安徽省亳州市2024-2025学年高三上学期开学考试数学

2025届安徽省高三摸底大联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3．本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内、复数对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合．则图中阴影部分表示的集合为（）

A． B． C． D．3．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（）

A．9 B．10 C．11 D．12

4．已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为（）

A． B． C． D．

5．已知，则值为（）

A． B． C． D．1

6．已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

7．已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（）

A． B．3 C． D．

8．数列的前项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（）

A．45 B．46 C．90 D．91二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知随机变量满足：，则（）

A． B．C． D．

10．设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（）

A．的极大值为0

B．点是曲线的对称中心

C．直线与函数的图象相切

D．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为

11．已知曲线，点为曲线上任意一点，则（）

A．曲线的图象由两个圆构成

B．的最大值为

C．的取值范围为

D．直线与曲线有且仅有3个交点三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12．已知向量，且，则向是在向量上的投影向量坐标是_______．13．已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则_______．14．用个不同的元素组成个非空集合（，每个元素只能使用一次），不同的组成方案数记作，且当时，．现有7名同学参加趣味答题活动，参加一次答题，即可随机获得四种不同卡片中一张，获得每种卡片的概率相同，若每人仅可参加一次，这7名同学获得卡片后，可集齐全4种卡片的概率为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（13分）在中，内角所对的边分别为．

（1）求；

（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．

16．（15分）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．

17．（15分）如图，在四棱锥中，，平面平面．

（1）证明：；

（2）若，点为棱的中点，求二面角的余弦值．

18．（17分）已知函数．

（1）若为函数的极值点，求的值；

（2）若不等式恒成立，求的取值范围．19．（17分）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．

（1）判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；

（2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；

（3）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．2025届安徽省高三摸底大联考－数学

参考答案、解析及评分细则1．B，所以复数在复平面内对应的点在第二象限．故选B．2．D，所以，所以图中阴影部分表示的集合为．故选D．3．B因为该组数据共6个，且，所以这组数据的分位数为第三位数，即6，则，解得．故选B．4．A球的体积为，可得其半径，圆柱的底面直径为2，半径为，在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的侧面积为。故选A．5．C因为，所以，可得，即，所以，解得。故选C．

6．B设点，则，即，又两条渐近线方程为，即，故有，所以．故选B．

7．D因为函数为偶函数，则，即①，又因为函数为奇函数，则，即②，联立①②可得，所以．故选D．

8．B由题设可得，其中，故，且奇偶交错出现。（1）若为奇数，由可得对可取遍中的每一个奇数；（2）若为偶数，由可得对可取遍中的每一个偶数，又，当时，；考虑时，调整为3，则对应的可增加，依次对诸至少一个）调整为3后，即，从上述的调整过程可得取遍了中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于的奇偶性），当时，取遍了中的奇数，合计46个，故选B．

9．BCD因为，所以，解得，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确．故选BCD．

10．ABC对于A，由，解得或，所以，则，当时，；当或时，；可知在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值，故A正确；对于B，因为，故B正确；对于C，设切点为，则解得所以直线与函数的图象相切于，故C正确；对于D，由A选项知在上单调递增，在上单调递减，又，令，解得或3，函数在区间上存在最小值，所以的取值范围为，故D错误．故选ABC．

11．AC由，得，即，即，所以或，即或，所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆，故A正确；表示点到原点距离的平方，最大值为，故B错误；如图所示，设过点且与圆相切的直线方程为，则点到该直线的距离，解得，即图中直线的斜率为1，直线的方程为，点到直线的距离，则直线与圆相切，设过点且与圆相切的直线方程为，则点到该直线的距离，解得表示的是点到点的斜率，故的取值范围为，故C正确；由C项可知直线与圆均相切，所以直线与曲线有且仅有2个交点，故D错误．故选AC．

12．由题意知，因为，可得，解得，所以在上的投影向量为．

13．如图所示，设函数与的交点分别为，由得，所以，则，所以为等腰直角三角形，所以点到直线的距离为，即，解得．

14．根据题干可列出对应取值表格如下：12341121131314176151152510613190657163301350即个人集齐全4种卡片等价于7个不同元素组成4个非空集合，再将4个非空集合对应4种卡片，所以．

15．解：（1）由，得，①由，得，②

由①②联立，得，

由，得，所以，

又由，得．

（2）因为的面积为，所以，得．由，即，所以．

由余弦定理，得，即，

所以，可得，

所以的周长为．

16．解：（1）由题意知，且，解得，

则椭圆的方程为．

（2）易知四边形为平行四边形，设，联立直线与椭圆消去并整理得，

由韦达定理得

，

因为与平行，所以这两条直线的距离，

则平行四边形的面积．

17．（1）证明：因为，所以，所以，所以，因为，所以，即．

又因为平面平面，平面平面，所以平面，

因为平面，所以。

（2）解：取的中点，连接，由（1）知，因为，易知，

因为为的中点，为的中点，所以，所以平面，所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，

平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则

令，则，故，

故

设二面角的大小为，由图形可知，为锐角，

故二面角的余弦值为．

18．解：（1），由题意知，解得，

经验证此时为函数的极值点，故．

（2）设，定义域为，

，

设，所以，所以在上单调递减，又，所以存在使，

所以当时，，即，函数单调递增，

当时，，即，函数单调递减，

所以函数的最大值

，

因为恒成立，

即恒成立，设，则，所以单调递增，所以，即恒成立，

因为在上单调递减，且，

所以只需恒成立，即，

解得．

故的取值范围是

19．（1）解：（1）因为，则，又，故，即，数列是