（）A．a＜0 B．a+b+c＞0 C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣3，1） D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解题思路】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．【解答过程】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则a＜0，正确．B：由题意知令f（x）＝ax2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），可得f（1）＝a+b+c＞0，正确．C：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，则由韦达定理得ba=−1，ca=−2，即bx2+cx+3a＞0变为﹣ax2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），C错误，D正确．故选：ABD．11．（4分）（2021秋•上饶期末）下列关于不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集讨论正确的是（）A．当a＝1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为∅ B．当a＞1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为（a，+∞） C．当a＜1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为{x|x＜a或x＞1} D．无论a取何值时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不为空集【解题思路】根据题意，分别求解各选项的解集即可．【解答过程】解：a＝1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣1）2＞0，解得x≠1，所以不等式的解集为{x|x≠1}，选项A错误；a＞1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜1或x＞a，所以不等式的解集为（﹣∞，1）∪（a，+∞），选项B错误；a＜1时，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化为（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜a或x＞1，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}，选项C正确；由选项A、B、C知，无论a取何值，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不为空集，选项D正确．故选：CD．12．（4分）（2021秋•龙凤区校级期末）下列说法正确的是（）A．不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集为{x|x＜12或xB．若实数a，b，c满足ac2＞bc2，则a＞b C．若x∈R，则函数y=x2+4D．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（0，4）【解题思路】A中，求出不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集即可；B中，根据不等式的基本性质判断即可；C中，根据对勾函数的性质与基本不等式，即可判断正误；D中，分类讨论求出不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立时k的取值范围．【解答过程】解：对于A，不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0可化为（2x﹣1）（x﹣1）＞0，解得x＜12或x＞1，所以该不等式的解集为{x|x＜12或x对于B，当ac2＞bc2时，c2＞0，所以a＞b，选项B正确；对于C，因为x2≥0，所以x2+4≥4，所以x2+4≥2，所以y=x2+4对于D，k＝0时，不等式kx2﹣kx+1＞0为1＞0，恒成立，k≠0时，应满足k＞0△=k2−4k＜0，解得0＜k＜4，所以故选：AB．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022春•商洛期末）不等式x2+2x﹣8≤0的解集是[﹣4，2]．【解题思路】根据一元二次不等式的解法直接求解．【解答过程】解：由x2+2x﹣8≤0得，（x﹣2）（x+4）≤0，∴﹣4≤x≤2，∴故答案为：[﹣4，2]．14．（4分）（2021秋•山西月考）已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[32【解题思路】解不等式2x2﹣3x﹣2≥0得x≥2或x≤−12，解不等式x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0x≥a或x≤a﹣2，由题意得−12≤a﹣【解答过程】解：∵2x2﹣3x﹣2≥0，∴x≥2或x≤−∵x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，∴（x﹣a）（x﹣（a﹣2））≥0，∴x≥a或x≤a﹣2，∵p是q的充分不必要条件，∴−12≤a﹣2且a≤2，解得32≤a≤2，故答案为：15．（4分）（2022春•京口区校级期末）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|1＜x＜3}，则cx2﹣bx+a＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（−13，+∞【解题思路】根据关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集得到a、b、c的关系，即可解之．【解答过程】解：∵x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴a＞0ca=3−ba=4，不等式cx2﹣bx+a＞0化为3x2+4x+1＞0，故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（−13，+16．（4分）（2021秋•临沂期中）对任意x∈R，一元二次不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x−38＜0都成立，则实数k的取值范围为（−1【解题思路】由二次不等式恒成立结合图象求解即可．【解答过程】解：因为对任意x∈R，一元二次不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x−38所以k−1＜0Δ=(k−1)2−4(k−1)×(−38)＜故答案为：（−12，四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022•南京模拟）解以下一元二次不等式（1）2x2﹣3x+1≤0（2）﹣x2﹣5x+6＜0（3）4x2﹣4x+1＞0（4）x2﹣6x+9≤0【解题思路】（1）（3）（4）对不等式的左边分解因式求解，（2）由﹣x2﹣5x+6＜0，得x2+5x﹣6＞0，然后对不等式的左边分解因式求解．【解答过程】解：（1）由2x2﹣3x+1≤0，得（x﹣1）（2x﹣1）≤0，解得12所以不等式的解集为{x|12≤x≤1（2）由﹣x2﹣5x+6＜0，得x2+5x﹣6＞0，则（x﹣1）（x+6）＞0，解得x＜﹣6或x＞1，所以不等式的解集为{x|x＜﹣6或x＞1}；（3）由4x2﹣4x+1＞0，得（2x﹣1）2＞0，解得x≠12（4）由x2﹣6x+9≤0，得（x﹣3）2≤0，得x＝3，所以不等式的解集为{x|x＝3}．18．（6分）（2022•天元区校级开学）解下列关于x的不等式：（a为实数）（1）x2+2x+a＜0；（2）ax−1x−2＞【解题思路】（1）分类讨论判别式Δ的符号，数形结合即可求解；（2）先将分式不等式转化为整式不等式，再分类讨论a的符号及1a与2【解答过程】解：（1）①当Δ＝4﹣4a≤0，即a≥1时，原不等式的解集为∅；②当Δ＝4﹣4a＞0，即a＜1时，原不等式的解集为（−1−1−a综合可得：当a≥1时，原不等式的解集为∅；当a＜1时，原不等式的解集为（−1−1−a（2）∵原不等式可化为（ax﹣1）（x﹣2）＞0，①当a＝0时，原不等式可化为x﹣2＜0，∴x＜2，∴原不等式的解集为（﹣∞，2）；②当a＜0时，1a＜2，∴原不等式的解集为（1③当a＞0时，若1a＜2，即a＞12时，原不等式的解集为（﹣∞，1a）∪若1a=2，即a=12时，原不等式的解集为{x|若1a＞2，即0＜a＜12时，原不等式的解集为（﹣∞，2）∪（综合可得：当a＜0时，原不等式的解集为（1a，2当a＝0时，原不等式的解集为（﹣∞，2）；当0＜a＜12时，原不等式的解集为（﹣∞，2）∪（1a，当a=12时，原不等式的解集为{x|x≠当a＞12时，原不等式的解集为（﹣∞，1a）∪（2，19．（8分）（2022•天元区校级开学）已知不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|−12＜x＜13【解题思路】利用一元二次不等式的解法建立方程求出a，b的值，然后代入所求不等式，再利用分式不等式的解法即可求解．【解答过程】解：因为不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|−12＜x则−12，13是方程ax2+bx+1＝0的两根，则−12+13=−所以不等式ax+3x−b≤0可以化为：−6x+3x+1≤0，即2x−1x+1≥0，则解不等式可得：x＜所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x≥1220．（8分）（2021秋•汉中月考）已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣a﹣1．（1）若∀x∈（2，+∞），f（x）+3＞0，求a的取值范围；（2）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．【解题思路】（1）当a＝0时不成立，当a≠0时，不等式化为a＞x−2x2−1在x＞2时恒成立，只需a＞（x−2x2−1）max，然后利用基本不等式即可求解；（2）对a＝0【解答过程】解：（1）当a＝0时，f（x）+3＝﹣x﹣1+3＝﹣x+2＞0，解得x＜2与已知矛盾，故a≠0，则当x＞2时，f