湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

2024年高二秋季数学入学试题试题一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°2.若复数满足：，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（）A.或 B.或C. D.4.在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B.C. D.5.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A. B.C.或 D.或6.已知的内角的对边分别为，若，，则（）A.6 B.5C.4 D.37.如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（）A. B. C. D.8.已知平面与所成锐二面角的平面角为，P为空间内一定点，过点P作与平面所成的角都是的直线l，则这样的直线l有且仅有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）9.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知，，且，则（）A B.C. D.11.若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴、轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设则（）A. B. C. D.12.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（）A.勒洛四面体最大的截面是正三角形B.若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值可能大于4C.勒洛四面体体积是D.勒洛四面体内切球的半径是三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.=_____________.14.若直线与直线互相垂直，则__________.15.正四棱锥中，，为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为________.16.命题：“”是真命题，则实数的取值范围为________________.四．解答题（共6小题，70分）17.已知的三个顶点是，，.求：（1）边上中线所在直线方程；（2）边上的高所在直线方程.18.如图，在中，，为的中点，与交于点.设，.（1）试用表示；（2）求.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形.（1）若点是的中点，证明：平面；（2）若，，且平面平面，求二面角正弦值.20.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面⊥平面，，为的中点，点在棱上．（1）若，求三棱锥的体积；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．21.甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙，丙、丁相互之间胜负的可能性相同.（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；（2）求甲获得冠军的概率；（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.22.如图，在中，，的角平分线交于，．（1）求的取值范围；（2）已知面积1，当线段最短时，求实数．

2024年高二秋季数学入学试题试题一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】BCD【12题答案】【答案】BD三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】或【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】四．解答题（共6小题，70分）【17题答案】【答案】（1）（2）【18题答案】【答案】（1）；（2）.【19