山东省济宁市实验中学高三上学期开学考数学试题含解析

济宁市实验中学2022级高三上学期开学考数学试题一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】解出集合、，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】或，或，是的真子集，因此，是的必要不充分条件.故选：B2.若，，，则a、b、c的大小关系为（）Aa>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.【详解】，且，，，故选：A3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数零点存在性定理判断即可【详解】函数是上的连续增函数,,可得,所以函数的零点所在的区间是.故选：C4.曲线在处切线的斜率为（）A.2 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用复合函数的导数公式求出原函数的导函数，然后在导函数解析式中，取即可求出答案．【详解】由，得：，所以，故选：B5.在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（）A. B.2 C. D.1【答案】B【解析】【分析】由正弦定理边角关系及已知条件可得，再由三角形内角的性质有，进而应用余弦定理求的值.【详解】由题设，且，可得，，所以，又，，所以，即.故选：B.6.已知为虚数单位，若为实数，则实数的值为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】先应用除法及乘法计算化简，再结合复数类型求参.【详解】因为为实数，所以,即.故选：D.7.，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用求解即可.【详解】，故，故……，故.故选：D8.已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，根据题意可得函数是偶函数，，且函数在上递增，不等式即为不等式，根据函数得单调性即可得出答案.【详解】解：令，因为是定义在R上的偶函数，所以，则，所以函数也是偶函数，，因为当时，，所以当时，，所以函数在上递增，不等式即为不等式，由，得，所以，所以，解得或，所以的解集是.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项中，值为的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断；选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断；选项D利用二倍角的正切公式求解判断.【详解】选项A：，故选项A不符合题意；选项B：，故选项B符合题意；选项C：，故选项C符合题意；选项D：，故选项C符合题意.故选：BCD.10.已知函数，则（

）A.为奇函数B.的单调递增区间为C.的极小值为3D.若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为【答案】AD【解析】【分析】利用判断A选项；利用导数求出函数的单调区间和极值，从而判断选项B,C,D.【详解】对于A，，故，又其定义域为R，故为奇函数，故A正确；对于B，，所以在−1,1上，f′x<0，在和1,+∞上，f′x>0，单调递增，故对于C，由B知，在处取极小值，极小值，故C错误；对于D，方程恰有3个不等的实根，即恰有3个解，且在和1,+∞上，单调递增；在−1,1上，单调递减，所以，即，故D正确.故选：AD11.已知函数其中，且，则（）A. B.函数有2个零点C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.【详解】解：，故A正确；作出函数的图象如图所示，观察可知，，而，故y=fx，有3个交点，即函数有3个零点，故B错误；由对称性，，而，故，故C正确；b，c是方程的根，故，令，则，故，而，均为正数且在0,4上单调递增，故，故D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.【详解】因为“，使”是假命题，所以“，”为真命题，其等价于在0,+∞上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.13.若函数为偶函数，则__________.【答案】【解析】【分析】根据偶函数的定义得，代入化简即得值.【详解】因为为偶函数，所以，即，即，即，所以，故答案：14.已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.【详解】由题意，不等式即，进而转化为，令，则，当时，，所以在上单调递增.则不等式等价于恒成立.因为，所以，所以对任意恒成立，即恒成立.设，可得，当时，单调递增，当时，单调递减．所以时，有最大值，于是，解得．故答案为：.【点睛】关键点睛：解本题的关键是，将已知条件转化为恒成立，通过构造函数，利用导数结合函数的单调性得到，进而构造函数，计算求得结果.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，.（1）求的值；（2）求与夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算出，由公式求出模长；（2）利用向量余弦夹角公式进行求解.【小问1详解】，故；【小问2详解】设与夹角为，，故与夹角的余弦值为16.已知二次函数的最小值为，且关于的不等式的解集为（1）求函数的解析式；（2）若函数与的图象关于轴对称，且当时，的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两根式设出二次函数解析式，代入条件即可.（2）转化成恒成立问题求最值即可.【小问1详解】因为是二次函数，且关于的不等式的解集为，所以，所以当时，，所以，故函数的解析式为.【小问2详解】因为函数与的图象关于轴对称，所以，当时，的图象恒在直线的上方，所以，在上恒成立，即，所以，令，则，因为(当且仅当，即时，等号成立)，所以实数的取值范围是.17.已知（1）求的单调递减区间；（2）若，求的值；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦的二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，再结合正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值进行求解即可.【小问1详解】由于，令，整理得，所以函数的单调递减区间为【小问2详解】由于，所以，则，即，解得，则18.已知数列的首项，且满足（）．（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前项和，并证明．【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析【解析】【分析】（1）由等比数列的定义即可求证，（2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证.【小问1详解】由得，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．【小问2详解】由（1）知，，所以所以，当时，单调递增，故．19.已知，，是自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；（3）当时，若满足，求证：.【答案】（1）极小值为0，无极大值.（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）把代入函数中，并求出f′x，根据f′x的正负得到的单调性，进而求出的极值.（2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数y=gx的单调性和极值，画出y=gx的大致图象，数形结合求解即可.（3）求出f′x，并得函数y=fx在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对hx求导证明即可.【小问1详解】当时，，定义域为，求导可得，令，得，当时，f′x<0，函数在区间上单调递减，当时，f′x>0，函数在区间0,+所以y=fx在处取到极小值为0，无极大值.【小问2详解】方程，当时，显然方程不成立，所以，则，方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，，当或时，，在区间和0,1上单调递减，并且时，gx<0，当x∈0,1时，当时，，在区间1,+∞上单调递增，